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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Anti-Mágicos 3x3 - 190

Quadrados Mágicos Anti-Mágicos, Imperfeitos ou Defeituosos 3x3 ou de ordem 3 são quadrados mágicos cujas somas de cada linha, cada coluna, bem como as diagonais não resultam em Constantes Mágicas.

Conforme o Site http://www.magic-squares.net, há duas denominações específicas para Quadrados Mágicos Defeituosos ou Imperfeitos:

AntiMagic Square

Quadrados Mágicos cujas somas de cada linha, cada coluna e diagonais apresentam números consecutivos.

Heterosquare

Quadrados Mágicos cujas somas de cada linha, cada colunas e diagonais são diferentes.

Quadrados Bi-Mágicos, Tri-Mágicos, Tetra-Mágicos, também denominados Multimágicos são quadrados que quando os seus números são elevados a determinada potência como ao quadrado, a terceira potência, a quarta potência e assim por diante, eles continuam mágicos.

Até os dias atuais, não se conseguiu construir Quadrado Mágico de ordem 3, que seja Bi-Mágico.

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

Fonte: http://www.multimagie.com

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

A partir de Quadrados Mágicos de ordem 3, formados com números consecutivos cujo o primeiro termo inicia-se com número ímpar e elevando-os a determinada potência, constroem-se Quadrados Anti-Mágicos os quais apresentam as seguintes caracterísicas:

a) as somas das linhas 1 e 3 apresentam uma mesma constante;

b) as somas das coluna 1 e 3 apresentam uma mesma constante;

c) a soma de todos os números é múltiplo de 3.

Quadrado Mágico 3x3 - sequência de 1 a 9

Progressão aritmética de 1 a 9, com o primeiro termo ímpar.

        5        
      4   6      
    3       7    
  2           8  
1               9

Quadrado Mágico construído conforme configuração do Quadrado Mágico Lo Shu.

15
 
4 9 2 15
3 5 7 15
8 1 6 15
 
15 15 15 15

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 ao quadrado - de 1 a 81

Sequência de números quadrados perfeito de 1 a 81.

        25        
      16   36      
    9       49    
  4           64  
1               81

Quadrado Mágico Imperfeito construído com números quadrados pefeitos da sequência de 1 a 81.

93
       
16 81 4 101
9 25 49 83
64 1 36 101
       
89 107 89 77

As linhas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 101 que é um número primo.

As colunas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 89 que é um número primo.

A linha e coluna do meio tem como resultados números primos: 83 e 107.

A soma de todos os números: 285 é um múltiplo de 3.

Quadrado Mágico 3x3 - sequência de 3 a 11

Progressão aritmética de 3 a 11, com o primeiro termo ímpar

        7        
      6   8      
    5       9    
  4           10  
3               11

Quadrado Mágico construído conforme configuração do Quadrado Mágico Lo Shu.

21
 
6 11 4 21
5 7 9 21
10 3 8 21
 
21 21 21 21

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 ao quadrado - de 9 a 121

Sequência de números quadrados perfeito de 9 a 121.

        49        
      36   64      
    25       81    
  16           100  
9               121

Quadrado Mágico Imperfeito construído com números quadrados pefeitos da sequência de 9 a 121.

165
       
36 121 16 173
25 49 81 155
100 9 64 173
       
161 179 161 149

As linhas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 173 que é um número primo.

As colunas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 161 que é não um número primo.

A diagonal principal tem como resultado 149 que é número primo.

A soma de todos os números: 501 é um múltiplo de 3.

Quadrado Mágico 3x3 - sequência de 5 a 13

Progressão aritmética de 5 a 13, com o primeiro termo ímpar.

        9        
      8   10      
    7       11    
  6           12  
5               13

Quadrado Mágico construído conforme configuração do Quadrado Mágico Lo Shu.

27
 
8 13 6 27
7 9 11 27
12 5 10 27
 
27 27 27 27

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 ao quadrado - de 25 a 169

Sequência de números quadrados perfeito de 9 a 121.

        81        
      64   100      
    49       121    
  36           144  
25               169

Quadrado Mágico Imperfeito construído com números quadrados pefeitos da sequência de 25 a 169.

261
 
64 169 36 269
49 81 121 251
144 25 100 269
 
257 275 257 245

As linhas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 269 que é um número primo.

As colunas 1 e 3 apresentam uma mesma constante 257 que é um número primo.

A soma de todos os números: 789 é um múltiplo de 3.

Quadrados Mágicos Imperfeitos 3x3 ao cubo

Nos exemplos a seguir são apresentados Quadrados Mágicos Imperfeitos de ordem 3 ao cubo originados de cada uma das progressões aritméticas acima.

Os quadrados não apresentam Constantes Mágicas e Somas Mágicas

A soma de cada coluna, cada linha, cada diagonal, bem a soma de todos os números de cada quadrado é múltiplo de 3.

645
 
64 729 8 801
27 125 343 495
512 1 216 729
 
603 855 567 405
1407
 
216 1331 64 1611
125 343 729 1197
1000 27 512 1539
 
1341 1701 1305 1071
2673
 
512 2197 216 2925
343 729 1331 2403
1728 125 1000 2853
 
2583 3051 2547 2241

Autor: Ricardo Silva julho/2018

Fonte Bibliográfica:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

 

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