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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 3x3 e Quadrados Latinos - 233

Quadrados Mágicos 3x3 ou de ordem 3 são matrizes quadriculadas formadas por linhas e colunas nas quais podem ser dispostas sequências numéricas em certa ordem de forma que a soma de cada linha, cada coluna e cada diagonal tenham um mesmo resultado o qual é denominado de Constante Mágica.

Segundo lendas e estórias chinesas, um Quadrado Mágico apareceu no casco de uma tartagura e que posteriormente foi chamado de Lo-Shu.

Quadrados Gregos-Latinos, ou simplismente Quadrados Latinos são matrizes nas quais podem ser utilizados símbolos, como numerais, letras de alfabetos e outros símbolos de forma cada célula contenha um único símbolo e que não haja repetição em linhas ou colunas.

O nome Quadrado Grego-Latino tornou-se popular devido aos estudos do Matemático Leonhard Euler (1707-1783) em tentar solucionar o seguinte problema:

"É possível alinhar 36 oficiais em uma formação de seis linhas por seis colunas, de modo que cada linha e cada coluna tenha apenas um oficial de cada posto e de cada regimento?"

A partir de Quadrados Mágicos, Euler trabalhou com quadrados latinos ortogonais na tentativa de solucionar tal problema, conjecturando que não havia solução.

O uso de letras não foi uma exclusividade nos trabalhos de Euler, pois haviam amuletos arábes e indianos com inscrições com letras em Quadrados Mágicos e no livro “O sol do grande conhecimento” de Ahmed Al-Buni - escrito por volta do ano 1200 - há registros de construções de quadrados latinos ortogonais que ficou conhecido como método Hindu.[1]

Quadrados Latinos Reduzidos

Um Quadrado Latino Reduzido é uma matriz quadrada de ordem n × n , onde suas entradas são os números do conjunto {1,2,...,n}, ou qualquer conjunto que tenha uma sequência primitiva, onde apresentam, ambas, primeira linha e primeira coluna os elementos em sua ordem primitiva. [2]

Quadrado 1

sequência 1, 2, 3

1 2 3
2 3 1
3 1 2

Quadrado 2

sequência a, b, c (alfabeto latino)

a b c
b c a
c a b

Quadrado 3

sequência α, β, γ (alfabeto grego)

α β γ
β γ α
γ α β

Quadrados Latinos Ortogonais

Combinando-se os termos correspondentes dos quadrados latinos reduzidos:

Quadrado 2

a b c
b d a
d a b

com o Quadrado 3

α β γ
β γ α
γ α β

não é possível formar Quadrado Latino Ortogonal, pois ocorrem repetição de pares ordenados: (aα, aα), (bβ, bβ), (cγ, cγ).

Quadrado Latino Ortogonal é a combinação de dois outros quadrados latinos que formam pares ordenados distintos, isto é, que não se repetem em linhas ou colunas.

Combinando-se os quadrados reduzidos:

Quadrado 2

a b c
b c a
c a b

com o Quadrado 3, de forma que o termo "γ" fique em diagonal oposta ao quadrado 2...

γ β α
α γ β
β α γ

...é possível formar Quadrado Latino Ortogonal, pois os pares ordenados são distintos.

Quadrado Mágico Lo-Shu a partir de Quadrado Latino Ortogonal

Método de Euler

As sequências devem obedecer as seguintes regras:

a) Q2 e Q3 deve gerar 9 pares ordenados distintos;

b) a sequência das letras latinas devem obedecer uma progressão aritmética de razão 3, resultando no tamanho da matriz;

c) a + b = 2c;

d) a sequências das letras gregas devem obedecer uma progressão geométrica de razão 1.

e) na diagonal principal de Q2, temos (a, c, b);

f) na diagonal secundária de Q3, temos (α, γ, β).

Sejam as sequências:

(a, c, b) = (1, 4, 7)

(α, γ, β) = (3, 4, 5)

e seus respectivos quadrados latinos:

Quadrado 2

1 7 4
7 4 1
4 1 7

Quadrado 3

4 5 3
3 4 5
5 3 4

Somando-se os os números das células correspondentes...

1 + 4 7 + 5 4 + 3
7 + 3 4 + 4 5 + 1
4 + 5 1 + 3 7 + 4

...obtem-se o seguinte Quadrado Mágico de Constante Mágica 24.

5 12 7
10 8 6
9 4 11

Subtraindo-se 3 (ordem do Quadrado Mágico)...

5 - 3 12 - 3 7 - 3
10 - 3 8 - 3 6 - 3
9 - 3 4 - 3 11 - 3

...obtem-se uma variante do Quadrado Mágico Lo-Shu.

2 9 4
7 5 3
6 1 8

Método de La Hire

No método de Philipe de La Hire, os termos centrais das sequências também ficam em diagonais opostas. [3]

sejam as sequências:

(1, 2, 3) - quantidade linhas/colunas do quadrado,

(0, 3, 6) - múltiplos de 3

e seus respectivos quadrados latinos

Quadrado 1

3 0 6
6 3 0
0 6 3

Quadrado 2

Observação: a sequência 1, 2, 3 forma uma "cruz".

3 1 2
1 2 3
2 3 1

Somando-se os os números das células correspondentes...

3 + 3 0 + 1 6 + 2
6 + 1 3 + 2 0 + 3
0 + 2 6 + 3 3 + 1

...obtem-se uma variante Quadrado Mágico Lo-Shu.

6 1 8
7 5 3
2 9 4

Método Hindu

Monta-se um quadrado latino de ordem 3, com sequência 1, 2, 3. [1]

Neste método, o termo central 2, também fica na diagonal.

Observação: a sequência 1, 2, 3 forma uma "cruz".

Quadrado 1

3 1 2
1 2 3
2 3 1

Multiplica-se os termos da matriz pela ordem do quadrado, neste exemplo 3, obtendo-se o Quadrado 2.

Quadrado 2

9 3 6
3 6 9
6 9 3

Soma-se os termos da coluna 1 (quadrado 1) com os termos da coluna 3 (quadrado 2);

Soma-se os termos da coluna 2 (quadrado 1) com os termos da coluna 2 (quadrado 2);

Soma-se os termos da coluna 3 (quadrado 1) com os termos da coluna 1 (quadrado 2).

3 + 6 1 + 3 2 + 9
1 + 9 2 + 6 3 + 3
2 + 3 3 + 9 1 + 6

obtendo-se o Quadrado Mágico de Costante Mágica 24.

9 4 11
10 8 6
5 12 7

Subtraindo-se 3 (ordem do Quadrado Mágico)...

9 - 3 4 - 3 11 - 3
10 - 3 8 - 3 6 - 3
5 - 3 12 - 3 7 - 3

...obtem-se uma variante do Quadrado Mágico Lo-Shu.

6 1 8
7 5 3
2 9 4

Conclusão:

Interessante observar que cada método tem suas particularidades mesmo utilizando diagonais como base de construção e ao mesmo tempo similaridades entre as matrizes em relação as disposições dos números ora formando uma "cruz" normal ora formando uma "cruz inversa" na linha e coluna central dos quadrados, detalhes estes que serviram de base a outros métodos para se contruírem Quadrados Mágicos de ordem superiores.

Autor: Ricardo Silva outubro/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Santos, Cristiane Aparecida dos. QUADRADOS LATINOS: Um estudo histórico-filosófico da matemática. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Matemática, Centro de Blumenau, 2018. 76 p.

[2] Farias, Fausto Gustavo. Quadrados Latinos e Quadrados Mágicos - Uma proposta didática. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática, 2017.

[3] Rouse Ball, WW. Mathematical Recreation and Essays. Nova York, edição digital, 1905 - Gutenberg Project, 2008

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

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