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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Multiplicativos e Quadrados Latinos - 234

Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados quadriculados nos quais sequências numéricas são dispostas em certa ordem de forma que a multiplicação dos termos de cada linha, de cada coluna e cada umas das diagonais formam um produto constante denominado de Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos podem ser formados por Progressões Geométricas (PG) e também por sequências numéricas originadas de divisores de um número natural.

Nos estudos publicados em Discrete Mathematics em 1983 de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang, os autores provaram por meio de Quadrados Latinos Ortogonais que o quadrado de produto 216 é o menor Quadrado Mágico Multiplicativo. [1]

quadrados mágicos multiplicativos e quadrados latinos

Quadrado Mágico Multiplicativo e os divisores de 36

O Quadrado Mágico Multiplicativo formado com os divisores do número 36 apresenta características interessantes, vejamos:

1) Os divisores do número 36 não formam progressão aritmética (PA) e nem progressão geométrica (PG), a diferença entre os termos da sequência não e constante.

Divisores do número quadrado perfeito 36
Divisores 1   2   3   4   6   9   12   18   36
Diferença   1   1   1   2   3   3   6   18  

2) O Quadrado Natural formado com os divisores do número 36 apresenta apenas dois números: 66 e 48 os quais são divisíveis pela sua raiz quadrada 6.

Quadrado Natural dos Divisores de 36
        21
         
1 2 3 = 6
4 6 9 = 19
12 18 36 = 66
= = = =  
17 26 48    43

3) Não é possível formar Quadrado Mágico Aditivo com os divisores de 36 através dos métodos Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

As somas não formam Constante Mágica.

Quadrado Mágico Aditivo Imperfeito 3x3
com os divisores de 36
        26
         
4 36 2 = 42
3 6 12 = 21
18 1 9 = 28
= = = =  
25 43 23    19

4) Não é possível formar Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores de 36 conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

A primeira e terceira linhas não formam Constante Mágica Múltiplicativa.

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3
com os divisores de 36
         
        216
         
4 36 2 = 288
3 6 12 = 216
18 1 9 = 162
= = = =  
216 216 216    216

5) Uma forma de transformar o Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito em Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito dos divisores do número 36 é:

a) permutar os termos equidistantes 3 e 12; passando da linha central para a diagonal principal;

b) permutar os termos equidistantes 4 e 9; passando da diagonal principal para a linha central;

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3
com os divisores de 36
         
        216
         
3 36 2 = 216
4 6 9 = 216
18 1 12 = 216
= = = =  
216 216 216    216

E porque será que isso acontece?

Será que há outros números e seus divisores com estas características?

Para responder a estas perguntas e também a outros questionamentos, passei a pesquisar sobre divisores de um número natural e também sobre outros métodos de construções de Quadrados Mágicos.

Quadrados Grego-Latinos

O nome Quadrados Gregos-Latinos se tornou famoso devidos aos trabalhos do Matemático Leonhard Euler (1707-1783) em tentar solucionar o seguinte problema:

"É possível alinhar 36 oficiais em uma formação de seis linhas por seis colunas, de modo que cada linha e cada coluna tenha apenas um oficial de cada posto e de cada regimento?"

Segundo Cristiane Aparecida dos Santos [2] em sua dissertação de mestrado, Quadrados Gregos-Latinos ou simplismente Quadrados Latinos não foi uma primazia do Matemático Leonhard Euler, pois no livro de Ahmed Al-Buni “O sol do grande conhecimento” - escrito por volta do ano 1200 - há registros de construções de quadrados latinos ortogonais que ficou conhecido como método Hindu e também haviam amuletos árabes e hindus com inscrições com letras formando Quadrados Mágicos.

Quadrados Latinos Ortogonais

Na construção do Quadrado Latino Ortogonal que gerou os divisores do número 36, os autores K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang ao invés de somarem ou multiplicarem os pares ordenados, eles os utilizaram como expoentes para as bases 2 e 3 , vejamos:

sequência 0, 1, 2

Quadrado Latino 1

Quadrado Latino
1 0 2
2 1 0
0 2 1

Quadrado Latino 2

Quadrado Latino
2 0 1
0 1 2
1 2 0

Quadrado Latino Ortogonal - com pares ordenados

Quadrado Latino Ortogonal
1, 2 0, 0 2, 1
2, 0 1, 1 0, 2
0, 1 2, 2 1, 0

Quadrado Latino Ortogonal - com potenciação

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
21. 32 20. 30 22. 31
22.30 21. 31 20. 32
20. 31 22. 32 21. 30

Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores de 36

O Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sequência numérica os divisores do número quadrado perfeito 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

Neste método de construção, os termos ficam dispostos originando a Constante Mágica 216, não foi necessário permutar os termos (3, 2 e 4, 9).

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3
com os divisores de 36
         
        216
         
18 1 12 = 216
4 6 9 = 216
3 36 2 = 216
= = = =  
216 216 216    216

Quadrados Latinos Ortogonais e Método Algébrico

Segundo o site:

http://www.multimagie.com/indexengl.htm

em

The smallest possible multiplicative magic squares,

vários autores como: Antoine Arnauld, ano de 1667, G. Pfeffermann, ano de 1893; Harry A. Sayle, ano de 1913;  Henry E. Dudeney, ano 1917 publicaram vários exemplos de Quadrados Mágicos Multiplicativos e que tinham em comum o seguinte Método Algébrico:

a = 2

b = 3

Método Algébrico
a1. b2 1 a2. b
a2 a.b b2
b a2. b2 a

Interessante que é o Método Algébrico é semelhante ao Quadrado Latino Ortogonal com potenciação gerado de Quadrados Latinos, conforme exemplos citados neste estudo.

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
21. 32 20. 30 22. 31
22.30 21. 31 20. 32
20. 31 22. 32 21. 30

Assim como o número quadrado perfeito 36 e seus divisores {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, há uma sequência de números com características semelhantes por possuirem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos, estudos que estão publicados no livro digital: Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos que discorre sobre a relação entre números, divisores, geometria e números primos.

Autor: Ricardo Silva outubro/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics

[2] Santos, Cristiane Aparecida dos. QUADRADOS LATINOS: Um estudo histórico-filosófico da matemática. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Matemática, Centro de Blumenau, 2018. 76 p.

[3] http://www.multimagie.com/indexengl.htm

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

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