Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados quadriculados nos quais sequências numéricas são dispostas em certa ordem de forma que a multiplicação dos termos de cada linha, de cada coluna e cada umas das diagonais formam um produto constante denominado de Constante Mágica.
Os Quadrados Mágicos podem ser formados por Progressões Geométricas (P.G.s) e também por sequências numéricas originadas de divisores de um número natural.
Nos estudos publicados em Discrete Mathematics em 1983 de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang, os autores provaram por meio de Quadrados Latinos Ortogonais que o quadrado de produto 216 é o menor Quadrado Mágico Multiplicativo. [1]
O Quadrado Mágico Multiplicativo formado com os divisores do número 36 apresenta características interessantes, vejamos:
1) os divisores do número 36 não formam progressão aritmética (P.A.) e nem progressão geométrica (P.G.), a diferença entre os termos da sequência não é constante;
| Divisores do número | |
|---|---|
| quadrado perfeito 36 | |
| Divisores | Diferença |
| 1 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 1 | |
| 3 | |
| 1 | |
| 4 | |
| 2 | |
| 6 | |
| 3 | |
| 9 | |
| 3 | |
| 12 | |
| 6 | |
| 18 | |
| 18 | |
| 36 | |
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2) o Quadrado Natural formado com os divisores do número quadrado 36 apresenta apenas dois números: 66 e 48, os quais são divisíveis pela sua raiz quadrada 6;
| Quadrado Natural | ||||
| dos Divisores de 36 | ||||
| 21 | ||||
| 1 | 2 | 3 | = | 6 |
| 4 | 6 | 9 | = | 19 |
| 12 | 18 | 36 | = | 66 |
| = | = | = | = | |
| 17 | 26 | 48 | 43 | |
3) não é possível formar Quadrado Mágico Aditivo com os divisores de 36 através dos Métodos Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.
As somas não formam Constante Mágica.
| Quadrado Mágico | ||||
| Aditivo Imperfeito 3x3 | ||||
| com os divisores de 36 | ||||
| 26 | ||||
| 4 | 36 | 2 | = | 42 |
| 3 | 6 | 12 | = | 21 |
| 18 | 1 | 9 | = | 28 |
| = | = | = | = | |
| 25 | 43 | 23 | 19 | |
4) não é possível formar Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores de 36 conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;
A primeira e terceira linhas não formam Constante Mágica Múltiplicativa.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Imperfeito 3x3 | ||||
| com os divisores de 36 | ||||
| 216 | ||||
| 4 | 36 | 2 | = | 288 |
| 3 | 6 | 12 | = | 216 |
| 18 | 1 | 9 | = | 162 |
| = | = | = | = | |
| 216 | 216 | 216 | 216 | |
5) uma forma de transformar o Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito em Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito dos divisores do número 36 é:
a) permutar os termos equidistantes 3 e 12; passando da linha central para a diagonal principal;
b) permutar os termos equidistantes 4 e 9; passando da diagonal principal para a linha central;
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| com os divisores de 36 | ||||
| 216 | ||||
| 3 | 36 | 2 | = | 216 |
| 4 | 6 | 9 | = | 216 |
| 18 | 1 | 12 | = | 216 |
| = | = | = | = | |
| 216 | 216 | 216 | 216 | |
E porque será que isso acontece?
Será que há outros números e seus divisores com estas mesmas características?
Para responder a estas perguntas e também a outros questionamentos, passei a pesquisar sobre divisores de um número natural e também sobre outros métodos de construções de Quadrados Mágicos.
O nome Quadrados Gregos-Latinos se tornou famoso devidos aos trabalhos do Matemático Leonhard Euler (1707-1783) em tentar solucionar o seguinte problema:
"É possível alinhar 36 oficiais em uma formação de seis linhas por seis colunas, de modo que cada linha e cada coluna tenha apenas um oficial de cada posto e de cada regimento?"
Segundo Cristiane Aparecida dos Santos [2] em sua dissertação de mestrado, Quadrados Gregos-Latinos ou simplesmente Quadrados Latinos não foi uma primazia do Matemático Leonhard Euler, pois no livro de Ahmed Al-Buni “O sol do grande conhecimento” - escrito por volta do ano 1200 - há registros de construções de quadrados latinos ortogonais que ficou conhecido como Método Hindu e também haviam amuletos árabes e hindus com inscrições com letras formando Quadrados Mágicos.
Na construção do Quadrado Latino Ortogonal que gerou os divisores do número 36, os autores K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang ao invés de somarem ou multiplicarem os pares ordenados, eles os utilizaram como expoentes para as bases 2 e 3 , vejamos:
sequência 0, 1, 2
Quadrado Latino 1
| Quadrado Latino | ||
| 1 | 0 | 2 |
| 2 | 1 | 0 |
| 0 | 2 | 1 |
Quadrado Latino 2
| Quadrado Latino | ||
| 2 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 0 |
Quadrado Latino Ortogonal - com pares ordenados
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| 1, 2 | 0, 0 | 2, 1 |
| 2, 0 | 1, 1 | 0, 2 |
| 0, 1 | 2, 2 | 1, 0 |
Quadrado Latino Ortogonal - com potenciação
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 21. 32 | 20. 30 | 22. 31 |
| 22.30 | 21. 31 | 20. 32 |
| 20. 31 | 22. 32 | 21. 30 |
Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores de 36
O Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sequência numérica os divisores do número quadrado perfeito 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
Neste método de construção, os termos ficam dispostos originando a Constante Mágica 216, não foi necessário permutar os termos (3, 2 e 4, 9).
| Quadrado Mágico | ||||
|---|---|---|---|---|
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| com os divisores de 36 | ||||
| 216 | ||||
| 18 | 1 | 12 | = | 216 |
| 4 | 6 | 9 | = | 216 |
| 3 | 36 | 2 | = | 216 |
| = | = | = | = | |
| 216 | 216 | 216 | 216 | |
Segundo o site:
http://www.multimagie.com/indexengl.htm
em
The smallest possible multiplicative magic squares, vários autores como: Antoine Arnauld, ano de 1667, G. Pfeffermann, ano de 1893; Harry A. Sayle, ano de 1913; Henry E. Dudeney, ano 1917 publicaram vários exemplos de Quadrados Mágicos Multiplicativos e que tinham em comum o seguinte Método Algébrico:
a = 2
b = 3
| Método Algébrico | ||
| a1. b2 | 1 | a2. b |
| a2 | a.b | b2 |
| b | a2. b2 | a |
Interessante que é o Método Algébrico é semelhante ao Quadrado Latino Ortogonal com potenciação gerado de Quadrados Latinos, conforme exemplos citados neste estudo.
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 21. 32 | 20. 30 | 22. 31 |
| 22.30 | 21. 31 | 20. 32 |
| 20. 31 | 22. 32 | 21. 30 |
Assim como o número quadrado perfeito 36 e seus divisores {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, há uma sequência de números com características semelhantes por possuirem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos, estudos que estão publicados no livro digital: Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos que discorre sobre a relação entre números, divisores, geometria e números primos.
Autor: Ricardo Silva - outubro/2019
[1] BORKOVIT, Debra K. z e HWANG, Frank K. M. Discrete Mathematics
[2] SANTOS, Cristiane Aparecida dos. QUADRADOS LATINOS: Um estudo histórico-filosófico da matemática. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Matemática, Centro de Blumenau, 2018. 76 p.
[3] http://www.multimagie.com/indexengl.htm
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
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