Números Retangulares são números que são produtos de 2 números consecutivos os quais também podem ser gerados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Números Triangulares, também denominados de números figurados, são números que podem ser gerados por meio de arranjos de pontos, formando figuras geométricas de triângulos.
Um dos métodos de se gerarem números triangulares é por meio do produto de 2 números consecutivos dividido por 2.
Exemplos:
1) ( 1 x 2 ) / 2 = 1
2) ( 2 x 3 ) / 2 = 3
3) ( 3 x 4 ) / 2 = 6
O presente estudo demonstra outras propriedades relacionadas a números retangulares e triangulares de que:
a) a soma de 2 números triangulares de posições ímpares têm como resultados números que são 1 unidade maior que um número retangular e números Fermat das formas 4x + 1 e 4x + 3 alternados;
b) a soma de 2 números triangulares de posições pares têm como resultados números que são 1 unidade maior que um número retangular e números Fermat das formas 4x + 1 e 4x + 3 alternados;
Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
A Tabela-1 demonstra as 30 primeiras somas de 2 números triangulares de posições ímpares e suas regularidades.
Exemplo 1)
1 + 6 = 7
7 é 1 unidade maior que o número retangular 6.
7 é um número de Fermat da forma 4x + 3, isto é, deixa resto 3 na divisão por 4.
7 é um número primo.
Exemplo 2)
6 + 15 = 21
21 é 1 unidade maior que o número retangular 20.
21 é um número de Fermat da forma 4x + 1, isto é, deixa resto 1 na divisão por 4.
21 é um número composto.
| Tabela-1 | |||||||
| Soma de 2 Números Triangulares | |||||||
| de Posições Ímpares | |||||||
| ordem / | números | número | número | número | divisão | ||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | Fermat | por | ||
| 4 | |||||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | |||
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 | 7 | 3 | Primo |
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 | |||
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 | 21 | 1 | - |
| 5 | 5 | 6 | 30 | 15 | |||
| 6 | 6 | 7 | 42 | 21 | 43 | 3 | Primo |
| 7 | 7 | 8 | 56 | 28 | |||
| 8 | 8 | 9 | 72 | 36 | 73 | 1 | Primo |
| 9 | 9 | 10 | 90 | 45 | |||
| 10 | 10 | 11 | 110 | 55 | 111 | 3 | - |
| 11 | 11 | 12 | 132 | 66 | |||
| 12 | 12 | 13 | 156 | 78 | 157 | 1 | Primo |
| 13 | 13 | 14 | 182 | 91 | |||
| 14 | 14 | 15 | 210 | 105 | 211 | 3 | Primo |
| 15 | 15 | 16 | 240 | 120 | |||
| 16 | 16 | 17 | 272 | 136 | 273 | 1 | - |
| 17 | 17 | 18 | 306 | 153 | |||
| 18 | 18 | 19 | 342 | 171 | 343 | 3 | - |
| 19 | 19 | 20 | 380 | 190 | |||
| 20 | 20 | 21 | 420 | 210 | 421 | 1 | Primo |
| 21 | 21 | 22 | 462 | 231 | 0 | ||
| 22 | 22 | 23 | 506 | 253 | 507 | 3 | - |
| 23 | 23 | 24 | 552 | 276 | |||
| 24 | 24 | 25 | 600 | 300 | 601 | 1 | Primo |
| 25 | 25 | 26 | 650 | 325 | 0 | ||
| 26 | 26 | 27 | 702 | 351 | 703 | 3 | - |
| 27 | 27 | 28 | 756 | 378 | |||
| 28 | 28 | 29 | 812 | 406 | 813 | 1 | - |
| 29 | 29 | 30 | 870 | 435 | |||
| 30 | 30 | 31 | 930 | 465 | 931 | 3 | - |
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A Tabela-2 demonstra as 30 primeiras somas de 2 números triangulares de posições pares e suas regularidades.
Exemplo 1)
3 + 10 = 13
13 é 1 unidade maior que o número retangular 12.
13 é um número de Fermat da forma 4x + 1, isto é, deixa resto 1 na divisão por 4.
13 é um número primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
Exemplo 2)
10 + 21 = 31
31 é 1 unidade maior que o número retangular 30.
31 é um número de Fermat da forma 4x + 1, isto é, deixa resto 1 na divisão por 4.
31 é um número primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
| Tabela-2 | |||||||
| Soma de 2 Números Triangulares | |||||||
| de Posições Pares | |||||||
| ordem / | números | número | número | número | resto | ||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | Fermat | da | ||
| divisão | |||||||
| por | |||||||
| 4 | |||||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | |||
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 | |||
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 | 13 | 1 | Primo |
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 | |||
| 5 | 5 | 6 | 30 | 15 | 31 | 3 | Primo |
| 6 | 6 | 7 | 42 | 21 | |||
| 7 | 7 | 8 | 56 | 28 | 57 | 1 | - |
| 8 | 8 | 9 | 72 | 36 | |||
| 9 | 9 | 10 | 90 | 45 | 91 | 3 | - |
| 10 | 10 | 11 | 110 | 55 | |||
| 11 | 11 | 12 | 132 | 66 | 133 | 1 | - |
| 12 | 12 | 13 | 156 | 78 | |||
| 13 | 13 | 14 | 182 | 91 | 183 | 3 | - |
| 14 | 14 | 15 | 210 | 105 | |||
| 15 | 15 | 16 | 240 | 120 | 241 | 1 | Primo |
| 16 | 16 | 17 | 272 | 136 | |||
| 17 | 17 | 18 | 306 | 153 | 307 | 3 | Primo |
| 18 | 18 | 19 | 342 | 171 | |||
| 19 | 19 | 20 | 380 | 190 | 381 | 1 | - |
| 20 | 20 | 21 | 420 | 210 | |||
| 21 | 21 | 22 | 462 | 231 | 463 | 3 | Primo |
| 22 | 22 | 23 | 506 | 253 | |||
| 23 | 23 | 24 | 552 | 276 | 553 | 1 | - |
| 24 | 24 | 25 | 600 | 300 | |||
| 25 | 25 | 26 | 650 | 325 | 651 | 3 | - |
| 26 | 26 | 27 | 702 | 351 | |||
| 27 | 27 | 28 | 756 | 378 | 757 | 1 | Primo |
| 28 | 28 | 29 | 812 | 406 | |||
| 29 | 29 | 30 | 870 | 435 | 871 | 3 | - |
| 30 | 30 | 31 | 930 | 465 | |||
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Através de adições sucessivas e subtrações sucessivas desenvolveu-se o Método Números Atraentes.
Na Tabela-2, tem-se a adição dos triangulares 3 e 10 cuja soma é o número primo 13 da forma 4x + 1.
| ordem / | números | número | número | número | resto | ||
| posição | consecutivos | retangular | triangular | Fermat | da | ||
| divisão | |||||||
| por | |||||||
| 4 | |||||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | |||
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 | |||
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 | 13 | 1 | Primo |
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 | |||
Realizando adições sucessivas, obtem-se o número primo 13 por meio de 7 duplas de parcelas, e entre elas, duplas de parcelas formadas por:
a) números triangulares (células laranjas)
b) números quadrados perfeitos (células verdes);
c) números consecutivos (células liláses)
| Tabela- 3 | ||||
| Número 13 | ||||
| e Adições Sucessivas | ||||
| 0 | + | 13 | = | 13 |
| 1 | + | 12 | = | 13 |
| 2 | + | 11 | = | 13 |
| 3 | + | 10 | = | 13 |
| 4 | + | 9 | = | 13 |
| 5 | + | 8 | = | 13 |
| 6 | + | 7 | = | 13 |
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Demonstração do Algoritmo S2Q-1 (Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos - versão 1).
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-590-algoritmo-da-soma-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
| Algoritmo da Soma de 2 Quadrados Perfeitos - Versão - 1 | |||||
| S2Q-1 | |||||
| Número 13 | |||||
| como soma de 2 quadrados | |||||
| raiz | quadrado | ||||
| quadrada | perfeito | ||||
| 5 | 25 | ||||
| . | |||||
| (i) | 12 | + | 13 | = | 25 |
| (ii) | 6 | + | 7 | = | 13 |
| (iii) | 2 | x | 3 | = | 6 |
| (iv) | 2 | x | 2 | = | 4 |
| (v) | 3 | x | 3 | = | 9 |
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Demonstração do Algoritmo S2Q-2 (Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos - versão 2).
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-591-soma-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos-e-algoritmo-s2q-2
| Algoritmo da Soma de 2 Quadrados Perfeitos - Versão - 2 | ||||||
| S2Q-2 | ||||||
| Número Primo 13 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 13 | |||||
| . | ||||||
| i | 6 | + | 7 | = | 13 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 6 | = | 2,44949 | raiz quadrada de 6 | ||
| . | ||||||
| iii | 2 | x | 3 | = | 6 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 2 | x | 2 | = | 4 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 3 | x | 3 | = | 9 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 4 | + | 9 | = | 13 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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O número primo 13 é primeiro número primo cujo reverso (algarismos invertidos) tem como resultado também um número primo.
13 é primo
31 é primo
Assim como o número primo 13, há diversos números primos reversos.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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