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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e Ternos Pitagóricos - 208

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por quadrados quadriculados nos quais são dispostos em certa ordem números de 1 a n² de forma que a soma de cada linha, cada coluna e diagonais apresentam a mesma soma, chamada de Constante Mágica.

No livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scott Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, há centenas de exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras e entre eles, cinco exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Ver matérias relacionadas.

Quadrados Mágicos Pitagóricos e o terno 3,4,5

Em 1953, Royal Vale Heath publicou no livro Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers o primeiro grupo de Quadrados Mágicos Pitagóricos com os Ternos 3, 4, 5 e seus derivados.

quadrados mágicos pitagóricos 3 - 4 - 5

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Analises publicadas no livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas e também aqui no site Os Fantásticos Números Primos constatou-se que determinados Ternos Pitagóricos Derivados não podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Constatou-se também que os Quadrados Mágicos Pitagóricos formados a partir do Terno 3, 4, 5 são Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos e geraram outras novas sequências de Ternos Pitagóricos.

Ver matérias relacionadas.

Quadrado Mágico de Quadrado - Quadrado Bi-Mágico

Quadrado Mágico de Quadrado, também denominado de Quadrado Bi-Mágico é o quadrado formado por números de 1 a n² que quando elevados ao quadrado permacecem mágicos, isto é, a soma de cada linha, cada coluna e diagonais tem a mesma Constante Mágica.

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

 

Fonte: http://www.multimagie.com

 

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Ver matérias relacionadas.

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (3x3)

A construção de Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 com números quadrados perfeitos gerados do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e seus derivados não formam Quadrado Mágico Pitagórico Perfeito, pois as somas das linhas, colunas e diagonais não têm como resultado Constante Mágica.

quadrados mágicos pitagóricos 3 - 4 - 5 ao quadrado

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

2565 + 4560 = 7125

Terno Pitagórico 3-4-5
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 3  
  quadrados
3 9
6 36
9 81
12 144
15 225
18 324
21 441
24 576
27 729
   
soma 2565
Terno Pitagórico 3-4-5
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 4  
  quadrados
4 16
8 64
12 144
16 256
20 400
24 576
28 784
32 1024
36 1296
   
soma 4560
Terno Pitagórico 3-4-5
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 5  
  quadrados
5 25
10 100
15 225
20 400
25 625
30 900
35 1225
40 1600
45 2025
   
soma 7125

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (4x4)

Quadrados Mágicos Pitagóricos 4x4 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

13464 + 23936 = 37400

Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 3  
  quadrados
3 9
6 36
9 81
12 144
15 225
18 324
21 441
24 576
27 729
30 900
33 1089
36 1296
39 1521
42 1764
45 2025
48 2304
 
soma 13464
   
Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 4  
  quadrados
4 16
8 64
12 144
16 256
20 400
24 576
28 784
32 1024
36 1296
40 1600
44 1936
48 2304
52 2704
56 3136
60 3600
64 4096
 
soma 23936
   
Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
   
   
múltiplos  
de 5  
  quadrados
5 25
10 100
15 225
20 400
25 625
30 900
35 1225
40 1600
45 2025
50 2500
55 3025
60 3600
65 4225
70 4900
75 5625
80 6400
 
soma 37400
   

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (5x5)

Quadrados Mágicos Pitagóricos 5x5 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

49725 + 88400 = 138125

Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
 
   
múltiplos  
de 3  
  quadrados
3 9
6 36
9 81
12 144
15 225
18 324
21 441
24 576
27 729
30 900
33 1089
36 1296
39 1521
42 1764
45 2025
48 2304
51 2601
54 2916
57 3249
60 3600
63 3969
66 4356
69 4761
72 5184
75 5625
 
soma 49725
   
Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
 
   
múltiplos  
de 4  
  quadrados
4 16
8 64
12 144
16 256
20 400
24 576
28 784
32 1024
36 1296
40 1600
44 1936
48 2304
52 2704
56 3136
60 3600
64 4096
68 4624
72 5184
76 5776
80 6400
84 7056
88 7744
92 8464
96 9216
100 10000
 
soma 88400
   
Terno Pitagórico 3-4-5,
seus derivados e seus quadrados
 
   
múltiplos  
de 5  
  quadrados
5 25
10 100
15 225
20 400
25 625
30 900
35 1225
40 1600
45 2025
50 2500
55 3025
60 3600
65 4225
70 4900
75 5625
80 6400
85 7225
90 8100
95 9025
100 10000
105 11025
110 12100
115 13225
120 14400
125 15625
 
soma 138125
   

Conclusão:

Com os exemplos de Quadrados Mágicos demonstrados, tem-se outra aplicação do Teorema de Pitágoras por meio da soma de números quadrados perfeitos originados de Ternos Pitagóricos, bem como uma nova variante de construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva outubro/2018

Fontes Bibliográficas:

HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

 

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