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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e Ternos Pitagóricos - 208

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por quadrados quadriculados nos quais são dispostos em certa ordem números de 1 a n² de forma que a soma de cada linha, cada coluna e diagonais apresentam a mesma soma, chamada de Constante Mágica.

No livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scott Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, há centenas de exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras e entre eles, cinco exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Ver matérias relacionadas.

Quadrados Mágicos Pitagóricos e o terno 3,4,5

Em 1953, Royal Vale Heath publicou no livro Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers o primeiro grupo de Quadrados Mágicos Pitagóricos com os Ternos 3, 4, 5 e seus derivados.

quadrados mágicos pitagóricos 3 - 4 - 5

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Analises publicadas no livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas e também aqui no site Os Fantásticos Números Primos constatou-se que determinados Ternos Pitagóricos Derivados não podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Constatou-se também que os Quadrados Mágicos Pitagóricos formados a partir do Terno 3, 4, 5 são Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos e geraram outras novas sequências de Ternos Pitagóricos.

Ver matérias relacionadas.

Quadrado Mágico de Quadrado - Quadrado Bi-Mágico

Quadrado Mágico de Quadrado, também denominado de Quadrado Bi-Mágico é o quadrado formado por números de 1 a n² que quando elevados ao quadrado permacecem mágicos, isto é, a soma de cada linha, cada coluna e diagonais tem a mesma Constante Mágica.

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

Fonte: http://www.multimagie.com

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Ver matérias relacionadas.

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (3x3)

A construção de Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 com números quadrados perfeitos gerados do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e seus derivados não formam Quadrado Mágico Pitagórico Perfeito, pois as somas das linhas, colunas e diagonais não têm como resultado Constante Mágica.

quadrados mágicos pitagóricos 3 - 4 - 5 ao quadrado

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

2565 + 4560 = 7125

Ternos Pitagóricos 3-4-5, seus derivados e seus quadrados
           
           
múltiplos   múltiplos   múltiplos  
de 3   de 4   de 5  
  quadrados   quadrados   quadrados
3 9 4 16 5 25
6 36 8 64 10 100
9 81 12 144 15 225
12 144 16 256 20 400
15 225 20 400 25 625
18 324 24 576 30 900
21 441 28 784 35 1225
24 576 32 1024 40 1600
27 729 36 1296 45 2025
           
soma 2565 + 4560 = 7125

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (4x4)

Quadrados Mágicos Pitagóricos 4x4 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

13464 + 23936 = 37400

Ternos Pitagóricos 3-4-5, seus derivados e seus quadrados
           
múltiplos   múltiplos   múltiplos  
de 3   de 4   de 5  
  quadrados   quadrados   quadrados
3 9 4 16 5 25
6 36 8 64 10 100
9 81 12 144 15 225
12 144 16 256 20 400
15 225 20 400 25 625
18 324 24 576 30 900
21 441 28 784 35 1225
24 576 32 1024 40 1600
27 729 36 1296 45 2025
30 900 40 1600 50 2500
33 1089 44 1936 55 3025
36 1296 48 2304 60 3600
39 1521 52 2704 65 4225
42 1764 56 3136 70 4900
45 2025 60 3600 75 5625
48 2304 64 4096 80 6400
     
soma 13464 + 23936 = 37400

Quadrados Mágicos Pitagóricos 3, 4, 5 ao quadrado (5x5)

Quadrados Mágicos Pitagóricos 5x5 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:

a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.

49725 + 88400 = 138125

Ternos Pitagóricos 3-4-5, seus derivados e seus quadrados
           
múltiplos   múltiplos   múltiplos  
de 3   de 4   de 5  
  quadrados   quadrados   quadrados
3 9 4 16 5 25
6 36 8 64 10 100
9 81 12 144 15 225
12 144 16 256 20 400
15 225 20 400 25 625
18 324 24 576 30 900
21 441 28 784 35 1225
24 576 32 1024 40 1600
27 729 36 1296 45 2025
30 900 40 1600 50 2500
33 1089 44 1936 55 3025
36 1296 48 2304 60 3600
39 1521 52 2704 65 4225
42 1764 56 3136 70 4900
45 2025 60 3600 75 5625
48 2304 64 4096 80 6400
51 2601 68 4624 85 7225
54 2916 72 5184 90 8100
57 3249 76 5776 95 9025
60 3600 80 6400 100 10000
63 3969 84 7056 105 11025
66 4356 88 7744 110 12100
69 4761 92 8464 115 13225
72 5184 96 9216 120 14400
75 5625 100 10000 125 15625
     
soma 49725 + 88400 = 138125

Conclusão:

Com os exemplos de Quadrados Mágicos demonstrados, ve-se mais uma variação de aplicação do Teorema de Pitágoras por meio da soma de números quadrados perfeitos originados de Ternos Pitagórico, bem como uma nova variante de construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva outubro/2018

Fonte:

HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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