Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por quadrados quadriculados nos quais são dispostos em certa ordem números de 1 a n² de forma que a soma de cada linha, cada coluna e diagonais apresentam a mesma soma, chamada de Constante Mágica.
No livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scott Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, há centenas de exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras e entre eles, cinco exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos.
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Em 1953, Royal Vale Heath publicou no livro Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers o primeiro grupo de Quadrados Mágicos Pitagóricos com os Ternos 3, 4, 5 e seus derivados.
Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.
Analises publicadas no livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas e também aqui no site Os Fantásticos Números Primos constatou-se que determinados Ternos Pitagóricos Derivados não podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.
Constatou-se também que os Quadrados Mágicos Pitagóricos formados a partir do Terno 3, 4, 5 são Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos e geraram outras novas sequências de Ternos Pitagóricos.
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Quadrado Mágico de Quadrado, também denominado de Quadrado Bi-Mágico é o quadrado formado por números de 1 a n² que quando elevados ao quadrado permacecem mágicos, isto é, a soma de cada linha, cada coluna e diagonais tem a mesma Constante Mágica.
Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:
So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.
Fonte: http://www.multimagie.com
Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:
Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.
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A construção de Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 com números quadrados perfeitos gerados do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e seus derivados não formam Quadrado Mágico Pitagórico Perfeito, pois as somas das linhas, colunas e diagonais não têm como resultado Constante Mágica.
Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:
a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 9 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.
2565 + 4560 = 7125
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 3 | |
| quadrados | |
| 3 | 9 |
| 6 | 36 |
| 9 | 81 |
| 12 | 144 |
| 15 | 225 |
| 18 | 324 |
| 21 | 441 |
| 24 | 576 |
| 27 | 729 |
| soma | 2565 |
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 4 | |
| quadrados | |
| 4 | 16 |
| 8 | 64 |
| 12 | 144 |
| 16 | 256 |
| 20 | 400 |
| 24 | 576 |
| 28 | 784 |
| 32 | 1024 |
| 36 | 1296 |
| soma | 4560 |
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 5 | |
| quadrados | |
| 5 | 25 |
| 10 | 100 |
| 15 | 225 |
| 20 | 400 |
| 25 | 625 |
| 30 | 900 |
| 35 | 1225 |
| 40 | 1600 |
| 45 | 2025 |
| soma | 7125 |
Quadrados Mágicos Pitagóricos 4x4 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:
a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 16 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.
13464 + 23936 = 37400
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 3 | |
| quadrados | |
| 3 | 9 |
| 6 | 36 |
| 9 | 81 |
| 12 | 144 |
| 15 | 225 |
| 18 | 324 |
| 21 | 441 |
| 24 | 576 |
| 27 | 729 |
| 30 | 900 |
| 33 | 1089 |
| 36 | 1296 |
| 39 | 1521 |
| 42 | 1764 |
| 45 | 2025 |
| 48 | 2304 |
| soma | 13464 |
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 4 | |
| quadrados | |
| 4 | 16 |
| 8 | 64 |
| 12 | 144 |
| 16 | 256 |
| 20 | 400 |
| 24 | 576 |
| 28 | 784 |
| 32 | 1024 |
| 36 | 1296 |
| 40 | 1600 |
| 44 | 1936 |
| 48 | 2304 |
| 52 | 2704 |
| 56 | 3136 |
| 60 | 3600 |
| 64 | 4096 |
| soma | 23936 |
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 5 | |
| quadrados | |
| 5 | 25 |
| 10 | 100 |
| 15 | 225 |
| 20 | 400 |
| 25 | 625 |
| 30 | 900 |
| 35 | 1225 |
| 40 | 1600 |
| 45 | 2025 |
| 50 | 2500 |
| 55 | 3025 |
| 60 | 3600 |
| 65 | 4225 |
| 70 | 4900 |
| 75 | 5625 |
| 80 | 6400 |
| soma | 37400 |
Quadrados Mágicos Pitagóricos 5x5 formados com números quadrados perfeitos do Terno Pitagórico 3,4,5 e seus derivados apresentam uma outra propriedade relacionada ao Teorema de Pitágoras de que:
a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 3 mais a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 4 é igual a soma dos 25 primeiros quadrados perfeitos dos múltiplos de 5.
49725 + 88400 = 138125
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 3 | |
| quadrados | |
| 3 | 9 |
| 6 | 36 |
| 9 | 81 |
| 12 | 144 |
| 15 | 225 |
| 18 | 324 |
| 21 | 441 |
| 24 | 576 |
| 27 | 729 |
| 30 | 900 |
| 33 | 1089 |
| 36 | 1296 |
| 39 | 1521 |
| 42 | 1764 |
| 45 | 2025 |
| 48 | 2304 |
| 51 | 2601 |
| 54 | 2916 |
| 57 | 3249 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
| 66 | 4356 |
| 69 | 4761 |
| 72 | 5184 |
| 75 | 5625 |
| soma | 49725 |
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 4 | |
| quadrados | |
| 4 | 16 |
| 8 | 64 |
| 12 | 144 |
| 16 | 256 |
| 20 | 400 |
| 24 | 576 |
| 28 | 784 |
| 32 | 1024 |
| 36 | 1296 |
| 40 | 1600 |
| 44 | 1936 |
| 48 | 2304 |
| 52 | 2704 |
| 56 | 3136 |
| 60 | 3600 |
| 64 | 4096 |
| 68 | 4624 |
| 72 | 5184 |
| 76 | 5776 |
| 80 | 6400 |
| 84 | 7056 |
| 88 | 7744 |
| 92 | 8464 |
| 96 | 9216 |
| 100 | 10000 |
| soma | 88400 |
| Terno Pitagórico 3-4-5, | |
|---|---|
| seus derivados e seus quadrados | |
| múltiplos | |
| de 5 | |
| quadrados | |
| 5 | 25 |
| 10 | 100 |
| 15 | 225 |
| 20 | 400 |
| 25 | 625 |
| 30 | 900 |
| 35 | 1225 |
| 40 | 1600 |
| 45 | 2025 |
| 50 | 2500 |
| 55 | 3025 |
| 60 | 3600 |
| 65 | 4225 |
| 70 | 4900 |
| 75 | 5625 |
| 80 | 6400 |
| 85 | 7225 |
| 90 | 8100 |
| 95 | 9025 |
| 100 | 10000 |
| 105 | 11025 |
| 110 | 12100 |
| 115 | 13225 |
| 120 | 14400 |
| 125 | 15625 |
| soma | 138125 |
Com os exemplos de Quadrados Mágicos demonstrados, tem-se outra aplicação do Teorema de Pitágoras por meio da soma de números quadrados perfeitos originados de Ternos Pitagóricos, bem como uma nova variante de construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.
Autor: Ricardo Silva outubro/2018
HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014
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