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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Partições de número natural - 260

O algorítmo de Decomposição em Fatores Primos é um método pelo qual podemos saber quais são e as quantidades de divisores de um número natural.

Por meio da decomposição em fatores primos também podemos saber se um número é um quadrado perfeito, cubo perfeito, etc. bem como determinar o Mínimo Múltiplo Comum e o Máximo Divisor Comum.

E de quantas maneiras pode-se particionar um número natural, isto é, decompô-lo em somas de números inteiros?

Nos estudos de Srinivasa Ramanujan (1887-1920), em colaboração com Godfrey Hardy (1877–1947) em uma complexa fórmula que envolve raiz quadrada de 2, número pi, números imaginários, funções trigonometricas eles conseguiram por exemplo saber a quantidade aproximada 3.972.999.029.388 de partições do Número 200.

Convenhamos, fazer cálculos em que o arrendamento do resultado é próximo da respota exata de 3.972.999.029.388 são cálculos de Mestres.

Partições e números primos

A seguinte tabela apresenta a quantidade de partições de alguns números naturais.

Número (N) Partições de N = p(N)
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
11 46
12 77
13 101
14 135
15 176
16 231
17 297
18 385
19 490
20 627
21 792
22 1.002
100 190.569.291
1000 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991

Fonte:

https://cosmovivencias.blogspot.com/2018/12/0155-voltando-particao-dos-numeros.html

Ramanujan em seus estudos com Partições verificou que a quantidade de partições de determinados números são múltiplos de números primos:

a) p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135, p(19)=490 são múltiplos de 5;

b) p(5)=7, p(12)=77, p(19)=490 são múltiplo de 7;

c) p(6)=11, p(17)=297 são múltiplo de 11;

Partições e regularidades numéricas

Tabulando informações de alguns números naturais com as suas respectivas partições, pode-se verificar mais padrões e regularidades numéricas.

Partições de Números Naturais
   
Quantidade   Quantidade
números   de
por   partlçoes
linha  
  Partições
Número 2 1 2
2 1 1 2
2 x 2 = 4      
soma 3 3 1
                 
                 
Número 3 1 3           1
  2 2 1         2
3 x 3 = 9 3 1 1 1       3
         
soma 9 9 2 1
                 
                 
Número 4 1 4           1
  2 3 1         2
4 x 5 = 20 2 2 2         3
  3 2 1 1       4
  4 1 1 1 1     5
           
soma 12 12 5 2 1
                 
                 
Número 5 1 5           1
  2 4 1         2
5 x 7 = 35 2 3 2         3
  3 3 1 1       4
  3 2 2 1       5
  4 2 1 1 1     6
  5 1 1 1 1 1   7
               
soma 20 20 8 4 2 1  
                 
                 
Número 6 1 6           1
  2 5 1         2
6 x 11 = 66 2 4 2         3
  3 4 1 1       4
  2 3 3         5
  3 3 2 1       6
  4 3 1 1 1     7
  3 2 2 2       8
  4 2 2 1 1     9
  5 2 1 1 1 1   10
  6 1 1 1 1 1 1 11
               
soma 35 35 16 8 4 2 1
                   
                   
Número 7 1 7             1
  2 6 1           2
7 x 15 = 105 2 5 2           3
  3 5 1 1         4
  2 4 3           5
  3 4 2 1         6
  4 4 1 1 1       7
  3 3 3 1         8
  3 3 2 2         9
  4 3 2 1 1       10
  5 3 1 1 1 1     11
  4 2 2 2 1       12
  5 2 2 1 1 1     13
  6 2 1 1 1 1 1   14
  7 1 1 1 1 1 1 1 15
                 
soma 54 54 24 13 7 4 2 1
                       
                       
Número 8 1 8                 1
  2 7 1               2
8 x 22 = 176 2 6 2               3
  3 6 1 1             4
  2 5 3               5
  3 5 2 1             6
  4 5 1 1 1           7
  2 4 4               8
  3 4 3 1             9
  3 4 2 2             10
  4 4 2 1 1           11
  5 4 1 1 1 1         12
  3 3 3 2             13
  4 3 3 1 1           14
  4 3 2 2 1           15
  5 3 2 1 1 1         16
  6 3 1 1 1 1 1       17
  4 2 2 2 2           18
  5 2 2 2 1 1         19
  6 2 2 1 1 1 1       20
  7 2 1 1 1 1 1 1     21
  8 1 1 1 1 1 1 1 1   22
                     
soma 86 86 41 22 13 7 4 2 1  
                       
                       
Número 9 1 9                 1
  2 8 1               2
9 x 30 = 270 2 7 2               3
  3 7 1 1             4
  2 6 3               5
  3 6 2 1             6
  4 6 1 1 1           7
  2 5 4               8
  3 5 3 1             9
  3 5 2 2             10
  4 5 2 1 1           11
  5 5 1 1 1 1         12
  3 4 4 1             13
  3 4 3 2             14
  4 4 3 1 1           15
  4 4 2 2 1           16
  5 4 2 1 1 1         17
  6 4 1 1 1 1 1       18
  3 3 3 3             19
  4 3 3 2 1           20
  4 3 2 2 2           21
  5 3 3 1 1 1         22
  5 3 2 2 1 1         23
  6 3 2 1 1 1 1       24
  7 3 1 1 1 1 1 1     25
  5 2 2 2 2 1         26
  6 2 2 2 1 1 1       27
  7 2 2 1 1 1 1 1     28
  8 2 1 1 1 1 1 1 1   29
  9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30
                     
soma 128 128 61 35 20 12 7 4 2 1
                     
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Partições do número 2

  Partições
Número 2 1 2
2 x 2 = 4 2 1 1 2
       
soma 3 3 1

O número 2 possui a quantidade de 2 partições.

2 x 2 = 4

4 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 3 é soma da quantidade de números por linha

b) 3 é a soma da primeira coluna das partições

Partições do número 3

Número 3 1 3           1
3 x 3 = 9 2 2 1         2
  3 1 1 1       3
         
soma 6 6 2 1

O número 3 possui a quantidade de 3 partições.

3 x 3 = 9

9 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 6 é soma da quantidade de números por linha;

b) 6 é a soma da primeira coluna das partições.

Partições do número 4

Número 4 1 4           1
4 x 5 = 20 2 3 1         2
  2 2 2         3
  3 2 1 1       4
  4 1 1 1 1     5
           
soma 12 12 5 2 1

O número 4 possui a quantidade de 5 partições.

4 x 5 = 20

20 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 12 é soma da quantidade de números por linha;

b) 12 é a soma da primeira coluna das partições.

Partições do número 5

Número 5 1 5           1
5 x 7 = 35 2 4 1         2
  2 3 2         3
  3 3 1 1       4
  3 2 2 1       5
  4 2 1 1 1     6
  5 1 1 1 1 1   7
soma 20 20 8 4 2 1  
               

O número 5 possui a quantidade de 7 partições.

5 x 7 = 35

35 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 20 é soma da quantidade de números por linha;

b) 20 é a soma da primeira coluna das partições.

Partições do número 6

Número 6 1 6           1
6 x 11 = 66 2 5 1         2
  2 4 2         3
  3 4 1 1       4
  2 3 3         5
  3 3 2 1       6
  4 3 1 1 1     7
  3 2 2 2       8
  4 2 2 1 1     9
  5 2 1 1 1 1   10
  6 1 1 1 1 1 1 11
               
soma 35 35 16 8 4 2 1

O número 6 possui a quantidade de 11 partições.

6 x 11 = 66

66 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 35 é soma da quantidade de números por linha;

b) 35 é a soma da primeira coluna das partições.

Partições do número 7

Número 7 1 7             1
  2 6 1           2
7 x 15 = 105 2 5 2           3
  3 5 1 1         4
  2 4 3           5
  3 4 2 1         6
  4 4 1 1 1       7
  3 3 3 1         8
  3 3 2 2         9
  4 3 2 1 1       10
  5 3 1 1 1 1     11
  4 2 2 2 1       12
  5 2 2 1 1 1     13
  6 2 1 1 1 1 1   14
  7 1 1 1 1 1 1 1 15
                 
soma 54 54 24 13 7 4 2 1

O número 7 possui a quantidade de 15 partições.

7 x 15 = 105

105 é a soma de todos dos números das partições.

A soma da quantidade de números por linha das partições é igual a soma da primeira coluna da partição:

a) 54 é soma da quantidade de números por linha;

b) 54 é a soma da primeira coluna das partições.

Partições e duplas de números distintos

Nas partições de números naturais ocorrem duplas de números distintos os quais podem ser utilizados como raízes de Equações do Segundo Grau.

Número 5 1 5           1
5 x 7 = 35 2 4 1         2
  2 3 2         3
  3 3 1 1       4
  3 2 2 1       5
  4 2 1 1 1     6
  5 1 1 1 1 1   7
soma 20 20 8 4 2 1  
               

Exemplo:

A dupla 3 e 2 pode ser utilizada em uma equação produto para formar um Trinômio do Segundo Grau:

(x-2) . (x-3) = 0

x - 5x + 6 = 0

x - 5x + 6 = (x-2) . (x-3)

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Du Sautoy, Marcus, 1965. A música dos números primos: uma história de um problema não resolvido na matemática / Marcus du Sautoy, Diego Alfaro. - Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2007

https://cosmovivencias.blogspot.com/2018/12/0155-voltando-particao-dos-numeros.html

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