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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Espiral de Ulam - 272

Em 1963, o matemático Stanisław Ulam, durante o intervalo de um encontro cientifico da qual participava, começou a rabiscar um dispositivo numérico com o número um ao centro e expandindo em formato de espiral, posteriormente percebera que os números primos estavam ficando dispostos em diagonais, nascia então a Espiral de Ulam.

Assim como a Espiral de Ulam, há diversos outros dispositivos e modelos matemáticos em que é possível observar o comportamento de números primos, aqui mesmo no Web Site Os Fantásticos Números Primos há vários exemplos com polígonos e circunferências.

Espiral de Ulam
e números primos
                   
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91
                   
65 64 63 62 61 60 59 58 57 90
                   
66 37 36 35 34 33 32 31 56 89
                   
67 38 17 16 15 14 13 30 55 88
                   
68 39 18 5 4 3 12 29 54 87
                   
69 40 19 6 1 2 11 28 53 86
                   
70 41 20 7 8 9 10 27 52 85
                   
71 42 21 22 23 24 25 26 51 84
                   
72 43 44 45 46 47 48 49 50 83
                   
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
                   
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Espiral de Ulam e Espiral de Ellerstein

O periódico The Journal of Recreational Mathematics, vol. 30: 4, 1999-2000, pp. 246-250 publicou o artigo The Pronic Renaisance II, do Dr. Stuart Ellerstein em que relata novas descobertas na Espiral de Ulam.

Observação importante: na Espiral do Dr. Ellerstein, a sequência começa com zero (0), desce para o número 1, 2 à direita do 1, sobre para o 3 e continua.

a) na diagonal principal encontra-se números oblongos (também denominados retângulares) que são números que são os dobros de números triangulares;

na parte superior: 210, 156, 110, 72, 42, 20 e 6.

na parte inferior: 2, 12, 30, 56, 90, 132 e 182.

b) na metade da diagonal secundaria superior aparecem os números quadrados perfeitos pares: 4, 16, 36, 64, 100, ...;

c) na metade da diagonal pararela à secundaria aparecem os números quadrados perfeitos ímpares: 9, 25, 36, 49, 81, 121...

Observação: Um número pronic é um número na forma x(x+1). É um número que o dobro de um número triangular.

Espiral de Ellerstein

Fonte:http://www.magic-squares.net/moreprimes.htm

Espiral de Ulam e os números quadrados e oblongos

Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 2, ao lado do 1, sobe para o 3 e continua.

Na Espiral de Ulam em que a sequência começa com o número 1, a metade superior da diagonal principal há números quadrados perfeitos pares e paralela à ela na parte inferior números quadrados perfeitos ímpares (cor amarela).

Paralelas à diagonal secundária encontram-se os números oblongos (números retângulares), que são números que são dobros de números triangulares.

Espiral de Ulam
números quadrados
números oblongos
                   
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91
                   
65 64 63 62 61 60 59 58 57 90
                   
66 37 36 35 34 33 32 31 56 89
                   
67 38 17 16 15 14 13 30 55 88
                   
68 39 18 5 4 3 12 29 54 87
                   
69 40 19 6 1 2 11 28 53 86
                   
70 41 20 7 8 9 10 27 52 85
                   
71 42 21 22 23 24 25 26 51 84
                   
72 43 44 45 46 47 48 49 50 83
                   
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
                   
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Espiral de Ulam e os números triangulares ímpares

Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, ao lado do 1, sobe para o 5 e continua.

Na Espiral de Ulam formada com números ímpares, os números triangulares ímpares aparecem alinhados horizontal e verticalmente ao número triangular 1. (cor laranja).

Cor amarela - números primos.

Cor azul - números quadrados perfeitos.

Cor laranja - números triangulares ímpares.

Espiral de Ulam
números triangulares ímpares
                   
199 197 195 193 191 189 187 185 183 181
                   
129 127 125 123 121 119 117 115 113 179
                   
131 73 71 69 67 65 63 61 111 177
                   
133 75 33 31 29 27 25 59 109 175
                   
135 77 35 9 7 5 23 57 107 173
                   
137 79 37 11 1 3 21 55 105 171
                   
139 81 39 13 15 17 19 53 103 169
                   
141 83 41 43 45 47 49 51 101 167
                   
143 85 87 89 91 93 95 97 99 165
                   
145 147 149 151 153 155 157 159 161 163
                   
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Espiral de Ulam e os números triangulares pares

Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 4, ao lado do 2, sobe para o 6 e continua.

Na Espiral de Ulam formada com números pares, os números triangulares pares aparecem alinhados horizontal e verticalmente tendendo à esquerda, começando pelo triangular 6. (cor laranja).

Interessante observar que os números 6 e 28 que também são números perfeitos aparecem alinhados verticalmente, será que os demais números perfeitos também tendem ao alinhamento vertical?

Cor amarelo - números perfeitos.

Cor azul - dobros de números ímpares.

Cor laranja - números triangulares pares.

Espiral de Ulam
números triangulares pares
                   
200 198 196 194 192 190 188 186 184 182
                   
130 128 126 124 122 120 118 116 114 180
                   
132 74 72 70 68 66 64 62 112 178
                   
134 76 34 32 30 28 26 60 110 176
                   
136 78 36 10 8 6 24 58 108 174
                   
138 80 38 12 2 4 22 56 106 172
                   
140 82 40 14 16 18 20 54 104 170
                   
142 84 42 44 46 48 50 52 102 168
                   
144 86 88 90 92 94 96 98 100 166
                   
146 148 150 152 154 156 158 160 162 164
                   
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Observação importante: esta espiral não segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 4, a baixo do 2, 6 ao lado do 4 e continua.

Nesta Espiral de Ulam também formada com números pares, os números triangulares pares aparecem alinhados horizontal e verticalmente tendendo para à direita, começando pelo triangular 6. (cor laranja).

Espiral de Ulam
números triangulares pares
                   
224 222 220 218 216 210 208 206 204 202
                   
146 144 142 140 138 136 134 132 130 200
                   
148 86 84 82 80 78 76 74 128 198
                   
150 88 42 40 38 36 34 72 126 196
                   
152 90 44 14 12 10 32 70 124 194
                   
154 92 46 16 2 8 30 68 122 192
                   
156 94 48 18 4 6 28 66 120 190
                   
158 96 50 20 22 24 26 64 118 188
                   
160 98 52 54 56 58 60 62 116 186
                   
162 100 102 104 106 108 110 112 114 184
                   
164 166 168 170 172 174 176 178 180 182
                   
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Espiral de Ulam e números perfeitos

Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, ao lado do 1, sobe para o 6 e continua.

Na Espiral de Ulam formada com números triangulares, os números perfeitos: 28, 6 e 496 aparecem alinhados à diagonal secundária e o número 8128 não aparece alinhado horizoltalmente ao número 28 (cor laranja).

Será que todos os números triangulares tendem a aparecem alinhados diagonal e verticalmente?

Espiral de Ulam
números perfeitos
                   
5151 5050 4950 4851 4753 4656 4560 4465 4371 9045
                   
2145 2080 2016 1953 1830 1770 1711 1653 4186 8911
                   
703 666 630 595 561 528 496 1596 4095 8778
                   
741 153 136 120 105 91 465 1540 4005 8646
                   
780 171 15 10 6 78 435 1485 3916 8515
                   
820 190 21 1 3 66 406 1431 3828 8385
                   
861 210 28 36 45 55 378 1378 3741 8256
                   
903 231 253 276 300 325 351 1326 3655 8128
                   
946 990 1035 1081 1128 1176 1225 1275 3570 8001
                   
2850 2926 3003 3081 3160 3240 3321 3403 3486 7875
                   
6670 6786 6903 7021 7140 7260 7381 7503 7626 7750
                   
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Observação importante: esta espiral não segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, a baixo do 1, 6 ao lado do 3 e continua.

Na Espiral de Ulam formada com números triangulares, os números perfeitos: 28, 6 e 496 aparecem alinhados à diagonal principal e o número 8128 alinhado verticalmente ao número 28 (cor laranja).

Espiral de Ulam
números perfeitos
                   
6328 6216 6105 5995 5886 5778 5671 5565 5460 5356
                   
6441 2701 2628 2556 2485 2415 2346 2278 2211 2145
                   
6555 2775 946 903 861 820 780 741 703 2080
                   
6670 2850 990 231 210 190 171 153 666 2016
                   
6786 2926 1035 253 28 21 15 136 630 1953
                   
6903 3003 1081 276 36 1 10 120 595 1830
                   
7021 3081 1128 300 45 3 6 105 561 1770
                   
7140 3160 1176 325 55 66 78 91 528 1711
                   
7260 3240 1225 351 378 406 435 465 496 1653
                   
7381 3321 1275 1326 2926 1378 1431 1485 1540 1596
                   
7503 3403 3486 3570 3655 3741 3828 3916 4005 4095
                   
7626 7750 7875 8001 8128 8256 8385 8515 8646 8778
                   
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

http://www.magic-squares.net/ moreprimes.htm

https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ulam

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