Em 1963, o matemático Stanisław Ulam, durante o intervalo de um encontro científico do qual participava, começou a rabiscar um dispositivo numérico com o número um ao centro e expandindo em formato de espiral, posteriormente percebera que os números primos estavam ficando dispostos em diagonais, nascia então a Espiral de Ulam.
Assim como a Espiral de Ulam, há diversos outros dispositivos e modelos matemáticos em que é possível observar o comportamento de números primos, aqui mesmo no WebSite Os Fantásticos Números Primos há vários exemplos de polígonos e circunferências.
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e números primos | ||||||||||||||||||
| 100 | 99 | 98 | 97 | 96 | 95 | 94 | 93 | 92 | 91 | |||||||||
| 65 | 64 | 63 | 62 | 61 | 60 | 59 | 58 | 57 | 90 | |||||||||
| 66 | 37 | 36 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 56 | 89 | |||||||||
| 67 | 38 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 30 | 55 | 88 | |||||||||
| 68 | 39 | 18 | 5 | 4 | 3 | 12 | 29 | 54 | 87 | |||||||||
| 69 | 40 | 19 | 6 | 1 | 2 | 11 | 28 | 53 | 86 | |||||||||
| 70 | 41 | 20 | 7 | 8 | 9 | 10 | 27 | 52 | 85 | |||||||||
| 71 | 42 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 51 | 84 | |||||||||
| 72 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 83 | |||||||||
| 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | |||||||||
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O periódico The Journal of Recreational Mathematics, vol. 30: 4, 1999-2000, pp. 246-250 publicou o artigo The Pronic Renaisance II, do Dr. Stuart Ellerstein em que relata novas descobertas na Espiral de Ulam.
Observação importante: na Espiral do Dr. Ellerstein, a sequência começa com zero (0), desce para o número 1, 2 à direita do 1, sobre para o 3 e continua.
a) na diagonal principal encontra-se números oblongos (também denominados retangulares) que são números que são os dobros de números triangulares;
na parte superior: 210, 156, 110, 72, 42, 20 e 6.
na parte inferior: 2, 12, 30, 56, 90, 132 e 182.
b) na metade da diagonal secundária superior aparecem os números quadrados perfeitos pares: 4, 16, 36, 64, 100, ...;
c) na metade da diagonal pararela à secundária aparecem os números quadrados perfeitos ímpares: 9, 25, 36, 49, 81, 121...
Observação: Um número pronic é um número na forma x(x+1). É um número que o dobro de um número triangular.
Fonte:http://www.magic-squares.net/
Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 2, ao lado do 1, sobe para o 3 e continua.
Na Espiral de Ulam em que a sequência começa com o número 1, a metade superior da diagonal principal há números quadrados perfeitos pares e paralela à ela na parte inferior números quadrados perfeitos ímpares (cor amarela).
Paralelas à diagonal secundária encontram-se os números oblongos (números retângulares), que são números que são dobros de números triangulares.
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números quadrados | ||||||||||||||||||
| números oblongos | ||||||||||||||||||
| 100 | 99 | 98 | 97 | 96 | 95 | 94 | 93 | 92 | 91 | |||||||||
| 65 | 64 | 63 | 62 | 61 | 60 | 59 | 58 | 57 | 90 | |||||||||
| 66 | 37 | 36 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 56 | 89 | |||||||||
| 67 | 38 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 30 | 55 | 88 | |||||||||
| 68 | 39 | 18 | 5 | 4 | 3 | 12 | 29 | 54 | 87 | |||||||||
| 69 | 40 | 19 | 6 | 1 | 2 | 11 | 28 | 53 | 86 | |||||||||
| 70 | 41 | 20 | 7 | 8 | 9 | 10 | 27 | 52 | 85 | |||||||||
| 71 | 42 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 51 | 84 | |||||||||
| 72 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 83 | |||||||||
| 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | |||||||||
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Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, ao lado do 1, sobe para o 5 e continua.
Na Espiral de Ulam formada com números ímpares, os números triangulares ímpares aparecem alinhados horizontal e verticalmente ao número triangular 1. (cor laranja).
Cor amarela - números primos.
Cor azul - números quadrados perfeitos.
Cor laranja - números triangulares ímpares.
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números triangulares ímpares | ||||||||||||||||||
| 199 | 197 | 195 | 193 | 191 | 189 | 187 | 185 | 183 | 181 | |||||||||
| 129 | 127 | 125 | 123 | 121 | 119 | 117 | 115 | 113 | 179 | |||||||||
| 131 | 73 | 71 | 69 | 67 | 65 | 63 | 61 | 111 | 177 | |||||||||
| 133 | 75 | 33 | 31 | 29 | 27 | 25 | 59 | 109 | 175 | |||||||||
| 135 | 77 | 35 | 9 | 7 | 5 | 23 | 57 | 107 | 173 | |||||||||
| 137 | 79 | 37 | 11 | 1 | 3 | 21 | 55 | 105 | 171 | |||||||||
| 139 | 81 | 39 | 13 | 15 | 17 | 19 | 53 | 103 | 169 | |||||||||
| 141 | 83 | 41 | 43 | 45 | 47 | 49 | 51 | 101 | 167 | |||||||||
| 143 | 85 | 87 | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 | 99 | 165 | |||||||||
| 145 | 147 | 149 | 151 | 153 | 155 | 157 | 159 | 161 | 163 | |||||||||
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Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 4, ao lado do 2, sobe para o 6 e continua.
Na Espiral de Ulam formada com números pares, os números triangulares pares aparecem alinhados horizontal e verticalmente tendendo à esquerda, começando pelo triangular 6. (cor laranja).
Interessante observar que os números 6 e 28 que também são números perfeitos aparecem alinhados verticalmente.
Será que os demais números perfeitos também tendem ao alinhamento vertical?
Cor amarelo - números perfeitos.
Cor azul - dobros de números ímpares.
Cor laranja - números triangulares pares.
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números triangulares pares | ||||||||||||||||||
| 200 | 198 | 196 | 194 | 192 | 190 | 188 | 186 | 184 | 182 | |||||||||
| 130 | 128 | 126 | 124 | 122 | 120 | 118 | 116 | 114 | 180 | |||||||||
| 132 | 74 | 72 | 70 | 68 | 66 | 64 | 62 | 112 | 178 | |||||||||
| 134 | 76 | 34 | 32 | 30 | 28 | 26 | 60 | 110 | 176 | |||||||||
| 136 | 78 | 36 | 10 | 8 | 6 | 24 | 58 | 108 | 174 | |||||||||
| 138 | 80 | 38 | 12 | 2 | 4 | 22 | 56 | 106 | 172 | |||||||||
| 140 | 82 | 40 | 14 | 16 | 18 | 20 | 54 | 104 | 170 | |||||||||
| 142 | 84 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 | 102 | 168 | |||||||||
| 144 | 86 | 88 | 90 | 92 | 94 | 96 | 98 | 100 | 166 | |||||||||
| 146 | 148 | 150 | 152 | 154 | 156 | 158 | 160 | 162 | 164 | |||||||||
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Observação importante: esta espiral não segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 4, abaixo do 2, 6 ao lado do 4 e continua.
Nesta Espiral de Ulam também formada com números pares, os números triangulares pares aparecem alinhados horizontal e verticalmente tendendo para à direita, começando pelo triangular 6. (cor laranja).
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números triangulares pares | ||||||||||||||||||
| 224 | 222 | 220 | 218 | 216 | 210 | 208 | 206 | 204 | 202 | |||||||||
| 146 | 144 | 142 | 140 | 138 | 136 | 134 | 132 | 130 | 200 | |||||||||
| 148 | 86 | 84 | 82 | 80 | 78 | 76 | 74 | 128 | 198 | |||||||||
| 150 | 88 | 42 | 40 | 38 | 36 | 34 | 72 | 126 | 196 | |||||||||
| 152 | 90 | 44 | 14 | 12 | 10 | 32 | 70 | 124 | 194 | |||||||||
| 154 | 92 | 46 | 16 | 2 | 8 | 30 | 68 | 122 | 192 | |||||||||
| 156 | 94 | 48 | 18 | 4 | 6 | 28 | 66 | 120 | 190 | |||||||||
| 158 | 96 | 50 | 20 | 22 | 24 | 26 | 64 | 118 | 188 | |||||||||
| 160 | 98 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 | 62 | 116 | 186 | |||||||||
| 162 | 100 | 102 | 104 | 106 | 108 | 110 | 112 | 114 | 184 | |||||||||
| 164 | 166 | 168 | 170 | 172 | 174 | 176 | 178 | 180 | 182 | |||||||||
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Observação importante: esta espiral segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, ao lado do 1, sobe para o 6 e continua.
Na Espiral de Ulam formada com números triangulares, os números perfeitos: 28, 6 e 496 aparecem alinhados à diagonal secundária e o número 8128 não aparece alinhado horizontalmente ao número 28 (cor laranja).
Será que todos os números triangulares tendem a aparecem alinhados diagonal e verticalmente?
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números perfeitos | ||||||||||||||||||
| 5151 | 5050 | 4950 | 4851 | 4753 | 4656 | 4560 | 4465 | 4371 | 9045 | |||||||||
| 2145 | 2080 | 2016 | 1953 | 1830 | 1770 | 1711 | 1653 | 4186 | 8911 | |||||||||
| 703 | 666 | 630 | 595 | 561 | 528 | 496 | 1596 | 4095 | 8778 | |||||||||
| 741 | 153 | 136 | 120 | 105 | 91 | 465 | 1540 | 4005 | 8646 | |||||||||
| 780 | 171 | 15 | 10 | 6 | 78 | 435 | 1485 | 3916 | 8515 | |||||||||
| 820 | 190 | 21 | 1 | 3 | 66 | 406 | 1431 | 3828 | 8385 | |||||||||
| 861 | 210 | 28 | 36 | 45 | 55 | 378 | 1378 | 3741 | 8256 | |||||||||
| 903 | 231 | 253 | 276 | 300 | 325 | 351 | 1326 | 3655 | 8128 | |||||||||
| 946 | 990 | 1035 | 1081 | 1128 | 1176 | 1225 | 1275 | 3570 | 8001 | |||||||||
| 2850 | 2926 | 3003 | 3081 | 3160 | 3240 | 3321 | 3403 | 3486 | 7875 | |||||||||
| 6670 | 6786 | 6903 | 7021 | 7140 | 7260 | 7381 | 7503 | 7626 | 7750 | |||||||||
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Observação importante: esta espiral não segue a configuração original da Espiral de Ulam: o número 3, a baixo do 1, 6 ao lado do 3 e continua.
Na Espiral de Ulam formada com números triangulares, os números perfeitos: 28, 6 e 496 aparecem alinhados à diagonal principal e o número 8128 alinhado verticalmente ao número 28 (cor laranja).
| Espiral de Ulam | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| números perfeitos | ||||||||||||||||||
| 6328 | 6216 | 6105 | 5995 | 5886 | 5778 | 5671 | 5565 | 5460 | 5356 | |||||||||
| 6441 | 2701 | 2628 | 2556 | 2485 | 2415 | 2346 | 2278 | 2211 | 2145 | |||||||||
| 6555 | 2775 | 946 | 903 | 861 | 820 | 780 | 741 | 703 | 2080 | |||||||||
| 6670 | 2850 | 990 | 231 | 210 | 190 | 171 | 153 | 666 | 2016 | |||||||||
| 6786 | 2926 | 1035 | 253 | 28 | 21 | 15 | 136 | 630 | 1953 | |||||||||
| 6903 | 3003 | 1081 | 276 | 36 | 1 | 10 | 120 | 595 | 1830 | |||||||||
| 7021 | 3081 | 1128 | 300 | 45 | 3 | 6 | 105 | 561 | 1770 | |||||||||
| 7140 | 3160 | 1176 | 325 | 55 | 66 | 78 | 91 | 528 | 1711 | |||||||||
| 7260 | 3240 | 1225 | 351 | 378 | 406 | 435 | 465 | 496 | 1653 | |||||||||
| 7381 | 3321 | 1275 | 1326 | 2926 | 1378 | 1431 | 1485 | 1540 | 1596 | |||||||||
| 7503 | 3403 | 3486 | 3570 | 3655 | 3741 | 3828 | 3916 | 4005 | 4095 | |||||||||
| 7626 | 7750 | 7875 | 8001 | 8128 | 8256 | 8385 | 8515 | 8646 | 8778 | |||||||||
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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