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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de números triangulares e expressão numérica da soma - 316

Há diversos métodos de gerarem números triangulares: por meio da soma de números naturais consecutivos, assim como, um número oblongo dividido por 2 gera um número triangular.

Por meio de dispositivos numéricos como o Triângulo de Pascal, Triângulo de Números Naturais Consecutivos (exemplo demonstrado a seguir), Triângulo de Números Ímpares Consecutivos, objeto de estudos publicados no livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas, também são possíveis de se obterem números triangulares.

Números triangulares, também chamados de números figurados, de números poligonais, podem ser formados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas de triângulos, etc.

Números triangulares e soma de números naturais consecutivos

A soma de números naturais consecutivos tem como resultados números triangulares.

O números naturais formam naturalmente uma Progressão Aritmética, pois para se obter o próximo número, somamos sempre 1 unidade, a qual chamamos de razão, tanto que podemos utilizar a Fórmula da Soma de uma Progessão Aritmética para saber somas de determinadas quantidades de termos de PAs.

Soma de
números triagulares consecutivos
     
Números naturais   soma
consecutivos    
     
1 = 1
     
1 + 2 = 3
     
1 + 2 + 3 = 6
     
     
1 + 2 + 3 + 4 = 10
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 = 36
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 = 45
     
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 = 55
     
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos

Os números triangulares apresentam diversas propriedades relacionadas a eles próprios como também com outras sequências númericas famosas como: números quadrados perfeitos, números cúbicos, números perfeitos, etc.

A sequência de números triangulares apresenta uma outra característica de ser uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem, isto é, por ter uma PA entre a diferença de seus termos.

Então como poderiamos, obter somas de determinadas sequências números triangulares?

A partir dos exemplos a seguir, extraídos do WebSite:

http://www.shyamsundergupta.com /triangle.htm

Título: Curious properties of Triangular Numbers

Item: A curious pattern:

A curious pattern :
 
T1 + T2 + T3= T4
 
T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10
 
T11 + T12 + T13+ T14 + T15 = T16 + T17 + T18
 
T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28
 

foi possível fazer análises da estrutura das somas de grupos de números triangulares bem como detectar termos principais e formar expressões númericas com as quais são possíveis de se saberem as somas de grupos de sequências de números triangulares consecutivos.

Estimado leitor, veja estudos complementares deste assunto nos seguintes links:

011-estudos-311-soma-numeros-triangulares-consecutivos

011-estudos-313-soma-numeros-triangulares-consecutivos-numeros-quadrados-perfeitos

011-estudos-314-soma-numeros-triangulares-consecutivos-triangulo-numeros-impares

Tabela de somas de números triangulares consecutivos

A presente tabela demonstram os 108 primeiros números triangulares bem como regularidades numéricas relacionadas aos termos principais para se efetuarem somas de grupos de sequências de números triangulares:

a) números triangulares cujas posições/ordens são ímpares determinam o primeiro termo do primeiro membro de cada grupo de soma de triangulares;

b) com números triangulares de posições/ordens de números quadrados perfeitos são possíveis de se determinarem o primeiro termo do primeiro membro bem como o primeiro termo do segundo membro de cada grupo de soma de triangulares consecutivos;

c) as somas dos primeiros membros têm como resultados as somas dos segundos membros de cada grupo de soma de triangulares consecutivos.

Tabela de somas
de grupos de sequências
de números triangulares
   
posição/ número soma soma
ordem triangular grupos triangulares
    triangulares consecutivos
1 1
2 3 4
3 6 10 10
4 10 10 20
5 15 35
6 21 56
7 28 84
8 36 100 120
9 45 165
10 55 100 220
11 66 286
12 78 364
13 91 455
14 105 560
15 120 460 680
16 136 816
17 153 969
18 171 460 1140
19 190 1330
20 210 1540
21 231 1771
22 253 2024
23 276 2300
24 300 1460 2600
25 325 2925
26 351 3276
27 378 3654
28 406 1460 4060
29 435 4495
30 465 4960
31 496 5456
32 528 5984
33 561 6545
34 595 7140
35 630 3710 7770
36 666 8436
37 703 9139
38 741 9880
39 780 10660
40 820 3710 11480
41 861 12341
42 903 13244
43 946 14190
44 990 15180
45 1035 16215
46 1081 17296
47 1128 18424
48 1176 8120 19600
49 1225 20825
50 1275 22100
51 1326 23426
52 1378 24804
53 1431 26235
54 1485 8120 27720
55 1540 29260
56 1596 30856
57 1653 32509
58 1711 34220
59 1770 35990
60 1830 37820
61 1891 39711
62 1953 41664
63 2016 15960 43680
64 2080 45760
65 2145 47905
66 2211 50116
67 2278 52394
68 2346 54740
69 2415 57155
70 2485 15960 59640
71 2556 62196
72 2628 64824
73 2701 67525
74 2775 70300
75 2850 73150
76 2926 76076
77 3003 79079
78 3081 82160
79 3160 85320
80 3240 28920 88560
81 3321 91881
82 3403 95284
83 3486 98770
84 3570 102340
85 3655 105995
86 3741 109736
87 3828 113564
88 3916 28920 117480
89 4005 121485
90 4095 125580
91 4186 129766
92 4278 134044
93 4371 138415
94 4465 142880
95 4560 147440
96 4656 152096
97 4753 156849
98 4851 161700
99 4950 49170 166650
100 5050 171700
101 5151 176851
102 5253 182104
103 5356 187460
104 5460 192920
105 5565 198485
106 5671 204156
107 5778 209934
108 5886 49170 215820

Soma dos triangulares de 1 a 6

A soma do grupo de triangulares de 1 a 6 é igual a 10

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
1 1
2 3
3 6 10

O número triagular de posição 4 é 10.

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
   
4 10 10

Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares

1 x (10 x 1) = 10

Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 1 a 10.

2 x (10 x 1) = 20

Soma dos triangulares de 15 a 36

A soma do grupo de triangulares de 15 a 36 é igual a 100.

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
   
5 15
6 21
7 28
8 36 100

A soma do grupo de triangulares de 45 e 55 é igual a 100.

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
   
9 45
10 55 100

Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares

(10 x 1) + (10 x 32) =

= 10 + 90

= 100

Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 15 a 55.

[2 x (10 x 1)] + [2 x (10 x 32)] = 200

Soma dos triangulares de 66 a 120

A soma do grupo de triangulares de 66 a 120 é igual a 460.

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
   
11 66
12 78
13 91
14 105
15 120 460

A soma do grupo de triangulares de 136 a 171 é igual a 460.

posição/ número soma
ordem triangular grupos
    triangulares
   
16 136
17 153
18 171 460

Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares

(10 x 1) + (10 x 32) + (10 x 62) =

= 10 + 90 + 360

= 460

Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 66 a 171

[2 x (10 x 1)] + [2 x (10 x 32)] + [ 2 x (10 x 62)] = 920

 

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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