Há diversos métodos de gerarem números triangulares: por meio da soma de números naturais consecutivos, assim como, um número oblongo dividido por 2 gera um número triangular.
Por meio de dispositivos numéricos como o Triângulo de Pascal, Triângulo de Números Naturais Consecutivos (exemplo demonstrado a seguir), Triângulo de Números Ímpares Consecutivos, objeto de estudos publicados no livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas, também são possíveis de se obterem números triangulares.
Números triangulares, também chamados de números figurados, de números poligonais, podem ser formados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas de triângulos, etc...
A soma de números naturais consecutivos tem como resultados números triangulares.
O números naturais formam naturalmente uma Progressão Aritmética, pois para se obter o próximo número, somamos sempre 1 unidade, a qual chamamos de razão, tanto que podemos utilizar a Fórmula da Soma de uma Progessão Aritmética para saber somas de determinadas quantidades de termos de uma P.A.
| Soma de | ||
|---|---|---|
| números triagulares consecutivos | ||
| Números naturais | soma | |
| consecutivos | ||
| 1 | = | 1 |
| 1 + 2 | = | 3 |
| 1 + 2 + 3 | = | 6 |
| 1 + 2 + 3 + 4 | = | 10 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 | = | 15 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 | = | 21 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 | = | 28 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 | = | 36 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 | = | 45 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 | = | 55 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Os números triangulares apresentam diversas propriedades relacionadas a eles próprios como também com outras sequências númericas famosas como: números quadrados perfeitos, números cúbicos, números perfeitos, etc.
A sequência de números triangulares apresenta uma outra característica de ser uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem, isto é, por ter uma PA entre a diferença de seus termos.
Então como poderiamos, obter somas de determinadas sequências números triangulares?
A partir dos exemplos a seguir, extraídos do WebSite:
http://www.shyamsundergupta.com
Título: Curious properties of Triangular Numbers
Item: A curious pattern:
| A curious pattern : |
| T1 + T2 + T3= T4 |
| T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10 |
| T11 + T12 + T13+ T14 + T15 = T16 + T17 + T18 |
| T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28 |
foi possível fazer análises da estrutura das somas de grupos de números triangulares bem como detectar termos principais e formar expressões numéricas com as quais são possíveis de se saberem as somas de grupos de sequências de números triangulares consecutivos.
Estimado leitor, para mais informações, veja estudos complementares nos seguintes links:
011-estudos-311-soma-numeros-triangulares-consecutivos
011-estudos-313-soma-numeros-triangulares-consecutivos-numeros-quadrados-perfeitos
011-estudos-314-soma-numeros-triangulares-consecutivos-triangulo-numeros-impares
A presente tabela demonstra os 108 primeiros números triangulares bem como regularidades numéricas relacionadas aos termos principais para se efetuarem somas de grupos de sequências de números triangulares:
a) números triangulares cujas ordem / posição são ímpares determinam o primeiro termo do primeiro membro de cada grupo de soma de triangulares;
b) com números triangulares de ordem / posição de números quadrados perfeitos são possíveis de se determinarem o primeiro termo do primeiro membro bem como o primeiro termo do segundo membro de cada grupo de soma de triangulares consecutivos;
c) as somas dos primeiros membros têm como resultados as somas dos segundos membros de cada grupo de soma de triangulares consecutivos.
| Tabela de somas | |||
|---|---|---|---|
| de grupos de sequências | |||
| de números triangulares | |||
| ordem / | número | soma | soma |
| posição | triangular | grupos | triangulares |
| triangulares | consecutivos | ||
| 1 | 1 | ||
| 2 | 3 | 4 | |
| 3 | 6 | 10 | 10 |
| 4 | 10 | 10 | 20 |
| 5 | 15 | 35 | |
| 6 | 21 | 56 | |
| 7 | 28 | 84 | |
| 8 | 36 | 100 | 120 |
| 9 | 45 | 165 | |
| 10 | 55 | 100 | 220 |
| 11 | 66 | 286 | |
| 12 | 78 | 364 | |
| 13 | 91 | 455 | |
| 14 | 105 | 560 | |
| 15 | 120 | 460 | 680 |
| 16 | 136 | 816 | |
| 17 | 153 | 969 | |
| 18 | 171 | 460 | 1140 |
| 19 | 190 | 1330 | |
| 20 | 210 | 1540 | |
| 21 | 231 | 1771 | |
| 22 | 253 | 2024 | |
| 23 | 276 | 2300 | |
| 24 | 300 | 1460 | 2600 |
| 25 | 325 | 2925 | |
| 26 | 351 | 3276 | |
| 27 | 378 | 3654 | |
| 28 | 406 | 1460 | 4060 |
| 29 | 435 | 4495 | |
| 30 | 465 | 4960 | |
| 31 | 496 | 5456 | |
| 32 | 528 | 5984 | |
| 33 | 561 | 6545 | |
| 34 | 595 | 7140 | |
| 35 | 630 | 3710 | 7770 |
| 36 | 666 | 8436 | |
| 37 | 703 | 9139 | |
| 38 | 741 | 9880 | |
| 39 | 780 | 10660 | |
| 40 | 820 | 3710 | 11480 |
| 41 | 861 | 12341 | |
| 42 | 903 | 13244 | |
| 43 | 946 | 14190 | |
| 44 | 990 | 15180 | |
| 45 | 1035 | 16215 | |
| 46 | 1081 | 17296 | |
| 47 | 1128 | 18424 | |
| 48 | 1176 | 8120 | 19600 |
| 49 | 1225 | 20825 | |
| 50 | 1275 | 22100 | |
| 51 | 1326 | 23426 | |
| 52 | 1378 | 24804 | |
| 53 | 1431 | 26235 | |
| 54 | 1485 | 8120 | 27720 |
| 55 | 1540 | 29260 | |
| 56 | 1596 | 30856 | |
| 57 | 1653 | 32509 | |
| 58 | 1711 | 34220 | |
| 59 | 1770 | 35990 | |
| 60 | 1830 | 37820 | |
| 61 | 1891 | 39711 | |
| 62 | 1953 | 41664 | |
| 63 | 2016 | 15960 | 43680 |
| 64 | 2080 | 45760 | |
| 65 | 2145 | 47905 | |
| 66 | 2211 | 50116 | |
| 67 | 2278 | 52394 | |
| 68 | 2346 | 54740 | |
| 69 | 2415 | 57155 | |
| 70 | 2485 | 15960 | 59640 |
| 71 | 2556 | 62196 | |
| 72 | 2628 | 64824 | |
| 73 | 2701 | 67525 | |
| 74 | 2775 | 70300 | |
| 75 | 2850 | 73150 | |
| 76 | 2926 | 76076 | |
| 77 | 3003 | 79079 | |
| 78 | 3081 | 82160 | |
| 79 | 3160 | 85320 | |
| 80 | 3240 | 28920 | 88560 |
| 81 | 3321 | 91881 | |
| 82 | 3403 | 95284 | |
| 83 | 3486 | 98770 | |
| 84 | 3570 | 102340 | |
| 85 | 3655 | 105995 | |
| 86 | 3741 | 109736 | |
| 87 | 3828 | 113564 | |
| 88 | 3916 | 28920 | 117480 |
| 89 | 4005 | 121485 | |
| 90 | 4095 | 125580 | |
| 91 | 4186 | 129766 | |
| 92 | 4278 | 134044 | |
| 93 | 4371 | 138415 | |
| 94 | 4465 | 142880 | |
| 95 | 4560 | 147440 | |
| 96 | 4656 | 152096 | |
| 97 | 4753 | 156849 | |
| 98 | 4851 | 161700 | |
| 99 | 4950 | 49170 | 166650 |
| 100 | 5050 | 171700 | |
| 101 | 5151 | 176851 | |
| 102 | 5253 | 182104 | |
| 103 | 5356 | 187460 | |
| 104 | 5460 | 192920 | |
| 105 | 5565 | 198485 | |
| 106 | 5671 | 204156 | |
| 107 | 5778 | 209934 | |
| 108 | 5886 | 49170 | 215820 |
A soma do grupo de triangulares de 1 a 6 é igual a 10
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 1 | 1 | |
| 2 | 3 | |
| 3 | 6 | 10 |
O número triagular de posição 4 é 10.
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 4 | 10 | 10 |
Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares
1 x (10 x 1) = 10
Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 1 a 10.
2 x (10 x 1) = 20
A soma do grupo de triangulares de 15 a 36 é igual a 100.
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 5 | 15 | |
| 6 | 21 | |
| 7 | 28 | |
| 8 | 36 | 100 |
A soma do grupo de triangulares de 45 e 55 é igual a 100.
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 9 | 45 | |
| 10 | 55 | 100 |
Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares
(10 x 1) + (10 x 32) =
= 10 + 90
= 100
Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 15 a 55.
[2 x (10 x 1)] + [2 x (10 x 32)] = 200
A soma do grupo de triangulares de 66 a 120 é igual a 460.
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 11 | 66 | |
| 12 | 78 | |
| 13 | 91 | |
| 14 | 105 | |
| 15 | 120 | 460 |
A soma do grupo de triangulares de 136 a 171 é igual a 460.
| posição/ | número | soma |
| ordem | triangular | grupos |
| triangulares | ||
| 16 | 136 | |
| 17 | 153 | |
| 18 | 171 | 460 |
Expressão numérica que determina a soma de cada grupo de números triangulares
(10 x 1) + (10 x 32) + (10 x 62) =
= 10 + 90 + 360
= 460
Expressão numérica que determina a soma dos números triangulares de 66 a 171
[2 x (10 x 1)] + [2 x (10 x 32)] + [ 2 x (10 x 62)] = 920
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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