A soma de 2 grupos de sequências de números triangulares consecutivos tem como resultado um mesmo valor, isto é, a soma de números triangulares consecutivos do primeiro membro tem como resultado a soma de números triangulares consecutivos do segundo membro.
Exemplos destas demonstrações, até o presente momento, estão originalmente publicadas no WebSite:
http://www.shyamsundergupta.com
Título: Curious properties of Triangular Numbers
Item: A curious pattern:
| A curious pattern : |
| T1 + T2 + T3 = T4 |
| T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10 |
| T11 + T12 + T13+ T14 + T15 = T16 + T17 + T18 |
| T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28 |
Analises e estudos matemáticos dessas sequências, verificou-se que elas apresentam diversas propriedades algébricas e aritméticas relacionadas aos próprios números triangulares bem como a outras sequências numéricas.
Os estudos se encontram publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos:
011-estudos-311-soma-numeros-triangulares-consecutivos
011-estudos-313-soma-numeros-triangulares-consecutivos-numeros-quadrados-perfeitos
Os estudos que se seguem, demonstram que o Triângulo de Números Ímpares, objeto de estudo publicado no livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas, apresentam conexões numéricas com as soma de números triangulares consecutivos.
O Triângulo de números ímpares consecutivos é construído conforme o exemplo a seguir:
a) na primeira linha 1, o número ímpar 1;
b) na segunda linha, 2 números ímpares consecutivos;
c) na terceira linha, 3 números ímpares consecutivos;
e assim sucessivamente.
| Triângulo de números | ||
|---|---|---|
| ímpares consecutivos | ||
| números ímpares | último | |
| linhas | consecutivos | termo |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3, 5 | 5 |
| 3 | 7, 9, 11 | 11 |
| 4 | 13, 15, 17, 19 | 19 |
| 5 | 21, 23, 25, 27, 29 | 29 |
| 6 | 31, 33, 35, 37, 39, 41 | 41 |
| 7 | 43, 445, 47, 49, 51, 53, 55 | 55 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Os números finais de cada sequência de números ímpares consecutivos são os mesmos números referentes as ordem / posições de números triangulares do primeiro termo do primeiro membro nas somas de números triangulares consecutivos
| A curious pattern : |
| T1 + T2 + T3 = T4 |
| T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10 |
| T11 + T12 + T13+ T14 + T15 = T16 + T17 + T18 |
| T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28 |
Observação: a notação T1 indica:
a) T é a primeira letra da palavra Triangular;
b) 1, 2, 3, 4, 5,... subescrito indica a ordem / posição, isto é, o índice de um número triangular;
c) o primeiro termo do primeiro membro tem ordem / posição um número ímpar;
d) o primeiro termo do segundo membro tem ordem / posição um número quadrado perfeito.
Os números finais do Triângulo de Números Ímpares são 1 unidade menor do dobro de um número triangular ou o dobro de um número triangular subtraído de 1 unidade determina a ordem / posição do primeiro termo do primeiro membro da soma de números triangulares consecutivos.
1 x 2 = 2
2 - 1 = 1
2 x 3 = 6
6 - 1 = 5
3 x 4 = 12
12 - 1 = 11
4 x 5 = 20
20 - 1 = 19
A partir destas informações são possíveis de se determinarem grupos de sequências de somas de números triangulares consecutivos.
A soma dos números triangulares de posições T1 a T3 é igual a soma do triangular de T4.
| T1 + T2 + T3 = T4 |
1 + 2 + 3 = 10
10 é o triangular de ordem / posição 4.
A soma dos números triangulares de posições T5 a T8 é igual a soma dos triangulares de T9 a T10.
| T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10 |
15 + 21 + 28 + 36 = 100
45 + 55 = 100
A soma dos números triangulares de posições T11 a T15 é igual a soma dos triangulares de T16 a T18.
| T11 + T12 + T13+ T14 + T15 = T16 + T17 + T18 |
66 + 78 + 91+ 105 + 120 = 460
136 + 153 + 171 = 460
A soma dos números triangulares de posições T19 a T24 é igual a soma dos triangulares de T25 a T28.
| T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28 |
190 + 210 + 231+ 253 + 276 + 300 = 1460
325 + 351 + 378 + 406 = 1460
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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