Números Triangulares, também chamados de números figurados e números poligonais, são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras geométricas de triângulos.
Números triangulares possuem diversas propriedades algébricas e aritméticas e também apresentam importantes relações com números naturais, números quadrados perfeitos, números oblongos, números cúbicos, etc.
As propriedades e relações numéricas apresentadas neste estudo tem como base os seguintes exemplos que, até o presente momento, estão publicados no link:
http://www.shyamsundergupta.com
Título: Curious properties of Triangular Numbers
Item: A curious pattern:
| A curious pattern : |
| T1 + T2 + T3= T4 |
| T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10 |
| T11 + T12 + T13+ T14 + T15= T16 + T17 + T18 |
| T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28 |
O autor do WebSite, o Sr. Shyam Sunder Gupta, divulga propriedades e curiosidades sobre seus estudos matemáticos e também de outros colaboradores os quais ele faz referência no rodapé da página.
Especificamente sobre esta propriedade relacionada a soma de triangulares consecutivos não há referência a autor e o que chamou a minha atenção é que ela é semelhante a soma de números quadrados consecutivos e que partes estão publicadas aqui no WebSite:
011-estudos-310-quadrados-magicos-soma-
cujo estudos foram desenvolvidos pelo Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) que por sua vez se baseou no seguinte artigo:
Clubes Obmep
http://clubes.obmep.org.br/
A soma de números triangulares consecutivos de T1 a T3 é igual ao triangular T4 = 10.
| Posição/ | Termos | triangulares | Quantidade |
|---|---|---|---|
| ordem | Termos | ||
| primeiro | |||
| membro | |||
| 1 | T1 | 1 | 3 |
| T2 | 3 | ||
| T3 | 6 | ||
| soma | 10 | ||
| segundo | |||
| membro | |||
| T4 | 10 | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de números triangulares consecutivos de T5 a T8 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T9 a T10 = 100.
| Posição/ | Termos | triangulares | Quantidade |
|---|---|---|---|
| ordem | Termos | ||
| primeiro | |||
| membro | |||
| 5 | T5 | 15 | 4 |
| T6 | 21 | ||
| T7 | 28 | ||
| T8 | 36 | ||
| soma | 100 | ||
| segundo | |||
| membro | |||
| T9 | 45 | 2 | |
| T10 | 55 | ||
| soma | 100 | ||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de números triangulares consecutivos de T11 a T15 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T16 a T18 = 460.
| Posição/ | Termos | triangulares | Quantidade |
|---|---|---|---|
| ordem | Termos | ||
| primeiro | |||
| membro | |||
| 11 | T11 | 66 | 5 |
| T12 | 78 | ||
| T13 | 91 | ||
| T14 | 105 | ||
| T15 | 120 | ||
| soma | 460 | ||
| segundo | |||
| membro | |||
| T16 | 136 | 3 | |
| T17 | 153 | ||
| T18 | 171 | ||
| soma | 460 | ||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A soma de números triangulares consecutivos de T19 a T24 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T25 a T28 = 1460.
| Posição/ | Termos | triangulares | Quantidade |
|---|---|---|---|
| ordem | Termos | ||
| primeiro | |||
| membro | |||
| 19 | T19 | 190 | 6 |
| T20 | 210 | ||
| T21 | 231 | ||
| T22 | 253 | ||
| T23 | 276 | ||
| T24 | 300 | ||
| soma | 1460 | ||
| segundo | |||
| membro | |||
| T25 | 325 | 4 | |
| T26 | 351 | ||
| T27 | 378 | ||
| T28 | 406 | ||
| soma | 1460 | ||
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A soma de números triangulares consecutivos de T29 a T35 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T36 a T40 = 3710.
| Posição/ | Termos | triangulares | Quantidade |
|---|---|---|---|
| ordem | Termos | ||
| primeiro | |||
| membro | |||
| 29 | T29 | 435 | 7 |
| T30 | 465 | ||
| T31 | 496 | ||
| T32 | 528 | ||
| T33 | 561 | ||
| T34 | 595 | ||
| T35 | 630 | ||
| soma | 3710 | ||
| segundo | |||
| membro | |||
| T36 | 666 | 5 | |
| T37 | 703 | ||
| T38 | 741 | ||
| T39 | 780 | ||
| T40 | 820 | ||
| soma | 3710 | ||
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As quantidades de termos entre os primeiros e segundos membros diferem em 2 unidades.
As quantidades de termos do segundo membro de cada expressão numérica é 1 unidade menor da raiz quadrada da ordem / posição do primero termo.
A quantidade de termos do primeiro membro de cada expressão numérica é 1 unidade maior que a raiz quadrada da ordem / posição do primero termo do segundo membro.
As quantidades de termos dos primeiros membros formam a progressão aritmética cujo primero termo é 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
As quantidades de termos dos segundos membros formam a progressão aritmética cujo primero termo é 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...
A ordem / posição do primeiro termo do primeiro membro de cada expressão numérica é um número ímpar, com ocorrência de número primo:
| Posição/ | Primo | Triangular |
| ordem | ||
| 1 | 1 | |
| 5 | sim | 15 |
| 11 | sim | 66 |
| 19 | sim | 190 |
| 29 | sim | 435 |
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Pode-se determinar a ordem / posição do primeiro termo do primeiro membro de cada expressão numérica da soma de triangulares consecutivos, subtraindo 1 unidade do dobro de um número triangular:
| Dobro | Ordem / | Triangular | |||
| triangular | Posição | ||||
| subtraído | |||||
| 1 unidade | |||||
| 2 x 1 | = | 2 -1 | = | 1 | 1 |
| 2 x 3 | = | 6 - 1 | = | 5 | 15 |
| 2 x 6 | = | 12 - 1 | = | 11 | 66 |
| 2 x 10 | = | 20 -1 | = | 19 | 190 |
| 2 x 15 | = | 30 -1 | = | 29 | 435 |
| 2 x 21 | = | 42 - 1 | = | 41 | 861 |
| 2 x 28 | = | 56 - 1 | = | 55 | 1540 |
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ou através da seguinte Fórmula Algébrica:
| [n x (n + 1)] | ||||
| { 2 | x | ________ | } | - 1 |
| 2 |
A posição/ordem do primeiro termo do segundo membro de cada expressão numérica é um número quadrado perfeito:
| Ordem / | Quadrado | Triangular |
| Posição | ||
| T4 | sim | 10 |
| T9 | sim | 45 |
| T16 | sim | 136 |
| T25 | sim | 325 |
| T36 | sim | 666 |
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A diferença entre duas somas de sequências de números triangulares consecutivos tem como resultado um número que pode ser expresso por 10 multiplicado por um triangular consecutivo ao quadrado.
| Somas | |||||
| triangulares | diferença entre | ||||
| consecutivos | duas somas | ||||
| 10 | |||||
| 90 | = | 10 x 9 | = | 10 x 32 | |
| 100 | |||||
| 360 | = | 10 x 36 | = | 10 x 62 | |
| 460 | |||||
| 1000 | = | 10 x 100 | = | 10 x 102 | |
| 1460 | |||||
| 2250 | = | 10 x 225 | = | 10 x 152 | |
| 3710 | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A partir de 10 e acrescentando-se em cada etapa 10 vezes um triangular consecutivo ao quadrado obtem-se as somas de sequências de números triangulares consecutivos.
10 + (10 x 32) + (10 x 62) + (10 x 102) + (10 x 152) + ....
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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