logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de números triangulares consecutivos - 311

Números Triangulares, também chamados de números figurados e números poligonais, são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras geométricas de triângulos.

Números triangulares possuem diversas propriedades algébricas e aritméticas e também apresentam importantes relações com números naturais, números quadrados perfeitos, números oblongos, números cúbicos, etc.

As propriedades e relações numéricas apresentadas neste estudo tem como base os seguintes exemplos que, até o presente momento, estão publicados no link:

http://www.shyamsundergupta.com/triangle.htm

Título: Curious properties of Triangular Numbers

Item: A curious pattern:

A curious pattern :
 
T1 + T2 + T3= T4
 
T5 + T6 + T7 + T8 = T9 + T10
 
T11 + T12 + T13+ T14 + T15= T16 + T17 + T18
 
T19 + T20+ T21+ T22 + T23+ T24 = T25 + T26 + T27 + T28
 

O autor do WebSite, o Sr. Shyam Sunder Gupta, divulga propriedades e curiosidades sobre seus estudos matemáticos e também de outros colaboradores os quais ele faz referência no rodapé da página.

Especificamente sobre esta propriedade relacionada a soma de triangulares consecutivos não há referência a autor e o que chamou a minha atenção é que ela é semelhante a soma de números quadrados consecutivos e que partes estão publicadas aqui no WebSite:

011-estudos-310-quadrados-magicos-soma-numeros-quadrados-consecutivos

cujo estudos foram desenvolvidos pelo Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) que por sua vez se baseou no seguinte artigo:

Clubes Obmep

http://clubes.obmep.org.br/ blog/desafio-soma-de-quadrados/

Soma de números triangulares consecutivos de T1 a T3 

A soma de números triangulares consecutivos de T1 a T3 é igual ao triangular T4 = 10.

Posição/ Termos triangulares Quantidade
ordem     Termos
       
      primeiro
      membro
       
1 T1 1 3
  T2 3  
  T3 6  
       
  soma 10  
       
      segundo
      membro
       
  T4 10 1
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos de T5 a T8 

A soma de números triangulares consecutivos de T5 a T8 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T9 a T10 = 100.

Posição/ Termos triangulares Quantidade
ordem     Termos
       
      primeiro
      membro
       
5 T5 15 4
  T6 21  
  T7 28  
  T8 36  
       
  soma 100  
       
      segundo
      membro
       
  T9 45 2
  T10 55  
       
  soma 100  
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos de T11 a T15 

A soma de números triangulares consecutivos de T11 a T15 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T16 a T18 = 460.

Posição/ Termos triangulares Quantidade
ordem     Termos
       
      primeiro
      membro
       
11 T11 66 5
  T12 78  
  T13 91  
  T14 105  
  T15 120  
       
  soma 460  
       
      segundo
      membro
       
  T16 136 3
  T17 153  
  T18 171  
       
  soma 460  
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos de T19 a T24 

A soma de números triangulares consecutivos de T19 a T24 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T25 a T28 = 1460.

Posição/ Termos triangulares Quantidade
ordem     Termos
       
      primeiro
      membro
       
19 T19 190 6
  T20 210  
  T21 231  
  T22 253  
  T23 276  
  T24 300  
       
  soma 1460  
       
      segundo
      membro
       
  T25 325 4
  T26 351  
  T27 378  
  T28 406  
       
  soma 1460  
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos de T29 a T35 

A soma de números triangulares consecutivos de T29 a T35 é igual a a soma dos triangulares consecutivos de T36 a T40 = 3710.

Posição/ Termos triangulares Quantidade
ordem     Termos
       
      primeiro
      membro
       
29 T29 435 7
  T30 465  
  T31 496  
  T32 528  
  T33 561  
  T34 595  
  T35 630  
       
  soma 3710  
       
      segundo
      membro
       
  T36 666 5
  T37 703  
  T38 741  
  T39 780  
  T40 820  
       
  soma 1460  
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de números triangulares consecutivos e regularidades numéricas

Quantidade de Termos

As quantidades de termos entre os primeiros e segundos membros diferem em 2 unidades.

As quantidades de termos do segundo membro de cada expressão numérica é 1 unidade menor da raiz quadrada da posição/ordem do primero termo.

A quantidade de termos do primeiro membro de cada expressão numérica é 1 unidade maior que a raiz quadrada da posição/ordem do primero termo do segundo membro.

As quantidades de termos dos primeiros membros formam a progressão aritmética cujo primero termo é 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

As quantidades de termos dos segundos membros formam a progressão aritmética cujo primero termo é 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

Posição do primeiro termo do primeiro membro

A posição/ordem do primeiro termo do primeiro membro de cada expressão numérica é um número ímpar, com ocorrência de número primo:

Posição/ primo triangular
ordem    
     
1   1
     
5 sim 15
     
11 sim 66
     
19 sim 190
     
29 sim 435
     
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Pode-se determinar a posição/ordem do primeiro termo do primeiro membro de cada expressão numérica da soma de triangulares consecutivos, subtraindo 1 unidade do dobro de um número triangular:

    Dobro   Posição/ triangular
    triangular   ordem  
    subtraído      
    1 unidade      
           
2 x 1 = 2 -1 = 1 1
2 x 3 = 6 - 1 = 5 15
2 x 6 = 12 - 1 = 11 66
2 x 10 = 20 -1 = 19 190
2 x 15 = 30 -1 = 29 435
2 x 21 = 42 - 1 = 41 861
2 x 28 = 56 - 1 = 55 1540
           
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

ou através da seguinte Fórmula Algébrica:

    [n x (n + 1)]    
{ 2 x ________ } - 1
    2    

Posição do primeiro termo do segundo membro

A posição/ordem do primeiro termo do segundo membro de cada expressão numérica é um número quadrado perfeito:

Posição/ quadrado triangular
ordem    
     
T4 sim 10
     
T9 sim 45
     
T16 sim 136
     
T25 sim 325
     
T36 sim 666
     
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Regularidades nas somas de números triangulares consecutivos

A diferença entre duas somas de sequências de números triangulares consecutivos tem como resultado um número que pode ser expresso por 10 multiplicado por um triangular consecutivo ao quadrado.

Somas          
triangulares diferença entre        
consecutivos duas somas        
           
10          
  90 = 10 x 9 = 10 x 32
100          
  360 = 10 x 36 = 10 x 62
460          
  1000 = 10 x 100 = 10 x 102
1460          
  2250 = 10 x 225 = 10 x 152
3710          
           
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

A partir de 10 e acrescentando-se em cada etapa 10 vezes um triangular consecutivo ao quadrado obtem-se as somas de sequências de números triangulares consecutivos.

10 + (10 x 32) + (10 x 62) + (10 x 102) + (10 x 152) + ....

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

http://www.shyamsundergupta.com /triangle.htm

http://clubes.obmep.org.br/ blog/desafio-soma-de-quadrados/

Matérias relacionadas:

011-estudos-003-soma-numeros-consecutivos
011-estudos-004-soma-numeros-triangulares
011-estudos-025-numeros-triangulares-numeros-perfeitos
011-estudos-305-numeros-triangulares-somas-progressoes-aritmeticas
011-estudos-308-tabuada-progressoes-aritmeticas
011-estudos-312-numeros-triangulares-sequencias-numericas-famosas
011-estudos-313-soma-numeros-triangulares-consecutivos-numeros-quadrados-perfeitos
011-estudos-314-soma-numeros-triangulares-consecutivos-triangulo-numeros-impares
LIVRO DIGITAL (E-book) Números Triangulares e Sequências Numéricas
livro triangulares e sequências numéricas mágicas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Os Fantásticos Números Primos
livro os fantasticos números primos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas
livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

RECEBAM GRATUITAMENTE
O E-BOOK
TRIÂNGULO RETÂNGULO:

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos