Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas nas quais são dispostos sequências numéricas finitas em certa ordem de forma que a soma de cada linha, cada coluna, bem como cada uma das diagonais tenham a mesma soma a qual é chamada de Constante Mágica.
Quadrados Mágicos podem ser formados com progressões aritméticas (P.A.s), progressões geométricas (P.G.s) e também por sequências numéricas que não são nem PAs e nem PGs que são os casos de divisores de números compostos que são produtos de 2 números primos distintos, demonstrações estas que se encontram publicadas aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos e no livro digital Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos.
Diversas são as formas bidimensionais e tridimensionais que dispositivos numéricos podem ser construídos semelhantes a Quadrados Mágicos, há retângulos mágicos, pentagramas mágicos, hexagramas mágicos, estrelas mágicas, círculos mágicos, cubos mágicos, etc...
Números triangulares, também chamados de números figurados, são números que formam figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 são os 10 primeiros números triangulares.
Há vários métodos de se gerarem números triangulares, eis dois deles:
a) a soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
b) o produto de dois números consecutivos dividido por 2, tem como resultado número triangular;
1 x 2 = 2
2 : 2 = 1
2 x 3 = 6
6 : 2 = 3
3 x 4 = 12
12 : 2 = 6
O Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) vendo com detalhes a matéria Desafio: Soma de Quadrados publicada no WebSite:
Clubes Obmep
http://clubes.obmep.org.br/
descobriu, entre outros, padrões e regularidades numéricas relacionadas às sequências de números triangulares com as somas de números quadrados consecutivos.
Eis algumas dessas regularidades e padrões:
a) o primeiro termo de cada expressão numérica incia-se com um número triangular de posição par;
b) as quantidades de termos entre o primeiro e segundo membro de cada expressão numérica diferem em 1 unidade;
c) o último termo do segundo membro de cada expressão numérica é 1 unidade menor que um número triangular;
d) as quantidades de termos tanto do primeiro membro quanto do segundo membro estão em progressão aritmética:
primero membro: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...
segundo membro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...
e) as quantidades de termos nas expressões numéricas são de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11,..., isto é, é a posição par do triangular acrescentado de 1 unidade.
Primeira soma
32 + 42 = 52
25 = 25
O número 3 é o segundo número triangular.
Segunda Soma
102 + 112 + 122 = 132 + 142
365 = 365
O número 10 é quarto número triangular.
Terceira Soma
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
2030 = 2030
O número 21 é sexto número triangular.
Quarta Soma
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
7230 = 7230
O número 36 é oitavo número triangular.
Observando também estas regularidades, fiz a seguinte pergunta: Será que é possível de se construirem Quadrados Mágicos com somas de números quadrados perfeitos originados de números triangulares?
Quadrado Mágico 3x3 construído a partir da sequência: 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143 e 144 cujo primeiro termo é o 160 número triangular 136.
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| Constante Mágica 420 | |||
| 420 | |||
| 139 | 144 | 137 | 420 |
| 138 | 140 | 142 | 420 |
| 143 | 136 | 141 | 420 |
| 420 | 420 | 420 | 420 |
Com sequência consecutiva de 136 a 144 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico Imperfeito.
| Números | ||
| quadrados | ||
| 1362 | = | 18496 |
| 1372 | = | 18769 |
| 1382 | = | 19044 |
| 1392 | = | 19321 |
| 1402 | = | 19600 |
| 1412 | = | 19881 |
| 1422 | = | 20164 |
| 1432 | = | 20449 |
| 1442 | = | 20736 |
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| Imperfeito | |||
| 58818 | |||
| 19321 | 20736 | 18769 | 58826 |
| 19044 | 19600 | 20164 | 58808 |
| 20449 | 18496 | 19881 | 58826 |
| 58814 | 58832 | 58814 | 58802 |
Quadrado Mágico 4x4 construído a partir da sequência:
465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479 e 480 cujo primeiro termo é o 300 número triangular 465.
| Quadrado Mágico 4x4 | |||||
| Constante Mágica 1890 | |||||
| 1890 | |||||
| 480 | 466 | 467 | 477 | 1890 | |
| 469 | 475 | 474 | 472 | 1890 | |
| 473 | 471 | 470 | 476 | 1890 | |
| 468 | 478 | 479 | 465 | 1890 | |
| 1890 | 1890 | 1890 | 1890 | 1890 | |
Com sequência consecutiva de 465 a 480 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico ao Quadrado Imperfeito, pois não há Constante Mágica.
| Números | ||
| quadrados | ||
| 4652 | = | 216225 |
| 4662 | = | 217156 |
| 4672 | = | 218089 |
| 4682 | = | 219024 |
| 4692 | = | 219961 |
| 4702 | = | 220900 |
| 4712 | = | 221841 |
| 4722 | = | 222784 |
| 4732 | = | 223729 |
| 4742 | = | 224676 |
| 4752 | = | 225625 |
| 4762 | = | 226576 |
| 4772 | = | 227529 |
| 4782 | = | 228484 |
| 479 2 | = | 229441 |
| 4802 | = | 230400 |
| Quadrado Mágico 4x4 | |||||
| ao quadrado Imperfeito | |||||
| 893070 | |||||
| 230400 | 217156 | 218089 | 227529 | 893174 | |
| 219961 | 225625 | 224676 | 222784 | 893046 | |
| 223729 | 221841 | 220900 | 226576 | 893046 | |
| 219024 | 228484 | 229441 | 216225 | 893174 | |
| 893114 | 893106 | 893106 | 893114 | 893150 | |
Quadrado Mágico 5x5 contruído a partir da sequência:
1176, 1177, 1178, 1179, 1180, 1181, 1182, 1183, 1184, 1185, 1186, 1187, 1188, 1189, 1190, 1191, 1192, 1193, 1194, 1195, 1196, 1197, 1198 e 1199 cujo primeiro termo é o 480 número triangular 1176.
| Quadrado Mágico 5x5 | ||||||
| Constante Mágica 5940 | ||||||
| 5940 | ||||||
| 1178 | 1179 | 1196 | 1193 | 1194 | 5940 | |
| 1200 | 1185 | 1190 | 1189 | 1176 | 5940 | |
| 1199 | 1192 | 1188 | 1184 | 1177 | 5940 | |
| 1181 | 1187 | 1186 | 1191 | 1195 | 5940 | |
| 1182 | 1197 | 1180 | 1183 | 1198 | 5940 | |
| 5940 | 5940 | 5940 | 5940 | 5940 | 5940 | |
Com sequência consecutiva de 1176 a 1199 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico ao Quadrado Imperfeito, pois não há Constante Mágica.
| Números | ||
| quadrados | ||
| 11762 | = | 1382976 |
| 11772 | = | 1385329 |
| 11782 | = | 1387684 |
| 11792 | = | 1390041 |
| 11802 | = | 1392400 |
| 11812 | = | 1394761 |
| 11822 | = | 1397124 |
| 11832 | = | 1399489 |
| 11842 | = | 1401856 |
| 11852 | = | 1404225 |
| 11862 | = | 1406596 |
| 11872 | = | 1408969 |
| 11882 | = | 1411344 |
| 11892 | = | 1413721 |
| 11902 | = | 1416100 |
| 11912 | = | 1418481 |
| 11922 | = | 1420864 |
| 11932 | = | 1423249 |
| 11942 | = | 1425636 |
| 11952 | = | 1428025 |
| 11962 | = | 1430416 |
| 11972 | = | 1432809 |
| 11982 | = | 1435204 |
| 11992 | = | 1437601 |
| 12002 | = | 1440000 |
| Quadrado Mágico 5x5 | ||||
| ao quadrado Imperfeito | ||||
| 1387684 | 1390041 | 1430416 | 1423249 | 1425636 |
| 1440000 | 1404225 | 1416100 | 1413721 | 1382976 |
| 1437601 | 1420864 | 1411344 | 1401856 | 1385329 |
| 1394761 | 1408969 | 1406596 | 1418481 | 1428025 |
| 1397124 | 1432809 | 1392400 | 1399489 | 1435204 |
| 7057170 | 7056908 | 7056856 | 7056796 | 7057170 |
Soma da primeira linha = 7057026
Soma da segunda linha = 7057022
Soma da terceira linha = 7056994
Soma da quarta linha = 7056832
Soma da quinta linha = 7057026
Soma da diagonal principal = 5652713
Soma da diagonal secundaria = 7056794
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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