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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e soma de números quadrados consecutivos - 310

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas nas quais são dispostos sequências numéricas em certa ordem de forma que a soma de cada linha, cada coluna, bem como cada uma das diagonais tenham a mesma soma a qual é chamada de Constante Mágica.

Quadrados Mágicos podem ser formados com progressões aritméticas (PAs) e geométricas (PGs) e também por sequências numéricas que não são nem PAs e nem PGs que são os casos de divisores de números compostos que são produtos de 2 números primos distintos, demonstrações estas que se encontram publicadas aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos e no livro digital Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos.

Diversas são as formas bidimensionais e tridimensionais que dispositivos numéricos podem ser construídos semelhantes a Quadrados Mágicos, há retângulos mágicos, pentagramas mágicos, hexagramas mágicos, estrelas mágicas, círculos mágicos, cubos mágicos, etc.

Números triangulares

Números triangulares, também chamados de números figurados, são números que formam figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 são os 10 primeiros números triangulares.

Há vários métodos de se gerarem números triangulares, eis dois deles:

a) a soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares;

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

b) o produto de dois números consecutivos dividido por 2, tem como resultado número triangular;

1 x 2 = 2

2 : 2 = 1

 

2 x 3 = 6

6 : 2 = 3

 

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6

Soma de números quadrados perfeitos consecutivos

O Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) vendo com detalhes a matéria Desafio: Soma de Quadrados publicada no WebSite:

Clubes Obmep

http://clubes.obmep.org.br/blog/desafio-soma-de-quadrados/

descobriu, entre outros, padrões e regularidades numéricas relacionadas às sequências de números triangulares com as somas de números quadrados consecutivos.

Eis algumas dessas regularidades e padrões:

a) o primeiro termo de cada expressão numérica incia-se com um número triangular de posição par;

b) as quantidades de termos entre o primeiro e segundo membro de cada expressão numérica diferem em 1 unidade;

c) o último termo do segundo membro de cada expressão numérica é 1 unidade menor que um número triangular;

d) as quantidades de termos tanto do primeiro membro quanto do segundo membro estão em progressão aritmética:

primero membro: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

segundo membro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

e) as quantidades de termos nas expressões numéricas são de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11,..., isto é, é a posição par do triangular acrescentado de 1 unidade.

Primeira soma

32 + 42 = 52

25 = 25

O número 3 é o segundo número triangular.

Segunda Soma

102 + 112 + 122 = 132 + 142

365 = 365

O número 10 é quarto número triangular.

Terceira Soma

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272

2030 = 2030

O número 21 é sexto número triangular.

Quarta Soma

362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442

7230 = 7230

O número 36 é oitavo número triangular.

Quadrado Mágico 3x3 com 9 números quadrados consecutivos

Observando também estas regularidades, fiz a seguinte pergunta: Será que é possível de se construirem Quadrados Mágicos com somas de números quadrados perfeitos originados de números triangulares?

Quadrado Mágico 3x3 contruído a partir da sequência: 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143 e 144 cujo primeiro termo é o 160 número triangular 136.

Quadrado Mágico 3x3
Constante Mágica 420
 
420
       
139 144 137 420
138 140 142 420
143 136 141 420
       
420 420 420 420

Com sequência consecutiva de 136 a 144 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico Imperfeito

    Números
    quadrados
     
1362 = 18496
1372 = 18769
1382 = 19044
1392 = 19321
1402 = 19600
1412 = 19881
1422 = 20164
1432 = 20449
1442 = 20736
Quadrado Mágico 3x3
Imperfeito
 
58818
       
19321 20736 18769 58826
19044 19600 20164 58808
20449 18496 19881 58826
       
58814 58832 58814 58802

Quadrado Mágico 4x4 com 16 números quadrados consecutivos

Quadrado Mágico 4x4 contruído a partir da sequência:

465, 466, 467, 468,469,470,471,472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479 e 480 cujo primeiro termo é o 300 número triangular 465.

Quadrado Mágico 4x4
Constante Mágica 1890
1890
         
480 466 467 477 1890
469 475 474 472 1890
473 471 470 476 1890
468 478 479 465 1890
         
1890 1890 1890 1890 1890

Com sequência consecutiva de 465 a 480 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico ao Quadrado Imperfeito, pois não há Constante Mágica.

    Números
    quadrados
     
4652 = 216225
4662 = 217156
4672 = 218089
4682 = 219024
4692 = 219961
4702 = 220900
4712 = 221841
4722 = 222784
4732 = 223729
4742 = 224676
4752 = 225625
4762 = 226576
4772 = 227529
4782 = 228484
479 2 = 229441
4802 = 230400
Quadrado Mágico 4x4
ao quadrado Imperfeito
 
893070
         
230400 217156 218089 227529 893174
219961 225625 224676 222784 893046
223729 221841 220900 226576 893046
219024 228484 229441 216225 893174
         
893114 893106 893106 893114 893150

Quadrado Mágico 5x5 com 25 números quadrados consecutivos

Quadrado Mágico 5x5 contruído a partir da sequência:

1176, 1177, 1178, 1179, 1180, 1181, 1182, 1183, 1184, 1185, 1186, 1187, 1188, 1189, 1190, 1191, 1192, 1193, 1194, 1195, 1196, 1197, 1198 e 1199 cujo primeiro termo é o 480 número triangular 1176.

Quadrado Mágico 5x5
Constante Mágica 5940
5940
             
1178 1179 1196 1193 1194   5940
1200 1185 1190 1189 1176 5940
1199 1192 1188 1184 1177 5940
1181 1187 1186 1191 1195 5940
1182 1197 1180 1183 1198 5940
 
5940 5940 5940 5940 5940 5940

Com sequência consecutiva de 1176 a 1199 ao quadrado não é possível construir Quadrado Mágico e sim Quadrado Mágico ao Quadrado Imperfeito, pois não há Constante Mágica.

    Números
    quadrados
     
11762 = 1382976
11772 = 1385329
11782 = 1387684
11792 = 1390041
11802 = 1392400
11812 = 1394761
11822 = 1397124
11832 = 1399489
11842 = 1401856
11852 = 1404225
11862 = 1406596
11872 = 1408969
11882 = 1411344
11892 = 1413721
11902 = 1416100
11912 = 1418481
11922 = 1420864
11932 = 1423249
11942 = 1425636
11952 = 1428025
11962 = 1430416
11972 = 1432809
11982 = 1435204
11992 = 1437601
12002 = 1440000
Quadrado Mágico 5x5
ao quadrado Imperfeito
         
1387684 1390041 1430416 1423249 1425636
1440000 1404225 1416100 1413721 1382976
1437601 1420864 1411344 1401856 1385329
1394761 1408969 1406596 1418481 1428025
1397124 1432809 1392400 1399489 1435204
         
7057170 7056908 7056856 7056796 7057170

Soma da primeira linha = 7057026

Soma da segunda linha = 7057022

Soma da terceira linha = 7056994

Soma da quarta linha = 7056832

Soma da quinta linha = 7057026

Soma da diagonal principal = 5652713

Soma da diagonal secundaria = 7056794

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

http://clubes.obmep.org.br/ blog/desafio-soma-de-quadrados/

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