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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e números triangulares - 200

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas nas quais são dispostos números obedecendo uma certa ordem e que quando somado cada linha, cada coluna e diagonais tem como resultado um mesmo total que é a Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos são classificados quanto a sua ordem, isto é, a quantidade de células/quadradinhos/casas que são formados, por exemplo, quadrado de ordem 3 ou 3x3 é formando por 9 células, de ordem 4 ou 4x4 é fomando por 16 células, ordem 5 ou 5x5 é formado por 25 células e assim por diante.

Desde o seu surgimento na antiga China sempre fora relacionado as práticas místicas, esotéricas, astrológicas, alquimícas, práticas estas abarcadas pelos hindus e disseminada pelo arábes por meio de grimórios

Na idade média, no fervor do renascimento, houveram muitas traduções de textos antigos, entre eles, os escritos de Ahmed al-Buni traduzidos por Manuel Moschopulos que apresenta algumas técnicas de construções e observa propriedades lógicas e matemáticas nos Quadrados Mágicos.

Os estudos aqui apresentados demonstram uma nova propriedade com Quadrados Mágicos de ordem ímpar construídos por meio dos Métodos de Rotação e de Yang Hui "Pirâmide com a sequência de números triangulares.

Quadrado Mágico 3x3 e números triangulares

Quadrado Mágico 3x3 ou de ordem 3 é formado por 3 linhas e 3 colunas totalizando 9 células.

O Quadrado Mágico 3x3 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 9 números naturais de 1 a n2.

Método da Rotação

A partir de um Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 formado por números de 1 a 9 (figura a) e girando-o a 450, os números 1, 3, 9 e 7 ficam posicionados em direção aos quadradinhos amarelo (figura b).

Os números 4, 2, 8 e 6 já ficam em posição final dentro de suas células.

Método Yang Hui "Pirâmide"

Escrevendo os números de 1 a 9 diagonalmente (figura c), os números 1, 3, 9 e 7 ficam fora do quadrado principal e posicionados nos quadradinhos amarelo.

Para montar o Quadrado Mágico 3x3 (figura d) segue-as etapas:

1) o número 1 que está na parte de cima, deve ser deslocando para parte de baixo dentro o quadrado;

2) o número 9 que está na parte de baixo, deve ser deslocado para cima dentro do quadrado;

3) o número 3 que está na lateral direita, deve ser deslocado para lateral esquerda dentro do quadrado;

4) o número 7 que está na lateral esquerda, deve ser deslocado para lateral direita dentro do quadrado;

Os Métodos da Rotação e Pirâmide utilizam princípios semelhantes que são o de rotacionar números e posicioná-los de forma que posteriormente as somas de cada linha, cada coluna e diagonais tenham como resultado a Constante Mágica 15.

quadrado mágico 3x3 e números triangulares

Quando rotacionado o quadrado 3x3, 4 números se posicionam de cada do lado de "fora" do quadrado e que postiormente são realocados para dentro do quadrado.

A quantidade de números de ficam de fora em um dos lados do quadrado são o que se relacionam com os números triangulares.

Vejamos:

a) 9 é quantidade de termos do quadrado 3x3;

b) 5 é o termo central do quadrado 3x3;

c) 9 - 5 = 4 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado)

d) 4 : 4 = 1 (primeiro número triangular)

Quadrado Mágico 5x5 e números triangulares

Quadrado Mágico 5x5 ou de ordem 5 é formado por 5 linhas e 5 colunas totalizando 25 células.

O Quadrado Mágico 5x5 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 25 números naturais de 1 a n2.

a) 25 é a quantidade de termos do quadrado 5x5;

b) 13 é o termo central do quadrado 5x5;

c) 25 - 13 = 12 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado);

d) 12 : 4 = 3 (segundo número triangular).

quadrado mágico 5x5 e números triangulares

Quadrado Mágico 7x7 e números triangulares

Quadrado Mágico 7x7 ou de ordem 7 é formado por 7 linhas e 7 colunas totalizando 49 células.

O Quadrado Mágico 7x7 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 49 números naturais de 1 a n2.

a) 49 é a quantidade de termos do quadrado 7x7;

b) 25 é o termo central do quadrado 7x7;

c) 49 - 25 = 24 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado);

d) 24 : 4 = 6 (terceiro número triangular).

quadrado mágico 7x7 e números triangulares

Quadrados Mágicos e correspondências com números triangulares

A tabela a seguir apresenta a corrêspondencia de ordem de Quadrado Mágico com seu respectivo número triangular.

Interessante observar que o Número de Termos, o Termo Central e a Diferença formam Termos Pitagóricos Primitivos.

Exemplos)

9, 5 e 4

25, 13 e 12

49, 25 e 24

Quadrado Mágicos e números triagulares
           
Quadrado Número de Termo Diferença Divisão Número
  Termos Central   por 4 Triangular
3 x 3 9 5 4 4 1
           
5 x 5 25 13 12 4 3
           
7 x 7 49 25 24 4 6
           
9 x 9 81 41 40 4 10
           
11 x 11 121 61 60 4 15
           
13 x 13 169 85 84 4 21
           
15 x 15 225 113 112 4 28
           
17 x 17 289 145 144 4 36

Fontes:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Autor: Ricardo Silva agosto/2018

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