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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e números triangulares - 200

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas nas quais são dispostos números obedecendo uma certa ordem e que quando somado cada linha, cada coluna e diagonais tem como resultado uma mesma soma que é a Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos são classificados quanto a sua ordem, isto é, a quantidade de células/quadradinhos/casas que são formados, por exemplo, quadrado de ordem 3 ou 3x3 é formando por 9 células, de ordem 4 ou 4x4 é fomando por 16 células, ordem 5 ou 5x5 é formado por 25 células e assim por diante.

Desde o seu surgimento na antiga China sempre fora relacionado as práticas místicas, esotéricas, astrológicas, alquimícas, práticas estas abarcadas pelos hindus e disseminada pelo arábes por meio de grimórios

Na idade média, no fervor do renascimento, houveram muitas traduções de textos antigos, entre eles, os escritos de Ahmed al-Buni traduzidos por Manuel Moschopulos que apresenta algumas técnicas de construções e observa propriedades lógicas e matemáticas nos Quadrados Mágicos.

Os estudos aqui apresentados demonstram uma nova propriedade com Quadrados Mágicos de ordem ímpar construídos por meio dos Métodos de Rotação e de Yang Hui "Pirâmide" com a sequência de números triangulares.

Quadrado Mágico 3x3 e números triangulares

Quadrado Mágico 3x3 ou de ordem 3 é formado por 3 linhas e 3 colunas totalizando 9 células.

O Quadrado Mágico 3x3 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 9 números naturais de 1 a n2.

Método da Rotação

A partir de um Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 formado por números de 1 a 9 (figura a) e girando-o a 450, os números 1, 3, 9 e 7 ficam posicionados em direção aos quadradinhos amarelo (figura b).

Os números 4, 2, 8 e 6 já ficam em posição final dentro de suas células.

Método Yang Hui "Pirâmide"

Escrevendo os números de 1 a 9 diagonalmente (figura c), os números 1, 3, 9 e 7 ficam fora do quadrado principal e posicionados nos quadradinhos amarelo.

Para montar o Quadrado Mágico 3x3 (figura d) segue-as etapas:

1) o número 1 que está na parte de cima, deve ser deslocando para parte de baixo dentro o quadrado;

2) o número 9 que está na parte de baixo, deve ser deslocado para cima dentro do quadrado;

3) o número 3 que está na lateral direita, deve ser deslocado para lateral esquerda dentro do quadrado;

4) o número 7 que está na lateral esquerda, deve ser deslocado para lateral direita dentro do quadrado;

Os Métodos da Rotação e Pirâmide utilizam princípios semelhantes que são o de rotacionar números e posicioná-los de forma que posteriormente as somas de cada linha, cada coluna e diagonais tenham como resultado a Constante Mágica 15.

quadrado mágico 3x3 e números triangulares

Quando rotacionado o quadrado 3x3, 4 números se posicionam de cada do lado de "fora" do quadrado e que postiormente são realocados para dentro do quadrado.

A quantidade de números de ficam de fora em um dos lados do quadrado são o que se relacionam com os números triangulares.

Vejamos:

a) 9 é quantidade de termos do quadrado 3x3;

b) 5 é o termo central do quadrado 3x3;

c) 9 - 5 = 4 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado)

d) 4 : 4 = 1 (primeiro número triangular)

Quadrado Mágico 5x5 e números triangulares

Quadrado Mágico 5x5 ou de ordem 5 é formado por 5 linhas e 5 colunas totalizando 25 células.

O Quadrado Mágico 5x5 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 25 números naturais de 1 a n2.

a) 25 é a quantidade de termos do quadrado 5x5;

b) 13 é o termo central do quadrado 5x5;

c) 25 - 13 = 12 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado);

d) 12 : 4 = 3 (segundo número triangular).

quadrado mágico 5x5 e números triangulares

Quadrado Mágico 7x7 e números triangulares

Quadrado Mágico 7x7 ou de ordem 7 é formado por 7 linhas e 7 colunas totalizando 49 células.

O Quadrado Mágico 7x7 Puro ou Normal é constituído pelos primeiros 49 números naturais de 1 a n2.

a) 49 é a quantidade de termos do quadrado 7x7;

b) 25 é o termo central do quadrado 7x7;

c) 49 - 25 = 24 (quantidade de números que ficam do lado de fora do quadrado);

d) 24 : 4 = 6 (terceiro número triangular).

quadrado mágico 7x7 e números triangulares

Quadrados Mágicos e correspondências com números triangulares

A tabela a seguir apresenta a corrêspondencia de ordem de Quadrado Mágico com seu respectivo número triangular.

Interessante observar que o Número de Termos, o Termo Central e a Diferença formam Termos Pitagóricos Primitivos.

Exemplos:

9, 5 e 4

25, 13 e 12

49, 25 e 24

Quadrado Mágicos e números triagulares
           
Quadrado Número de Termo Diferença Divisão Número
  Termos Central   por 4 Triangular
           
3 x 3 9 5 4 4 1
           
5 x 5 25 13 12 4 3
           
7 x 7 49 25 24 4 6
           
9 x 9 81 41 40 4 10
           
11 x 11 121 61 60 4 15
           
13 x 13 169 85 84 4 21
           
15 x 15 225 113 112 4 28
           
17 x 17 289 145 144 4 36
           

 

Autor: Ricardo Silva - agosto/2018

 

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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