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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo Pitagórico e diferença entre cateto maior e cateto menor - 347

Triângulos Pitagóricos são triângulos retângulos escalenos cujos lados: hipotenusa, cateto maior e cateto menor são formados por sequências de 3 números inteiros denominados de Ternos Pitagóricos.

Ternos Pitagóricos, também denominados de triplas pitagóricas, trinca pitagórica são sequências de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras e que tem o seguinte enunciado: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos o qual é representado pela seguinte fórmula:

a² = b² + c²
Triângulo Pitagórico e diferença entre cateto maior e cateto menor

Por meio das Fórmulas de Euclides, autor do livro Os Elementos, são possíveis de se gerarem todos os ternos pitagóricos primitivos, mas nem todos os ternos pitagóricos derivados conforme estudos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, divulgado aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos. No livro também são demostrados novos algoritmos para se calcular medidas dos lados de um triângulo retângulo por meio de cálculos numéricos sem a utilização do Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo escaleno, o seu maior lado é a hipotenusa, o lado intermediário é o cateto maior e o menor lado é o cateto menor.

Neste estudo são apresentados os 100 primeiros Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular gerados por meio das Fórmulas de Euclides os quais, posteriormente, foram subtraídos de cada cateto maior o seu cateto menor correspondente, originando-se assim, as diferenças entre catetos.

As diferenças entre os catetos maior e menor apresentam as seguintes regularidades numéricas:

a) as diferenças são números ímpares;

b) a sequência das diferenças entres os catetos tem como algarismos finais a sequência 1, 7, 7, 1 e 9.

c) os termos da sequência das diferenças entres os catetos não são divisíveis por 3, 5, 11, 13, 19, 23, etc...;

d) entre termos da sequência das diferenças entres os catetos há ocorrências de números primos, entre as 100 primeiras diferenças, há 46 números primos, quase 50% do total;

Observação importante: entre os 100 primeiros números naturais, há 24 números primos.

e) entre os termos da sequência das diferenças entres os catetos há números que são divisíveis por 7;

f) na divisão entre termos da sequência das diferenças entre os catetos por 7, há quocientes cujos números são primos;

g) entre os 100 quocientes, da divisão entre termos da sequência das diferenças entre os catetos por 7, há 20 números primos, 20% do total.

Tabela da diferença entre cateto maior e cateto menor

A diferença entre catetos maior e catetos menor tem como resultado a sequência numérica 1, 7, 17, 31, 49, 71,..., com o primeiro termo iniciando-se em 1.

Tabela da diferença entre
catetos maior e catetos menor
   
catetos
ordem menor maior hipo- direfença número divisão número
-tenusa entre primo 7 primo
    catetos
   
1 3 4 5 1 0,14
2 5 12 13 7 primo 1,00
3 7 24 25 17 primo 2,43
4 9 40 41 31 primo 4,43
5 11 60 61 49 7 primo
6 13 84 85 71 primo 10,14
7 15 112 113 97 primo 13,86
8 17 144 145 127 primo 18,14
9 19 180 181 161 23 primo
10 21 220 221 199 primo 28,43
11 23 264 265 241 primo 34,43
12 25 312 313 287 41 primo
13 27 364 365 337 primo 48,14
14 29 420 421 391 55,86
15 31 480 481 449 primo 64,14
16 33 544 545 511 73 primo
17 35 612 613 577 primo 82,43
18 37 684 685 647 primo 92,43
19 39 760 761 721 103 primo
20 41 840 841 799 114,14
21 43 924 925 881 primo 125,86
22 45 1012 1013 967 primo 138,14
23 47 1104 1105 1057 151 primo
24 49 1200 1201 1151 primo 164,43
25 51 1300 1301 1249 primo 178,43
26 53 1404 1405 1351 193 primo
27 55 1512 1513 1457 208,14
28 57 1624 1625 1567 primo 223,86
29 59 1740 1741 1681 240,14
30 61 1860 1861 1799 257 primo
31 63 1984 1985 1921 274,43
32 65 2112 2113 2047 292,43
33 67 2244 2245 2177 311 primo
34 69 2380 2381 2311 primo 330,14
35 71 2520 2521 2449 349,86
36 73 2664 2665 2591 primo 370,14
37 75 2812 2813 2737 391,00
38 77 2964 2965 2887 primo 412,43
39 79 3120 3121 3041 primo 434,43
40 81 3280 3281 3199 457 primo
41 83 3444 3445 3361 primo 480,14
42 85 3612 3613 3527 primo 503,86
43 87 3784 3785 3697 primo 528,14
44 89 3960 3961 3871 553,00
45 91 4140 4141 4049 primo 578,43
46 93 4324 4325 4231 primo 604,43
47 95 4512 4513 4417 631 primo
48 97 4704 4705 4607 658,14
49 99 4900 4901 4801 primo 685,86
50 101 5100 5101 4999 primo 714,14
51 103 5304 5305 5201 743 primo
52 105 5512 5513 5407 primo 772,43
53 107 5724 5725 5617 802,43
54 109 5940 5941 5831 833,00
55 111 6160 6161 6049 864,14
56 113 6384 6385 6271 primo 895,86
57 115 6612 6613 6497 928,14
58 117 6844 6845 6727 961,00
59 119 7080 7081 6961 primo 994,43
60 121 7320 7321 7199 1028,43
61 123 7564 7565 7441 1063 primo
62 125 7812 7813 7687 primo 1098,14
63 127 8064 8065 7937 primo 1133,86
64 129 8320 8321 8191 primo 1170,14
65 131 8580 8581 8449 1207,00
66 133 8844 8845 8711 1244,43
67 135 9112 9113 8977 1282,43
68 137 9384 9385 9247 1321 primo
69 139 9660 9661 9521 primo 1360,14
70 141 9940 9941 9799 1399,86
71 143 10224 10225 10081 1440,14
72 145 10512 10513 10367 1481 primo
73 147 10804 10805 10657 primo 1522,43
74 149 11100 11101 10951 1564,43
75 151 11400 11401 11249 1607 primo
76 153 11704 11705 11551 primo 1650,14
77 155 12012 12013 11857 1693,86
78 157 12324 12325 12167 1738,14
79 159 12640 12641 12481 1783 primo
80 161 12960 12961 12799 primo 1828,43
81 163 13284 13285 13121 primo 1874,43
82 165 13612 13613 13447 1921,00
83 167 13944 13945 13777 1968,14
84 169 14280 14281 14111 2015,86
85 171 14620 14621 14449 primo 2064,14
86 173 14964 14965 14791 2113 primo
87 175 15312 15313 15137 primo 2162,43
88 177 15664 15665 15487 2212,43
89 179 16020 16021 15841 2263,00
90 181 16380 16381 16199 2314,14
91 183 16744 16745 16561 primo 2365,86
92 185 17112 17113 16927 primo 2418,14
93 187 17484 17485 17297 2471 primo
94 189 17860 17861 17671 2524,43
95 191 18240 18241 18049 primo 2578,43
96 193 18624 18625 18431 2633 primo
97 195 19012 19013 18817 2688,14
98 197 19404 19405 19207 primo 2743,86
99 199 19800 19801 19601 2800,14
100 201 20200 20201 19999  
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Tabela da soma entre cateto maior e cateto menor

Efetuando-se as somas entre catetos maior e catetos menor tem como resultado a sequência 7, 17, 31, 49, 71, .... com o primeiro termo iniciando-se com em 7.

Tabela da soma entre
catetos maior e catetos menor
 
catetos
ordem menor maior hipotenusa soma
  entre
    catetos
   
1 3 4 5 7
2 5 12 13 17
3 7 24 25 31
4 9 40 41 49
5 11 60 61 71
6 13 84 85 97
7 15 112 113 127
8 17 144 145 161
9 19 180 181 199
10 21 220 221 241
11 23 264 265 287
12 25 312 313 337
13 27 364 365 391
14 29 420 421 449
15 31 480 481 511
16 33 544 545 577
17 35 612 613 647
18 37 684 685 721
19 39 760 761 799
20 41 840 841 881
21 43 924 925 967
22 45 1012 1013 1057
23 47 1104 1105 1151
24 49 1200 1201 1249
25 51 1300 1301 1351
26 53 1404 1405 1457
27 55 1512 1513 1567
28 57 1624 1625 1681
29 59 1740 1741 1799
30 61 1860 1861 1921
31 63 1984 1985 2047
32 65 2112 2113 2177
33 67 2244 2245 2311
34 69 2380 2381 2449
35 71 2520 2521 2591
36 73 2664 2665 2737
37 75 2812 2813 2887
38 77 2964 2965 3041
39 79 3120 3121 3199
40 81 3280 3281 3361
41 83 3444 3445 3527
42 85 3612 3613 3697
43 87 3784 3785 3871
44 89 3960 3961 4049
45 91 4140 4141 4231
46 93 4324 4325 4417
47 95 4512 4513 4607
48 97 4704 4705 4801
49 99 4900 4901 4999
50 101 5100 5101 5201
51 103 5304 5305 5407
52 105 5512 5513 5617
53 107 5724 5725 5831
54 109 5940 5941 6049
55 111 6160 6161 6271
56 113 6384 6385 6497
57 115 6612 6613 6727
58 117 6844 6845 6961
59 119 7080 7081 7199
60 121 7320 7321 7441
61 123 7564 7565 7687
62 125 7812 7813 7937
63 127 8064 8065 8191
64 129 8320 8321 8449
65 131 8580 8581 8711
66 133 8844 8845 8977
67 135 9112 9113 9247
68 137 9384 9385 9521
69 139 9660 9661 9799
70 141 9940 9941 10081
71 143 10224 10225 10367
72 145 10512 10513 10657
73 147 10804 10805 10951
74 149 11100 11101 11249
75 151 11400 11401 11551
76 153 11704 11705 11857
77 155 12012 12013 12167
78 157 12324 12325 12481
79 159 12640 12641 12799
80 161 12960 12961 13121
81 163 13284 13285 13447
82 165 13612 13613 13777
83 167 13944 13945 14111
84 169 14280 14281 14449
85 171 14620 14621 14791
86 173 14964 14965 15137
87 175 15312 15313 15487
88 177 15664 15665 15841
89 179 16020 16021 16199
90 181 16380 16381 16561
91 183 16744 16745 16927
92 185 17112 17113 17297
93 187 17484 17485 17671
94 189 17860 17861 18049
95 191 18240 18241 18431
96 193 18624 18625 18817
97 195 19012 19013 19207
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Números que são produtos de 2 números primos distintos

As diferenças entre os catetos maior e menor apresentam uma outra e interessante regularidade numérica que é a de gerarem números que são produtos de 2 números primos distintos.

Números que são produtos de 2 números primos distintos geram potências cujos divisores são em quantidades de números quadrados perfeitos.

Números cujos divisores são em quantidades de números quadrados perfeitos são números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Com números cujos divisores são em quantidades de números quadrados perfeitos são possíveis de se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos sequênciais.

Dentre os 100 quocientes, da divisão entre termos da sequência das diferenças entre os catetos por 7, há 30 números compostos, formados por 2 fatores primos distintos cujo primeiro fator termina em 7.

Exemplos de números que são produtos de 2 números primos distintos originados das diferenças entre catetos maior e menor:

161 = 7 x 23

287 = 7 x 41

391 = 17 x 23

511 = 7 x 73

721 = 7 x 103

1057 = 7 x 151

1351 = 7 x 193

1799 = 7 x 257

1921 = 17 x 113

2177 = 7 x 311

Observação importante: o primeiro fator de cada multiplicação são números cujos algarismos finais terminam em 7.

O número 6

O número 6 é o primeiro número composto formado por 2 números primos distintos:

6 = 2 x 3

Com suas potências: 36, 216, 1296,..., etc. são possíveis de construírem quadrados mágicos multiplicativos sequenciais.

 

Autor: Ricardo Silva - setembro/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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