Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os termos de cada linha, cada coluna e cada diagonal são multiplicados e o produto de cada um deles tem como resultado uma Constante Mágica Multiplicativa.
Quadrados Mágicos Multiplicativos podem ser construídos com progressões geométricas (P.G.) e também com sequências e sub-sequências de divisores de determinados números quadrados perfeitos cujas raízes não são potências de números primos e de determinados números compostos.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| divisores de 36 | ||||
| 216 | ||||
| 18 | 1 | 12 | = | 216 |
| 4 | 6 | 9 | = | 216 |
| 3 | 36 | 2 | = | 216 |
| = | = | = | = | |
| 216 | 216 | 216 | 216 | |
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Conforme estudos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores de 36 não pode ser construído com os métodos Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui.
Conforme análises e estudos, o Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores de 36 pode ser construído através dos métodos: Quadrado Latino Ortogonal com pares ordenados exponenciais (com potenciação) ou Algébrico.
Segundo os trabalhos de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang publicados em Discrete Mathematics, em 1983, os autores provaram através do Método Quadrado Latino Ortogonal que o menor Quadrado Mágico Multiplicativo é o de Constante Mágica 216. O número 216 é o cubo de 6.
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 21. 32 | 20. 30 | 22. 31 |
| 22.30 | 21. 31 | 20. 32 |
| 20. 31 | 22. 32 | 21. 30 |
Fonte: [1] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics
Veja matérias relacionadas, para mais informações.
A sequência dos divisores de 36 não é uma progressão aritmética (P.A.) e nem uma progressão geométrica (P.G.), pois não há uma constante entre os termos, mas com ela é possível construir Quadrados Mágicos Múltiplicativos sequênciais, isto é, elevando-se os termos ao quadrado, ao cubo, a quarta potência, e assim sucessivamente.
| Divisores do número | |
|---|---|
| quadrado perfeito 36 | |
| Divisores | Diferença |
| 1 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 1 | |
| 3 | |
| 1 | |
| 4 | |
| 2 | |
| 6 | |
| 3 | |
| 9 | |
| 3 | |
| 12 | |
| 6 | |
| 18 | |
| 18 | |
| 36 | |
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| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 | ||||
| divisores de 36 ao quadrado | ||||
| 46.656 | ||||
| 9 | 1296 | 4 | = | 46.656 |
| 16 | 36 | 81 | = | 46.656 |
| 324 | 1 | 144 | = | 46.656 |
| = | = | = | ||
| 46.656 | 46.656 | 46.656 | 46.656 | |
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| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 | ||||
| divisores de 36 ao cubo | ||||
| 10.077.696 | ||||
| 27 | 46.656 | 8 | = | 10.077.696 |
| 64 | 216 | 729 | = | 10.077.696 |
| 5.832 | 1 | 1728 | = | 10.077.696 |
| = | = | = | ||
| 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | |
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| Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 | ||
| divisores de 36 à 4a potência | ||
| constante mágica 2.176.782.336 | ||
| 81 | 1.679.616 | 16 |
| 256 | 1.296 | 6.561 |
| 104.976 | 1 | 20.736 |
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Os Quadrados Mágicos Multiplicativos com potências de base 6 construídos com os métodos Quadrado Latino Ortogonal ou Algébrico apresentam uma outra propriedade numérica interessante, de que são possíveis formarem sub-sequências de divisores de potências de base 6 e assim construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos com termos diferentes, com exceção do termo central, mas com Constantes Mágicas idênticas.
| Tabelas de Divisores | |||
|---|---|---|---|
| Raiz | Número | Divisores | Quantidade |
| Cúbica | |||
| 6 | 216 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 | 16 |
O número cúbico 216, potência de base 6, possui 16 divisores.
Não é possivel formar Quadrado Mágico Aditivo 4x4, Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 com os divisores de 216, pois não formam Constantes Mágicas.
| Quadrado Mágico | |||||
| Multiplicativo Imperfeito 4x4 | |||||
| divisores de 216 | |||||
| 46.656 | |||||
| 216 | 2 | 3 | 54 | = | 69.984 |
| 6 | 27 | 24 | 12 | = | 46.656 |
| 18 | 9 | 8 | 36 | = | 46.656 |
| 4 | 72 | 108 | 1 | = | 31.104 |
| = | = | = | = | ||
| 93.312 | 34.992 | 62.208 | 23.328 | 46.656 | |
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A construção do Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número cúbico perfeito 216 { 6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 46.656.
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 22. 31 | 23. 33 | 21. 32 |
| 21.33 | 22. 32 | 23. 31 |
| 23. 32 | 21. 31 | 22. 33 |
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| divisores parciais de 216 | ||||
| 46.656 | ||||
| 12 | 216 | 18 | = | 46.656 |
| 54 | 36 | 24 | = | 46.656 |
| 72 | 6 | 108 | = | 46.656 |
| = | = | = | = | |
| 46.656 | 46.656 | 46.656 | 46.656 | |
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O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores parciais de 216 tem Constante Mágica igual ao Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores elevados ao quadrado do número 36.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 | ||||
| divisores de 36 ao quadrado | ||||
| 46.656 | ||||
| 9 | 1.296 | 4 | = | 46.656 |
| 16 | 36 | 81 | = | 46.656 |
| 324 | 1 | 144 | = | 46.656 |
| = | = | = | ||
| 46.656 | 46.656 | 46.656 | 46.656 | |
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Com exceção do termo central 36, os demais termos são distintos e que multiplicados apresentam a mesma Constante Mágica 46.656 nos dois Quadrados Mágicos Multiplicativos.
| Tabelas de Divisores | |||
|---|---|---|---|
| Raiz | Número | Divisores | Quantidade |
| 36 | 1296 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296 | 25 |
O número quadrado perfeito 1296, potência de base 6, possui 25 divisores.
A construção do Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número quadrado perfeito 1296 { 36, 72, 108, 144, 216, 324, 432, 648, 1296} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 10.077.696
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 23. 32 | 24. 34 | 22. 33 |
| 22.34 | 23. 33 | 24. 32 |
| 24. 33 | 22. 32 | 23. 34 |
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 | ||||
| divisores parciais de 1296 | ||||
| 10.077.696 | ||||
| 72 | 1.296 | 108 | = | 10.077.696 |
| 324 | 216 | 144 | = | 10.077.696 |
| 432 | 36 | 648 | = | 10.077.696 |
| = | = | = | ||
| 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | |
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O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores parciais de 1296 tem Constante Mágica igual ao Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores elevados ao cubo do número 36.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 | ||||
| divisores de 36 ao cubo | ||||
| 10.077.696 | ||||
| 27 | 46.656 | 8 | = | 10.077.696 |
| 64 | 216 | 729 | = | 10.077.696 |
| 5.832 | 1 | 1.728 | = | 10.077.696 |
| = | = | = | ||
| 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | 10.077.696 | |
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Com exceção do termo central 216, os demais termos são distintos e que multiplicados apresentam a mesma Constante Mágica 46.656 nos dois Quadrados Mágicos Multiplicativos.
A presente tabela revela algumas relações numéricas entre algumas potências de base 6:
a) divisores de potência antecessora estão contidos em divisores de potências sucessoras;
b) potências sucessoras contém divisores de potências antecessoras;
c) os divisores da potência 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ao quadrado geraram Quadrado Mágico Multiplicativo de Constante Mágica 46.656;
d) os quadrados de cada um dos divisores da potência 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} estão contidos entre os divisores da potência 46.656 ( 1, 4, 9, 16, 36, 81, 144, 324, 1296) cor azul;
e) os divisores parciais da potência de 216 gerados de Quadrado Latino Ortogonal estão contidos entre os divisores da potência de 46.656 (6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216) cor verde;
f) os divisores ao quadrado da potência 36 (cor azul) e da potência 216 (cor verde), com exceção do termo médio 36, são todos números distintos e estão contidos no divisores de 46.656;
| Divisores de potências de base 6 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Potências | ||||||
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | |
| 6 | 36 | 216 | 1.296 | 7.776 | 46.656 | |
| Divisores | ||||||
| Quantidade | ||||||
| divisores | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | ||
| 4 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | |||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | ||
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | ||
| 16 | 16 | 16 | ||||
| 18 | 18 | 18 | 18 | 18 | ||
| 24 | 24 | 24 | 24 | |||
| 27 | 27 | 27 | 27 | |||
| 32 | 32 | |||||
| 9 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | |
| 48 | 38 | 48 | ||||
| 54 | 54 | 54 | 54 | |||
| 64 | ||||||
| 72 | 72 | 72 | 72 | |||
| 81 | 81 | 81 | ||||
| 96 | 96 | |||||
| 108 | 108 | 108 | 108 | |||
| 144 | 144 | 144 | ||||
| 162 | 162 | 162 | ||||
| 192 | ||||||
| 16 | 216 | 216 | 216 | 216 | ||
| 243 | 243 | |||||
| 288 | 288 | |||||
| 324 | 324 | 324 | ||||
| 432 | 432 | 432 | ||||
| 486 | 486 | |||||
| 576 | ||||||
| 648 | 648 | 648 | ||||
| 729 | ||||||
| 864 | 864 | |||||
| 972 | 972 | |||||
| 25 | 1296 | 1.296 | 1.296 | |||
| 1.458 | ||||||
| 1.728 | ||||||
| 1.944 | 1.944 | |||||
| 2.592 | 2592 | |||||
| 2.916 | ||||||
| 3.888 | 3.888 | |||||
| 5.184 | ||||||
| 5.832 | ||||||
| 7776 | 7.776 | |||||
| 11.664 | ||||||
| 15.552 | ||||||
| 23.328 | ||||||
| 36 | 46.656 | |||||
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Com os divisores de determinados números compostos e com os divisores parciais de determinados números compostos gerados por Quadrados Latinos Ortogonais são possíveis de se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos Semelhantes com termos distintos com exceção do termo central e que apresentam mesmas Constantes Mágicas Multiplicativas.
Números compostos que não são potências de números primos ou de outros números compostos possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos é o escopo do novo livro digital Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos que discorre sobre a relação entre números, divisores, geometria e números primos.
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SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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