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Quadrados Mágicos Multiplicativos semelhantes e potências de base 6 - 236

Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os termos de cada linha, cada coluna e cada diagonal são multiplicados e o produto de cada um deles tem como resultado uma Constante Mágica Multiplicativa.

Quadrados Mágicos Multiplicativos podem ser construídos com progressões geométricas (PG) e também com sequências e sub-sequências de divisores de determinados números quadrados perfeitos cujas raízes não são potências de números primos e de determinados números compostos.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 e divisores de 36

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3
divisores de 36
        216
         
18 1 12 = 216
4 6 9 = 216
3 36 2 = 216
= = = =  
216 216 216    216
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Conforme estudos publicados aqui no site Os Fantásticos Números Primos, Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores de 36 não pode ser construído com os métodos Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui.

Conforme análises e estudos, o Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores de 36 pode ser construído através dos métodos: Quadrado Latino Ortogonal com pares ordenados exponenciais (com potenciação) ou Algébrico.

Segundo os trabalhos de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang publicados em Discrete Mathematics, em 1983, os autores provaram através do Método Quadrado Latino Ortogonal que o menor Quadrado Mágico Multiplicativo é o de Constante Mágica 216. O número 216 é o cubo de 6.

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
21. 32 20. 30 22. 31
22.30 21. 31 20. 32
20. 31 22. 32 21. 30

Fonte: [1] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics

Veja matérias relacionadas

A sequência dos divisores de 36 não é uma progressão aritmética (PA) e nem uma progressão geométrica (PG), pois não há uma constante entre os termos, mas com ela é possível construir Quadrados Mágicos Múltiplicativos sequênciais, isto é, elevando-se os termos ao quadrado, ao cubo, a quarta potência, e assim sucessivamente.

Divisores do número quadrado perfeito 36
Divisores 1   2   3   4   6   9   12   18   36
Diferença   1   1   1   2   3   3   6   18  

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 e divisores de 36 ao quadrado

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 36 ao quadrado
46.656
 
9 1296 4 = 46.656
16 36 81 = 46.656
324 1 144 = 46.656
= = =  
46.656 46.656 46.656 46.656
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Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 e divisores de 36 ao cubo

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 36 ao cubo
10.077.696
 
27 46.656 8 = 10.077.696
64 216 729 = 10.077.696
5.832 1 1728 = 10.077.696
= = =  
10.077.696 10.077.696 10.077.696 10.077.696
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Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 e divisores de 36 à quarta potência

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 36 à 4a potência
2.176.782.336
 
81 1.679.616 16 = 2.176.782.336
256 1.296 6.561 = 2.176.782.336
104.976 1 20.736 = 2.176.782.336
= = =  
2.176.782.336 2.176.782.336 2.176.782.336 2.176.782.336
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Quadrados Mágicos Multiplicativos Semelhantes

Os Quadrados Mágicos Multiplicativos com potências de base 6 construídos com os métodos Quadrado Latino Ortogonal ou Algébrico apresentam uma outra propriedade numérica interessante, de que são possíveis formarem sub-sequências de divisores de potências de base 6 e assim construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos com termos diferentes, com exceção do termo central, mas com Constantes Mágicas idênticas.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores parciais de 216

Tabelas de Divisores
Raiz Número Divisores Quantidade
Cúbica      
6 216 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 16

O número cúbico 216, potência de base 6, possui 16 divisores.

Não é possivel formar Quadrado Mágico Aditivo 4x4, Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 com os divisores de 216, pois não formam Constantes Mágicas.

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 4x4
divisores de 216
          46.656
           
216 2 3 54 = 69.984
6 27 24 12 = 46.656
18 9 8 36 = 46.656
4 72 108 1 = 31.104
= = = =
93.312 34.992 62.208 23.328 46.656
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A construção do Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número cúbico perfeito 216 { 6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 46.656.

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
22. 31 23. 33 21. 32
21.33 22. 32 23. 31
23. 32 21. 31 22. 33
Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3
divisores de 216
        46.656
         
12 216 18 = 46.656
54 36 24 = 46.656
72 6 108 = 46.656
= = = =  
46.656 46.656 46.656   46.656
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O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores parciais de 216 tem Constante Mágica igual ao Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores elevados ao quadrado do número 36.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 36 ao quadrado
46.656
 
9 1.296 4 = 46.656
16 36 81 = 46.656
324 1 144 = 46.656
= = =  
46.656 46.656 46.656 46.656
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Com exceção do termo central 36, os demais termos são distintos e que multiplicados apresentam a mesma Constante Mágica 46.656 nos dois Quadrados Mágicos Multiplicativos.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores parciais de 1296

Tabelas de Divisores
Raiz Número Divisores Quantidade
       
36 1296 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296 25

O número quadrado perfeito 1296, potência de base 6, possui 25 divisores.

A construção do Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número quadrado perfeito 1296 { 36, 72, 108, 144, 216, 324, 432, 648, 1296} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 10.077.696

Quadrado Latino Ortogonal com potênciação
23. 32 24. 34 22. 33
22.34 23. 33 24. 32
24. 33 22. 32 23. 34
Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 1296 ao quadrado
10.077.696
 
72 1.296 108 = 10.077.696
324 216 144 = 10.077.696
432 36 648 = 10.077.696
= = =  
10.077.696 10.077.696 10.077.696 10.077.696
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O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores parciais de 1296 tem Constante Mágica igual ao Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com 9 divisores elevados ao cubo do número 36.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
divisores de 36 ao cubo
10.077.696
 
27 46.656 8 = 10.077.696
64 216 729 = 10.077.696
5.832 1 1.728 = 10.077.696
= = =  
10.077.696 10.077.696 10.077.696 10.077.696
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Com exceção do termo central 216, os demais termos são distintos e que multiplicados apresentam a mesma Constante Mágica 46.656 nos dois Quadrados Mágicos Multiplicativos.

Relação entre divisores de potência de base 6

A presente tabela revela algumas relações numéricas entre algumas potências de base 6:

a) divisores de potência antecessora estão contidos em divisores de potências sucessoras;

b) potências sucessoras contém divisores de potências antecessoras;

c) os divisores da potência 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ao quadrado geraram Quadrado Mágico Multiplicativo de Constante Mágica 46.656;

d) os quadrados de cada um dos divisores da potência 36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} estão contidos entre os divisores da potência 46.656 ( 1, 4, 9, 16, 36, 81, 144, 324, 1296) cor azul;

e) os divisores parciais da potência de 216 gerados de Quadrado Latino Ortogonal estão contidos entre os divisores da potência de 46.656 (6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216) cor verde;

f) os divisores ao quadrado da potência 36 (cor azul) e da potência 216 (cor verde), com exceção do termo médio 36, são todos números distintos e estão contidos no divisores de 46.656;

Divisores de potências de base 6
             
Potências
  61 62 63 64 65 66
             
  6 36 216 1.296 7.776 46.656
             
Divisores
Quantidade            
divisores 1 1 1 1 1 1
  2 2 2 2 2  2
  3 3 3 3 3  3
4 4 4 4  4
4 6 6 6 6 6  6
8 8 8  8
9 9 9 9  9
12 12 12 12  12
16 16  16
18 18 18 18  18
24 24 24  24
27 27 27  27
32  32
9 36 36 36 36  36
48 38  48
54 54 54  54
 64
72 72 72  72
81 81  81
96  96
108 108 108  108
144 144  144
162 162  162
 192
16 216 216 216  216
243  243
288  288
324 324  324
432 432  432
486  486
 576
648 648  648
 729
864  864
972  972
25 1296 1.296  1.296
 1.458
 1.728
1.944  1.944
2.592  2592
 2.916
3.888  3.888
 5.184
 5.832
7776  7.776
 11.664
 15.552
 23.328
36  46.656
   
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Conclusão:

Com os divisores de determinados números compostos e com os divisores parciais de determinados números compostos gerados por Quadrados Latinos Ortogonais são possíveis de se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos Semelhantes com termos distintos com exceção do termo central e que apresentam um mesma Constante Mágica Multiplicativa.

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Autor: Ricardo Silva - novembro /2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

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