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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Circunferência e potências de base 2 - 349

Circunferência é a figura geométrica formada por infinitos pontos equidistantes de um ponto central e que pode ser desenhada utilizando-se compasso, objetos circulares como discos, tampas e até mesmo como fios, barbantes ou cordas cujas pontas tenham amarrados objetos que se possam riscar.

circunferencia e potências base 2

Por meio de circunferências podemos desenhar, isto é, inscrever e circunscrever diversos polígonos regulares, tais como, triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

O matemático grego, Arquimedes de de Siracusa (287-212 a.C), em seus experimentos, para se tentar encontrar o valor "exato" do número Π (pi), inscreveu e circunscreveu numa circunferência um polígono de 96 lados. Em seus cálculos, efetuando-se as diferenças entre os perímetros dos polígonos inscrito e circunscrito chegou a aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429 para o número Π (pi).[1]

360 graus : 96 lados = 3,75 graus (cada divisão)

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou Π (pi) tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416.[1]

360 graus : 720 lados = 0,5 grau (cada divisão)

A "busca" pelo valor de chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. .[1]

360: 3.072 = 0,1171875 grau (cada divisão)

O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de Π (pi) com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de Π (pi) com as supracitadas 35 casas decimais.[1]

Duplicando-se o número 15 consecutivamente 37 vezes, na Planilha Microsoft Excel, não foi possível obter o valor legível da quantitade de lados que o matemático holandês Ludolph van Ceulen dividiu uma circunferência.

Divisão da circunferência
por Ludolph van Ceulen
           
Quant. divisão       divisão
vezes da       da
  circunferência       circunferência
           
1 15 x 2 = 30
2 30 x 2 = 60
3 60 x 2 = 120
4 120 x 2 = 240
5 240 x 2 = 480
6 480 x 2 = 960
7 960 x 2 = 1920
8 1920 x 2 = 3840
9 3840 x 2 = 7680
10 7680 x 2 = 15360
11 15360 x 2 = 30720
12 30720 x 2 = 61440
13 61440 x 2 = 122880
14 122880 x 2 = 245760
15 245760 x 2 = 491520
16 491520 x 2 = 983040
17 983040 x 2 = 1966080
18 1966080 x 2 = 3932160
19 3932160 x 2 = 7864320
20 7864320 x 2 = 15728640
21 15728640 x 2 = 31457280
22 31457280 x 2 = 62914560
23 62914560 x 2 = 125829120
24 125829120 x 2 = 251658240
25 251658240 x 2 = 503316480
26 503316480 x 2 = 1006632960
27 1006632960 x 2 = 2013265920
28 2013265920 x 2 = 4026531840
29 4026531840 x 2 = 8053063680
30 8053063680 x 2 = 16106127360
31 16106127360 x 2 = 32212254720
32 32212254720 x 2 = 64424509440
33 64424509440 x 2 = 1,28849E+11
34 1,28849E+11 x 2 = 2,57698E+11
35 2,57698E+11 x 2 = 5,15396E+11
36 5,15396E+11 x 2 = 1,03079E+12
37 1,03079E+12 x 2 = 2,06158E+12

Efetuando-se o cálculos na Calculadora Científica do Microsof Windows, a circunferência ficou dividida em: 515.396.075.520 lados.

360 graus : 515.396.075.520 lados =

0,00000000069849193096160888671875 grau.

Potências de base 2

Obtêm-se potências de base 2 elevando-se o número 2 a expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

As potências de base 2 apresentam um diferencial entre os demais números pares, pois, a partir da unidade, isto é, do número 1, dobrando-se os resultados, obtem-se potências de base 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,...

Dividindo-se potências de base 2 pela metade, chega-se a unidade:

1024 : 2 = 512

512 : 2 = 256

256 : 2 = 128

128 : 2 = 64

64 : 2 = 32

32 : 2 = 16

16 : 2 = 8

8 : 2 = 4

4 : 2 = 2

2 : 2 = 1

O mesmo não acontece com determinados números pares como: 6, 10, 12, 14, 18 e outros.

6 : 2 = 3

3 : 2 = 1,5

 

10 : 2 = 5

5 : 2 = 2,5

 

14 : 2 = 7

7 : 2 = 3,5

Divisão de circunferência em partes iguais

Geometricamente para se dividir uma circunferência em partes iguais, podemos utilizar o método da bissetriz, que consiste em dividir um ângulo em duas partes congruentes.

Circunferência e divisão por potências de base 2

Dividindo a circunferência, que corresponde a 360 graus sempre pela metade, obtem-se partes cuja sequência são formadas potências de base 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...

As divisões sucessivas de uma circunferência por potências de base 2 têm como resultados partes cujos números são inteiros ao passo que a divisões em graus a partir de 16 partes, os números em graus são decimais.

Divisão de circunferência
por partes (potências)
de base 2
           
    Partes      
360 : 2 = 180 graus
360 : 4 = 90 graus
360 : 8 = 45 graus
360 : 16 = 22,5 graus
           
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Circunferência e divisão por múltiplos de 3

Dividindo a circunferência, começando por 3 partes e dobrando-se os resultados, obtem-se a progressão geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, ... de razão 2:

As divisões sucessivas de uma circunferência por múltiplos de 3, de razão 2, têm como resultados partes cujos números são inteiros ao passo que a divisões em graus a partir de 48 partes, os números em graus são decimais.

Divisão de circunferência
por múltiplos de 3
           
    Partes      
360 : 3 = 120 graus
360 : 6 = 60 graus
360 : 12 = 30 graus
360 : 24 = 15 graus
360 : 48 = 7,5 graus
           
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A multiplicação do número 3 por potências de base 2 têm como produtos quantidades de divisões da circunferência por múltiplos de 3 de razão 2.

3 x 1 = 3

3 x 2 = 6

3 x 4 = 12

e assim sucessivamente.

Circunferência e divisão por múltiplos de 5

Dividindo a circunferência, começando por 5 partes e dobrando-se os resultados, obtem-se a progressão geométrica: 5, 10, 20, 40, 80, ... de razão 2:

As divisões sucessivas de uma circunferência por múltiplos de 5, de razão 2, têm como resultados partes cujos números são inteiros ao passo que a divisões em graus a partir de 80 partes, os números em graus são decimais.

Divisão de circunferência
por múltiplos de 5
           
    Partes      
360 : 5 = 72 graus
360 : 10 = 36 graus
360 : 20 = 18 graus
360 : 40 = 9 graus
360 : 80 = 4,5 graus
           
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A multiplicação do número 5 por potências de base 2 têm como produtos quantidades de divisões da circunferência por múltiplos de 5 de razão 2.

5 x 1 = 5

5 x 2 = 10

5 x 4 = 20

e assim sucessivamente.

Circunferência e divisão por múltiplos de 9

Dividindo a circunferência, começando por 9 partes e dobrando-se os resultados, obtem-se a progressão geométrica: 9, 18, 36, 72, 144, ... de razão 2:

As divisões sucessivas de uma circunferência por múltiplos de 9, de razão 2, têm como resultados partes cujos números são inteiros ao passo que a divisões em graus a partir de 144 partes, os números em graus são decimais.

Divisão de circunferência
por múltiplos de 9
           
    Partes      
360 : 9 = 40 graus
360 : 18 = 20 graus
360 : 36 = 10 graus
360 : 72 = 5 graus
360 : 144 = 2,5 graus
           
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A multiplicação do número 9 por potências de base 2 têm como produtos quantidades de divisões da circunferência por múltiplos de 9 de razão 2.

9 x 1 = 9

9 x 2 = 18

9 x 4 = 36

e assim sucessivamente.

Circunferência e divisão por múltiplos de 15

Dividindo a circunferência, começando por 15 partes e dobrando-se os resultados, obtem-se a progressão geométrica: 15, 30, 60, 120, 240, ... de razão 2:

As divisões sucessivas de uma circunferência por múltiplos de 15, de razão 2, têm como resultados partes cujos números são inteiros ao passo que a divisões em graus a partir de 240 partes, os números em graus são decimais.

Divisão de circunferência
por múltiplos de 15
           
    Partes      
360 : 15 = 24 graus
360 : 30 = 12 graus
360 : 60 = 6 graus
360 : 120 = 3 graus
360 : 240 = 1,5 graus
           
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A multiplicação do número 15 por potências de base 2 têm como produtos quantidades de divisões da circunferência por múltiplos de 15 de razão 2.

15 x 1 = 15

15 x 2 = 30

15 x 4 = 60

e assim sucessivamente.

Autor: Ricardo Silva - outubro/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] "https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi&oldid=62161875"

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