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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

É possível alinhar circunferência em um plano com régua e compasso ? - 348

Pesquisando e estudando tópicos sobre relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência em livros, apostilas, vídeo-aulas bem como em WebSites notei que diversos são os exemplos e exercicíos que procuram demonstrar como encontrar medidas de raios, diâmetros ou lados de triângulos retângulos inscritos ou circunscritos em circunferências ou circunferências inscritas ou circunscritas em triângulos.

Os exemplos e exercícios em questão fazem demonstrações com triângulos retângulos pitagóricos "prontos", isto é, tem-se um triângulo inscrito ou circunscrito em circunferência ou circunferência inscrita ou circunscrita em um triângulo.

Até o presente momento não encontrei um só tópico que discorresse de como alinhar circunferência em um plano e posteriormente inscrever ou circunscrever polígonos sejam regulares ou irregulares com instrumentos: régua e compasso.

Neste estudo são apresentados métodos "experimentais" de como se tentar alinhar circunferência em um plano e acredito ser um tópico que possa ser acrescentado a Geometria e assim ser também estudado por profissionais e professoes da área de exatas, bem como, por estudantes e entusiastas matemáticos, etc.

Circunferência centralizada em um plano

Executando-se desenho de circunferência com o uso somente de régua e compasso numa folha de papel, por exemplo, formato A4, cujas medidas são 210 mm x 297 mm, podemos utilizar métodos geométricos clássicos para centralizar desenho:

a) traça-se duas linhas diagonais e na intersecção destas, coloca-se a ponta seca do compasso e desenha-se a circunferência;

b) as diagonais formam retas concorrentes obliquas, isto porque a base é retangular;

c) traçando-se as bissetrizes dos ângulos agudos, linha laranja, obtem-se o diâmetro e consequentemente a circunferência pararela ao plano.

circunferencia centralizada por diagonais

d) traça-se duas retas perpendiculares a partir dos pontos médio das laterais da folha de papel e na intersecção destas, coloca-se a ponta seca do compasso e desenha-se a circunferência, desta forma, o diâmetro também fica paralelo ao plano.

circunferencia centralizada por retas perpendiculares

e) sendo o suporte de desenho em formato quadrado, traça-se duas retas perpendiculares "inclinadas" e as bissetrizes horizontais, obtendo se assim o seguimento laranja e consequentemente o diâmetro paralelo ao plano.

circunferência centralizada por retas perpendiculares inclinadas

Circunferência e o método das retas perpendiculares

O método de desenho de circunferência com uso de retas perpendiculares auxiliares conforme Fig. 348-02 apresenta-se bastante vantajoso, pois automaticamente, a circunferência passa a ser dividida em duas semi-circunferências, isto é, em duas partes de 180 graus e também em 4 partes de 90 graus cada uma.

A partir das intersecções entre as retas perpendiculares e a circunferência, ao traçarmos bissetrizes, podemos fazer sucessivas divisões cujas partes são potências de base 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64,...

Outro aspecto muito importante dessa construção com auxílio de retas perpendiculares é que qualquer figura que façamos, seja ela inscrita ou circunscrita na circunferência, ela estará alinhada horizontal e verticamente ao suporte que está sendo desenhado, neste exemplo, uma folha de papel.

Circunferências e polígonos regulares de lados pares inscritos e circunscritos

Polígonos regulares de lados pares inscritos e circunscritos em circunfêrencias apresentam um padrão em suas construções geométricas: dois dos vértices dos polígonos se alinham a linha perpendicular vertical.

poligonos regulares de lados pares

Circunferências e polígonos regulares de lados ímpares inscritos e circunscritos

Polígonos regulares de lados ímpares inscritos ou circunscritos em circunfêrencias apresentam um padrão em suas construções geométricas: os lados que formam as base ficam alinhados na parte inferior da linha perpendicular vertical enquanto um dos vértices alinhados à parte superior.

poligonos regulares de lados ímpares

Circunferência dividida em 6 partes

Com o uso de retas perpendiculares, pode-se dividir a circunferência em partes cujas quantidades são múltiplos de 3: 3, 6, 12, 24, 48,... e assim sucessivamente.

No exemplo, circunferência dividida em 6 partes e que se seguiu as seguintes etapas:

a) na intersecção com a circunferência (laranja) e a linha vertical, marcou-se os pontos em (vermelho);

b) desenhou-se circunferências com centro nos pontos (vermelho) de mesmo diâmetro da circunferência (laranja);

c) nas intersecções das circunferências com a circunferência (laranja) marcou-se os pontos em (azul);

d) a partir dos pontos em (azul), desenhou-se novas circunferências.

Podemos continuar o processo, marcar novas bissetrizes e nas intersecções dos pontos em (verde) desenhar também novas circunferências, bem como obter novas divisões e ângulos.

circunferencia dividida em 6 partes

Circunferência dividida em 3 partes

No exemplo, circunferência dividida em 3 partes com triângulo equilátero inscrito na cor (magenta), construída a partir da circunferência dividida em 6 partes.

circunferencia-dividida-em-3-partes

Circunferências desenhadas num plano

Podemos desenhar circunferências de variados comprimentos de raios ou diâmetros utilizando:

a) compasso;

b) objetos circulares como tampas, discos, etc. e os contornando;

c) linhas, barbantes ou cordas cujas pontas tenham objetos amarrados e que possar servir para riscar ou demarcar a própria circunferência.

O questionamento que se faz, é o seguinte: como fazer com que uma circunferência fique alinhada horizontalmente ou verticamente ao plano a partir da própria circunferência?

Circunferências desenhadas num plano

Circunferência dividida em ângulos de 90 graus

Seja uma circunferência traçada na intersecção de duas retas perpendiculares formando um "xis", neste caso, o suporte, tem que ser formato quadrado.

Traçando-se a bissetriz do ângulo AÔB, alinhamos a circunferência ao plano, isto é, o seguimento de reta que está dividindo o ângulo AÔB em duas partes iguais está paralelo às linhas horizontal superior e inferior do plano.

circunferência divisao angulo de 90 graus

Circunferência e divisões sucessivas de um ângulo de 90 graus

Etapa 1)

Determinando o centro de uma circunferência

Seja uma circunferência de raio ou diâmetro qualquer.

Marcam-se 3 pontos aleatórios sobre a circunferência e posteriormente traçamos as mediatrizes r e s dos seguimentos AB e BC.

Na intersecção das duas mediatrizes, o ponto O, é centro da circunferência.

determinando centro de uma circunferencia

Etapa 2)

Determinando retas perpendiculates em uma circunferência

Prolonga-se o seguimento s até a circunferência, formando se assim o diâmetro.

Traça-se a mediatriz t do seguimento DE e posteriormente os pontos FG, formando-se assim as retas perpendiculares.

A circunferência fica dividida em 4 partes de 90 graus.

determinando retas perpendiculates em uma circunferencia

 

Determinando bissetriz do ângulo de 90 graus

1a divisão

Traça-se a mediatriz u do ângulo EG.

O ângulo EG de 90 graus fica dividido em 2 ângulos de 45 graus.

bissetriz do angulo 90 graus

Determinando bissetriz do ângulo de 45 graus

2a divisão

Traça-se a mediatriz v do seguimento GH.

O ângulo EG de 45 graus fica dividido em 2 ângulos de 22,5 graus.

bissetriz do angulo 45-graus

 

Determinando bissetriz do ângulo de 22,5 graus

3a divisão

Traça-se a mediatriz x do seguimento GI.

O ângulo GI de 22,5 graus fica dividido em 2 ângulos de 11,25 graus.

bissetriz do angulo 22,5 graus

Determinando bissetriz do ângulo de 11,25 graus

4a divisão

Traça-se a mediatriz y do seguimento IJ.

O ângulo GI de 11,25 graus fica dividido em 2 ângulos de 5,625 graus.

bissetriz do angulo 11,25 graus

Determinando bissetriz do ângulo de 5,625 graus

5a divisão

Traça-se a mediatriz z do seguimento JK.

O ângulo JK de 5,625 graus fica dividido em 2 ângulos de 2,8125 graus.

Nesta divisão, a mediatriz z se encontra perto do seguimento de reta de cor (azul) que passa pelo centro da circuferência.

bissetriz do angulo 5,625 graus

Continuando as divisões dos ângulos seguintes:

6a divisão

2,8125 : 2 = 1,40625 graus.

7a divisão

1,40625 : 2 = 0,703125 graus.

8a divisão

0,703125 : 2 = 0,3515625 graus (aproximadamente 1/2 grau)

9a divisão

0,3515625 : 2 = 0,17578125 graus.

10a divisão

0,17578125 : 2 = 0,087890625 graus.

Será que encontraremos a medida de 0 grau absoluto na circunferência?

Como podemos perceber, o alinhamento do diâmetro da circunferência num plano são aproximações e não 0 (zero) absoluto.

Outro questionamento que se faz é: quando três pontos marcados aleatoriamente numa circunferência e seguindo estas etapas de divisões sucessivas de um ângulo, conseguir-se-á alinhar uma circunferência num plano com régua e compasso.

Divisores de 360 e divisão de circunferências em partes iguais

O número 360 é um número composto e seus divisores são:

D(360): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360)

Dividindo-se 360 pelos divisores: 2, 3, 5, 9 e 15 e alguns múltiplos desses divisores, em determinado momento o quociente tem como resultado um número decimal, não sendo possível ter resultado de 0 (zero) grau nas sucessivas divisões.

Circunferência e divisão por potências de base 2

Dividindo-se a circunferência a partir de duas partes e continuarmos sucessivamente as divisões, as partes subsequentes serão potências de base 2:

Divisão de circunferência
por partes (potências)
de base 2
           
    Partes      
360 : 2 = 180 graus
360 : 4 = 90 graus
360 : 8 = 45 graus
360 : 16 = 22,5 graus
           
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Circunferência e divisão múltiplos de 3

Dividindo-se a circunferência a partir de 3 partes e continuarmos sucessivamente as divisões, as partes subsequentes serão múltiplos de 3:

Divisão de circunferência
por múltiplos de 3
           
    Partes      
360 : 3 = 120 graus
360 : 6 = 60 graus
360 : 12 = 30 graus
360 : 24 = 15 graus
360 : 48 = 7,5 graus
           
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Circunferência e divisão múltiplos de 5

Dividindo-se a circunferência a partir de 5 partes e continuarmos sucessivamente as divisões, a partes subsequentes serão múltiplos de 5:

Divisão de circunferência
por múltiplos de 5
           
    Partes      
360 : 5 = 72 graus
360 : 10 = 36 graus
360 : 20 = 18 graus
360 : 40 = 9 graus
360 : 80 = 4,5 graus
           
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Circunferência e divisão múltiplos de 9

Dividindo-se a circunferência a partir de 9 partes e continuarmos sucessivamente as divisões, a partes subsequentes serão múltiplos de 9:

Divisão de circunferência
por múltiplos de 9
           
    Partes      
360 : 9 = 40 graus
360 : 18 = 20 graus
360 : 36 = 10 graus
360 : 72 = 5 graus
360 : 144 = 2,5 graus
           
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Circunferência e divisão múltiplos de 15

Dividindo-se a circunferência a partir de 15 partes e continuarmos sucessivamente as divisões, a partes subsequentes serão múltiplos de 15:

Divisão de circunferência
por múltiplos de 15
           
    Partes      
360 : 15 = 24 graus
360 : 30 = 12 graus
360 : 60 = 6 graus
360 : 120 = 3 graus
360 : 240 = 1,5 graus
           
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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