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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo Pitagórico e circunferência inscrita - 293

Três são os pontos notáveis em um triângulo retângulo:

Ortocentro,

Incentro e

Baricentro.

Incentro de um triângulo é o ponto onde as três bissetrizes se cruzam e que também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice, dividindo o ângulo interno em duas partes, até o lado oposto desse vértice.

Todo triângulo possuem três bissetrizes que se cruzam em um mesmo ponto, chamado de Incentro.

triângulo pitagórico e incentro

Triângulos Retângulos Pitagóricos são triângulos retângulos formados por conjuntos de três números inteiros que possuem relação com o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c², os quais são denominados de Ternos Pitagóricos.

A circunferência inscrita em um Triângulo Retângulo Pitagórico também possui uma propriedade especial, pois tanto o seu raio quanto o seu diâmetro são constituídos por números inteiros e que também tem relação com o terno pitagórico que forma o respectivo triângulo retângulo.

Triângulo Pitagórico e Ternos Pitagóricos

A tabela abaixo apresenta os 15 primeros Ternos Pitagóricos gerados por meio das Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Observação importante:

As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.

As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.

Exemplos de Ternos Pitagóricos derivados do terno 3 - 4 - 5:

6 - 8 - 10;

12 - 16 - 20;

24 - 32 - 40...

Os ternos pitagóricos em destaque (cor amarelo) são Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular que são a base de estudos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.

Com ternos pitagóricos são possíveis de se contruirem infinitos triângulo retângulos de lados com números inteiros.

Posições de Ternos Pitagóricos
       
posição/      
ordem Ternos Pitagóricos
       
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Triângulo Pitagórico 3-4-5 e derivados

A tabela abaixo apresenta o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 e os seus 3 primeros ternos pitagóricos derivados.

O fator de multiplicação é ao mesmo tempo um potência de base 2 que multiplicados por 3-4-5 geram ternos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro do terno primitivo.

Esses fatores são os elementos que determinam também as medidas dos raios e diâmetros nas circunferências inscritas em triângulos retângulos pitagóricos.

Terno Pitagórico 3-4-5
e derivados
       
fator catetos  
multiplicação menor maior hipotenusa
       
potências      
de base 2      
       
1 3 4 5
2 6 8 10
4 12 16 20
8 24 32 40
       
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Conforme a Figura 293-02, observa-se que as medidas dos raios e diâmetros das circunferências inscritas nos triângulos pitagóricos derivados do terno 3-4-5 apresentam correspondências com cada fator de multiplicação pois:

a) as medidas dos raios são potências de base 2;

b) os diâmetros são os dobros de potências de base 2.

Outra regularidade é que os diâmetros são as metades das medidas dos catetos maiores.

triângulos pitagóricos e cincunferências inscritas

Triângulo Pitagórico 5-12-13

A tabela abaixo apresenta os 5 primeiros Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular.

Ternos Pitagóricos
de ordem Triangular
     
posição/ catetos  
ordem menor maior hipotenusa
       
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
       
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O segundo terno pitagórico primitivo é 5-12-13.

A sua posição/ordem é de número 2.

A medida do raio da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 2.

A medida do diâmentro da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 4.

triângulo pitagórico 5-12-13 e circunferência inscrita

Triângulo Pitagórico 7-24-25

O terceiro terno pitagórico primitivo é 7-24-25.

A sua posição/ordem é número 3.

A medida do raio da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 7-24-25 é 3.

A medida do diâmentro da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 6.

triângulo pitagórico 7-24-25 e circunferência inscrita

 

Autor: Ricardo Silva - outubro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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