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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulos Pitagóricos Derivados e cálculos numéricos - 288

Triângulos Pitágóricos são triângulos que têm seus lados números inteiros, isto é, ternos pitagóricos e que se relacionam com o Teorema de Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras afirma que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos: a²=b²+c².

Triângulos Pitagóricos Derivados Triangulares são triângulos retângulos cujos lados são formados também por ternos pitagóricos que são o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.

Entre os metódos para se gerarem ternos pitagóricos está o de Euclides de Alexandria:

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/ wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

Observação importante:

As Fórmulas de Euclides geram ternos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro, do dobro,... e assim sucessivamente de ternos primitivos.

As Fórmulas de Euclides não geram ternos derivados ímpares, fato constatado em construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Triângulos Pitagóricos Derivados Triangulares, assim denominados neste estudo, são sequências de triângulos retângulos formados somente por ternos pitagóricos derivados de outros Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular os quais possuem um detalhe especial quando na resolução de cálculos relacionados à hipotenusa.

A posição/ordem com que os Ternos Pitagóricos Derivados aparecem está relacionada às potências de base 2 e é um dos elementos na resolução da medida da hipotenusa, como serão demonstrados a seguir.

Ternos Pitagóricos e números triangulares

A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides e entre eles, os destacados na cor amarelo, que são os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular e com os quais também se podem formarem Triângulos Pitagóricos Derivados de Ordem Triangular.

Ternos Pitagóricos de Ordem Triangular ocupam posições/ordens de números triangulares.

1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.

Ternos Pitagóricos
e números triangulares
       
posição/ Ternos
ordem Pitagóricos
   
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Ternos Pitagóricos Derivados do terno 3-4-5

A seguinte tabela apresenta os 3 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 3-4-5 (cor amarelo).

Os Ternos Pitagóricos Derivados Triangular estão na cor laranja.

A partir do terno 3-4-5, os ternos derivados são o dobro, do dobro, do antecessor:

3-4-5

6-8-10

12-16-20

24-32-40

Terno Pitagórico 3-4-5
e ternos derivados
       
posição/ Ternos
ordem Pitagóricos
   
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Elaborando-se uma nova tabela somente com os ternos pitagóricos derivados do terno 3-4-5 e alocando-os em relação aos lados de um triângulo retângulo, obtem-se uma nova ordem para os mesmos.

Esta nova ordem que está relacionada às potências de base 2 é um dos elementos que serão utilizados em cálculos para se determinar a hipotenusa em um Triângulo Pitagórico Derivado Triangular.

Ternos Pitagóricos Derivados Triangular derivados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular possui todos termos pares (cor laranja).

Multiplicando cada um dos termos do terno 3-4-5 por potências de base 2 obtêm-se também os seus ternos derivados.

Os ternos derivados são o dobro do anterior, o dobro do dobro do anterior, o dobro do dobro do dobro do anterior e assim sucessivamente.

Terno Pitagórico 3-4-5
e derivados
           
fator catetos   soma produto
multiplicação menor maior hipotenusa lados catetos
           
potências          
de base 2          
           
1 3 4 5 12 12
2 6 8 10 24 48
4 12 16 20 48 192
8 24 32 40 96 768
           
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Triângulo Pitagórico 6-8-10 e cálculo do cateto menor

trângulo pitagórico derivado 6-8-10
Terno Pitagórico 6-8-10
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
2 6 8 10 24 48

Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 8 unidades e a hipotenusa 10 unidades. Qual é a medida do cateto menor?

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

10 - 8 = 2

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

10 + 8 = 18

c) multiplica-se a diferença e a soma;

2 x 18 = 36

d) extrai-se a raiz quadrada;

√36 = 6

Solução: 6 é a medida do cateto menor.

Triângulo Pitagórico 6-8-10 e cálculo do cateto maior

Terno Pitagórico 6-8-10
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
2 6 8 10 24 48

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 6 unidades e a hipotenusa 10 unidades. Qual é a medida do cateto maior?

Método 1

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

10 - 6 = 4

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

10 + 6 = 16

c) multiplica-se a diferença e a soma;

4 x 16 = 64

d) extrai-se a raiz quadrada;

√64 = 8

Solução: 8 é a medida do cateto maior.

Método 2

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

10 - 6 = 4

extrai-se a raiz quadrada;

√4 = 2

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

10 + 6 = 16

extrai-se a raiz quadrada;

√16 = 4

c) multiplica-se as raízes;

2 x 4 = 8

Solução: 8 é a medida do cateto maior.

Triângulo Pitagórico 6-8-10 e cálculo hipotenusa

Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.

Acredito ser este algorítmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.

Terno Pitagórico 6-8-10
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
2 6 8 10 24 48

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 6 unidades e o cateto maior 8 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?

a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;

6 + 8 = 14

b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;

6 x 8 = 48

c) dividi-se o produto dos catetos pela potência de base 2, neste caso é o número 2;

48 : 2 = 24

a somados lados do triângulo é 1/2 do produto dos catetos

d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;

24 - 14 = 10

Solução: 10 é a medida da hipotenusa.

Triângulo Pitagórico 12-16-20 e cálculo do cateto menor

Terno Pitagórico 12-16-20
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
4 12 16 20 48 192

Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 16 unidades e a hipotenusa 20 unidades. Qual é a medida do cateto menor?

Método 1

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

20 - 16 = 4

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

20 + 16 = 36

c) multiplica-se a diferença e a soma;

4 x 36 = 144

d) extrai-se a raiz quadrada;

√144 = 12

Solução: 12 é a medida do cateto menor.

Método 2

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

20 - 16 = 4

extrai-se a raiz quadrada;

√4 = 2

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

20 + 16 = 36

extrai-se a raiz quadrada;

√36 = 6

c) multiplica-se as raízes;

2 x 6 = 12

Solução: 12 é a medida do cateto menor.

Triângulo Pitagórico 12-16-20 e cálculo do cateto maior

Terno Pitagórico 12-16-20
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
4 12 16 20 48 192

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 12 unidades e a hipotenusa 20 unidades. Qual é a medida do cateto maior?

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

20 - 12 = 8

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

12 + 20 = 32

c) multiplica-se a diferença e a soma;

8 x 32 = 256

d) extrai-se a raiz quadrada;

√256 = 16

Solução: 16 é a medida do cateto maior.

Triângulo Pitagórico 12-16-20 e cálculo hipotenusa

Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.

Acredito ser este algorítmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.

Terno Pitagórico 12-16-20
           
fator catetos hipotenusa soma produto
multiplicação menor maior   dos lados catetos
           
potência          
de base 2          
           
4 12 16 20 48 192

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 12 unidades e o cateto maior 16 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?

a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;

12 + 16 = 28

b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior ;

12 x 16 = 192

c) dividi-se o produto dos catetos pela potência de base 2, que neste caso é o número 4;

192 : 4 = 48

a somados lados do triângulo é 1/4 do produto dos catetos

d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;

48 - 28 = 20

Solução: 20 é a medida da hipotenusa.

Desafio ao visitante

O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.

 

Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:

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011-estudos-288-triangulos-pitagoricos-derivados-calculos-numericos

 

011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos

 

sobre resoluções de triângulos pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Bloomington, Indiana, EUA, 2008: AuthorHouse

Canal YouTube - Matemática com Professor Márcio Barbosa - Vídeo: - Geometria Teorema de Pitágoras

Canal YouTube - Matematécnica para Concursos - Vídeo: Pitágoras - descobrir um cateto em 10 segundo saiba como?

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