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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulos Pitagóricos e cálculos de catetos e hipotenusa - 286

A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa.”

Johannes Kepler- Astrônomo e matemático alemão

Há uma outra famosa frase que diz "Todos os caminhos levam a Roma" a qual podemos refletir de várias maneiras, por exemplo, se temos alguma problema, quantas são as soluções para poder resolvê-lo.

triângulo pitagórico e cálculos de cateto e hipotenusa

Nos livros de matemática do ensino médio, na parte de geometria, onde envolve problemas relacionados à sólidos geométricos, polígonos, circunferências, etc., o Teorema de Pitágoras e a Trigonometria são as fórmulas ensinadas para resolvê-los.

Os estudos, as matérias, bem como os livros digitais divulgados aqui no WebSite Os Fántasticos Números Primos são frutos de curiosidades que despertaram em mim após ter lido o artigo do Professor Luiz Barco "A Inesgotável Fonte dos Números Primos" na Revista Superinteressante.

Na resolução de cálculos envolvendo triângulo retângulo, diagonal do quadrado, diagonal do retângulo encontrei "outros caminhos", isto é, novas fórmulas variantes do Teorema de Pitágoras que estão publicados no livro digital O Triângulo Retângulo que está disponível para download gratuito aqui no WebSite - Seções: Livros e Pedido - veja também matérias relacionadas.

Há alguns anos atrás, tive a o oportunidade de assistir a palestra ao ar livre, perto do Metrô Barra Funda - São Paulo, do Professor Márcio Barbosa, onde apresentava diversas técnicas rápidas de cálculos aritméticos e algébricos.

No seu canal no You Tube - Matemática com o Professor Márcio Barbosa, o professor apresenta um vídeo como resolver cálculos envolvendo medidas dos lados de um triângulo sem Teorema de Pitágoras.

Recentemente, no Canal Matematécnica Para Concursos, vi demonstrações de como determinar medidas de catetos sem utilização do Teorema de Pitágoras semelhantes às do Professor Márcio Barbosa.

Realmente as técnicas demonstradas são de fáceis aplicações em triângulo retângulo, ai me perguntei, e como calcular a hipotenusa sem o Teorema de Pitágoras utilizando apenas cálculos aritméticos, será que é possível?

No livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas demonstra que cada Terno Pitagórico Primitivo gerado pelas Fórmulas de Euclides está relacionado com números triangulares, isto é, a posição/ordem de um Terno Pitagórico Primitivo é um número triangular.

Analisando as técnicas utilizadas dos referidos professores acima com os estudos do livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, tive uma grande surpresa, de que cálculos numéricos envolvendo as medidas dos lados de triângulo retângulo formados por Ternos Pitagóricos possuem também padrões e regularidades com a sequência de números triangulares com as quais é possível determinar a medida da hipotenusa.

Ternos Pitagóricos e números triangulares

A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos e entre eles, os destacados na cor amarelo, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.

Ternos Pitagóricos de Ordem Triangular são de posições de números triangulares.

1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.

Ternos Pitagóricos
e números triangulares
       
posição/ Ternos
ordem Pitagóricos
   
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular

Elaborando-se uma nova tabela somente com os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular, obtem-se uma nova ordem para os mesmos.

Esta nova ordem é um dos elementos que serão utilizados em cálculos para se determinar a hipotenusa em um Triângulo Pitagórico.

Ternos Pitagóricos
de ordem Triangular
           
posição/ catetos   soma produto
ordem menor maior hipotenusa lados catetos
           
1 3 4 5 12 12
2 5 12 13 30 60
3 7 24 25 56 168
4 9 40 41 90 360
5 11 60 61 132 660
           
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Triângulo Pitagórico 3-4-5 e cálculo do cateto menor

Terno Pitagórico 3-4-5
           
ordem/ catetos hipotenusa soma produto
posição menor maior   dos lados catetos
           
1 3 4 5 12 12

Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 4 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto menor?

Método 1

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

5 - 4 = 1

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

5 + 4 = 9

c) multiplica-se a diferença e a soma;

1 x 9 = 9

d) extrai-se a raiz quadrada;

√9 = 3

Solução: 3 é a medida do cateto menor.

Método 2

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

5 - 4 = 1

extrai-se a raiz quadrada;

√1 = 1

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

5 + 4 = 9

extrai-se a raiz quadrada;

√9 = 3

c) multiplica-se a diferença e a soma;

1 x 3 = 3

Solução: 3 é a medida do cateto menor.

Triângulo Pitagórico 3-4-5 e cálculo do cateto maior

Terno Pitagórico 3-4-5
           
ordem/ catetos hipotenusa soma produto
posição menor maior   dos lados catetos
           
1 3 4 5 12 12

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto maior?

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

5 - 3 = 2

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

5 + 3 = 8

c) multiplica-se a diferença e a soma;

1 x 8 = 16

d) extrai-se a raiz quadrada;

√16 = 4

Solução: 4 é a medida do cateto menor.

Triângulo Pitagórico 3-4-5 e cálculo da hipotenusa

Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.

Acredito ser este algorítmo inédito, pois até momento, não se verificou matérias semelhantes publicadas em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.

Terno Pitagórico 3-4-5
           
ordem/ catetos hipotenusa soma produto
posição menor maior   dos lados catetos
           
1 3 4 5 12 12

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e o cateto maior 4 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?

a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;

3 + 4 = 7

b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;

3 + 4 = 12

c) dividi-se o produto dos catetos pela nova ordem do terno pitagórico 3-4-5, neste caso é o número 1;

12 : 1 = 12

a soma dos lados do triângulo, neste caso é igual ao produto dos catetos.

d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;

12 - 7 = 5

Solução: 5 é a medida da hipotenusa.

Desafio ao visitante

O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.

 

Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br,

você receberá como cortesia:

O livro digital OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS

 

Veja a matérias:

011-estudos-286-triangulo-pitagorico-calculos-de-catetos-hipotenusa

 

011-estudos-287-triangulos-pitagoricos-primitivos-calculos-numericos

 

011-estudos-288-triangulos-pitagoricos-derivados-calculos-numericos

 

011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos

 

sobre resoluções de triângulos pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Bloomington, Indiana, EUA, 2008: AuthorHouse

Canal YouTube - Matemática com Professor Márcio Barbosa - Vídeo: - Geometria Teorema de Pitágoras

Canal YouTube - Matematécnica para Concursos - Vídeo: Pitágoras - descobrir um cateto em 10 segundo saiba como?

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Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas
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