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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e números triangulares - 285

Ternos Pitagóricos apresentam diversos padrões e propriedades numéricas, umas das principais propriedades é que eles são estritamente relacionados com o Teorema de Pitágoras.

Terno Pitagórico, também denominado de Tripla Pitagórica, Trinca Pitagórica é uma sequência de três números inteiros com os quais são possíveis de se construirem triângulos retângulos e que também os seus respectivos quadrados são números inteiros, isto é, não são números decimais e nem números irracionais.

Nos estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas é demonstrado que Ternos Pitagóricos Primitivos se relacionam com a sequência de números triangulares, isto é, cada Terno Pitagórico Primitivo tem a sua posição/ordem um número triangular sendo classificados das seguintes formas:

Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular

Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem não triangular

Ternos Pitagóricos Derivados - triangular

Ternos Pitagóricos Derivados - não triangular

Ternos Pitagóricos Primitivos Raros

Ternos Pitagóricos e Fórmulas de Euclides

A tabela abaixo apresenta os 15 primeros Ternos Pitagóricos gerados por meio das Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Observação importante:

As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.

As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.

Exemplos de Ternos Pitagóricos derivados do terno 3 - 4 - 5:

6 - 8 - 10;

12 - 16 - 20;

24 - 32 - 40...

Observando cada sequência numérica em cada linha, num primeiro momento, umas parecem organizadas, outras desorganizadas, umas têm certa lógica de construção, outras não, mas estas observações são apenas aparentes, pois os ternos pitagóricos se relacionam com várias outras sequências numéricas.

3 4 5
8 6 10
5 12 13
15 8 17
12 16 20
7 24 25
24 10 26
21 20 29
16 30 34
9 40 41
35 12 37
32 24 40
27 36 45
20 48 52
11 60 61

Ternos Pitagóricos e posição/ordem

Númerando as sequências de Ternos Pitagóricos na ordem com que elas são geradas e destacando-as conforme características comuns: impar, par, ímpar e cujo primeiro termo é um número ímpar e o segundo e terceiro termos somados é um quadrado perfeito, percebe-se que suas posicões/ordens correspondem a números triangulares.

1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.

O intervalo entre um Terno Pitagórico Primitivo e outro ocorre a sequência de números naturais:

a) entre os ternos 3-4-5 e 5-12-13 há 1 intervalo;

b) entre os ternos 5-12-13 e 7-24-25 há 2 intervalos e assim sucessivamente.

Posições de Ternos Pitagóricos
       
posição/      
ordem Ternos Pitagóricos
       
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Ternos Pitagóricos e soma dos seus termos

A soma de cada Terno Pitagórico Primitivo tem como resultado um número oblongo.

Números oblongos, também denominados de números retângulares, são números que são produtos de dois números consecutivos.

Números oblongos são números que são o dobro de um número triangular.

Dividindo-se um número oblongo (número retângular) por 2, obtem-se um número triangular.

12 : 2 = 6

30 : 2 = 15

56 : 2 = 28

90 : 2 = 45

132 : 2 = 66

6, 15, 28, 45, 66,... são números triangulares.

Ternos Pitagóricos
e números oblongos
         
        números
        oblongos
posição/    
ordem Ternos Pitagóricos soma
         
1 3 4 5 12
2 8 6 10  
3 5 12 13 30
4 15 8 17  
5 12 16 20  
6 7 24 25 56
7 24 10 26  
8 21 20 29  
9 16 30 34  
10 9 40 41 90
11 35 12 37  
12 32 24 40  
13 27 36 45  
14 20 48 52  
15 11 60 61 132
         
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Ternos Pitagóricos e produto do primeiro termo com um consecutivo

O produto do primeiro termo de um Terno Pitagórico Primitivo com o seu consecutivo tem como resultado o número oblongo que também é a soma dos termos desse mesmo terno pitagórico.

Somas de Sequências de Ternos Pitagóricos
           
          número
          oblongo
posição/          
  Ternos números produto/
ordem Pitagóricos consecutivos soma
       
1 3 4 5 3 x 4 = 12
2 8 6 10    
3 5 12 13 5 x 6 = 30
4 15 8 17    
5 12 16 20    
6 7 24 25 7 x 8 = 56
7 24 10 26    
8 21 20 29    
9 16 30 34    
10 9 40 41 9 x 10 = 90
11 35 12 37    
12 32 24 40    
13 27 36 45    
14 20 48 52    
15 11 60 61 11 x 12 = 132
           
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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