Triângulos Pitágóricos são triângulos cujos lados (catetos e hipotenusa) possuem números inteiros e que tem relação com o Teorema de Pitágoras o qual apresenta o seguinte enunciado: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos: a²=b²+c².
Ternos Pitagóricos são sequências de três números inteiros.
Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Observação importante:
As Fórmulas de Euclides geram ternos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro, do dobro,... e assim sucessivamente de ternos primitivos.
As Fórmulas de Euclides não geram ternos derivados ímpares, fato constatado em construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.
Triângulos Pitagóricos Primitivos, assim denominados neste estudo, são sequências de triângulos retângulos formados somente por Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular os quais possuem um detalhe especial quando na resolução de cálculos relacionados à hipotenusa, a ordem / posição com eles aparecem somente na sequência de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular é um dos elementos na resolução da medida da hipotenusa, como serão demonstrados a seguir.
A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides e entre eles, os destacados na cor amarelo, que são os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular e com os quais também podem formar Triângulos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.
Ternos Pitagóricos de Ordem Triangular são de ordens / posições de números triangulares.
1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.
| Ternos Pitagóricos | |||
|---|---|---|---|
| e números triangulares | |||
| posição/ | Ternos | ||
| ordem | Pitagóricos | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 11 | 60 | 61 |
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Elaborando-se uma nova tabela somente com os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular, obtem-se uma nova ordem para os mesmos.
Esta nova ordem é um dos elementos que serão utilizados em cálculos para se determinar a hipotenusa em um Triângulo Pitagórico Primitivo.
Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular possui um padrão em sua formação:
a) ímpar - par - ímpar
b) o primeiro termo é um número ímpar;
c) o segundo e terceiro termos somados é o quadrado perfeito do primeiro termo;
d) os primeiros termos, a partir do número 3, formam a sequência de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11,...;
e) o segundo termo é sempre um múltiplo de 4 (produto de 4 por um número triangular).
| Ternos Pitagóricos | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| de ordem Triangular | |||||
| posição/ | catetos | soma | produto | ||
| ordem | menor | maior | hipotenusa | lados | catetos |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
| 3 | 7 | 24 | 25 | 56 | 168 |
| 4 | 9 | 40 | 41 | 90 | 360 |
| 5 | 11 | 60 | 61 | 132 | 660 |
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| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 4 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto menor?
a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;
5 - 4 = 1
b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;
5 + 4 = 9
c) multiplica-se a diferença e a soma;
1 x 9 = 9
d) extrai-se a raiz quadrada;
√9 = 3
Solução: 3 é a medida do cateto menor.
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto maior?
a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;
5 - 3 = 2
b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;
5 + 3 = 8
c) multiplica-se a diferença e a soma;
2 x 8 = 16
d) extrai-se a raiz quadrada;
√16 = 4
Solução: 4 é a medida do cateto menor.
Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.
Acredito ser este algoritmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes publicadas em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e o cateto maior 4 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?
a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;
3 + 4 = 7
b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;
3 x 4 = 12
c) dividi-se o produto dos catetos pela nova ordem do terno pitagórico 3-4-5, neste caso é o número 1;
12 : 1 = 12
d) subtrai-se a soma dos catetos da somados lados do triângulo;
12 - 7 = 5
Solução: 5 é a medida da hipotenusa.
| Terno Pitagórico 5-12-13 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 12 unidades e a hipotenusa 13 unidades. Qual é a medida do cateto menor?
a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;
13 - 12 = 1
b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;
12 + 13 = 25
c) multiplica-se a diferença e a soma;
1 x 25 = 25
d) extrai-se a raiz quadrada;
√25 = 5
Solução: 5 é a medida do cateto menor.
| Terno Pitagórico 5-12-13 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 5 unidades e a hipotenusa 13 unidades. Qual é a medida do cateto maior?
a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;
13 - 5 = 8
b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;
13 + 5 = 18
c) multiplica-se a diferença e a soma;
8 x 18 = 144
d) extrai-se a raiz quadrada;
√144 = 12
Solução: 12 é a medida do cateto maior.
Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.
Acredito ser este algorítmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes publicadas em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.
| Terno Pitagórico 5-12-13 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma | produto | |
| posição | menor | maior | dos lados | catetos | |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 5 unidades e o cateto maior 12 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?
a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;
5 + 12 = 17
b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;
5 x 12 = 60
c) dividi-se o produto dos catetos pela nova ordem do terno pitagórico 5-12-13, neste caso é o número 2;
60 : 2 = 30
A soma dos lados do triângulo é 1/2 do produto dos catetos
d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;
30 - 17 = 13
Solução: 13 é a medida da hipotenusa.
O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.
Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:
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011-estudos-286-triangulo-pitagorico-calculos-de-catetos-hipotenusa
011-estudos-287-triangulos-pitagoricos-primitivos-calculos-numericos
011-estudos-288-triangulos-pitagoricos-derivados-calculos-numericos
011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos
sobre resoluções de triângulos pitagóricos.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Bloomington, Indiana, EUA, 2008: AuthorHouse
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