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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulos Pitagóricos Primitivos não Triangulares e cálculos numéricos - 289

Triângulos Pitágóricos Primitivos não Triangulares são triângulos formados por ternos pitagóricos cujas posiçôes/ordens não são de números triangulares.

Ternos pitagóricos são sequências de três números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras:

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos: a²=b²+c².

Entre os metódos para se gerarem ternos pitagóricos está o de Euclides de Alexandria:

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/ wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

Observação importante:

As Fórmulas de Euclides geram ternos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro, do dobro,... e assim sucessivamente de ternos primitivos.

As Fórmulas de Euclides não geram ternos derivados ímpares, fato constatado em construções de Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Triângulos Pitagóricos Primitivos não Triangulares, assim denominados neste estudo, são sequências de triângulos retângulos formados por ternos pitagóricos os quais possuem um detalhe especial quando da resolução de cálculos relacionados à hipotenusa.

A posição/ordem com que o segundo termo ocupa e como é formado em relação aos outros termos do Terno Pitagórico Primitivo não Triangular é um dos elementos na resolução da medida da hipotenusa, como serão demonstrados a seguir.

triângulo pitagórico não primitivo 8-15-17

Ternos Pitagóricos e números triangulares

A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides e entre eles, os destacados na cor amarelo, que são os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular e com os quais também se podem formarem Triângulos Pitagóricos Derivados de Ordem Triangular.

Ternos Pitagóricos de Ordem Triangular ocupam posições/ordens de números triangulares.

1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.

Ternos Pitagóricos
e números triangulares
       
posição/ Ternos
ordem Pitagóricos
   
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Ternos Pitagóricos Primitivos não Triangulares

A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides e entre eles, os destacados na cor verde, que são os Ternos Pitagóricos Primitivos não Triangulares e com os quais também se podem formarem Triângulos Pitagóricos Derivados não Triangulares.

Ternos Pitagóricos Primitivos não Triangulares ocupam posições/ordens após um Terno Pitagórico Primitivo de ordem Triangular e possuem a seguinte formação:par - ímpar - ímpar e suas ocorrências são alternadas, um terno sim, outro não e assim por toda a tabela.

Ternos Pitagóricos Primitivos
não triangular
       
posição/ Ternos
ordem Pitagóricos
   
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
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Elaborando-se uma nova tabela somente com ternos pitagóricos primitivos não triangulares e alocando-os em relação aos lados de um triângulo retângulo, obtem-se uma nova ordem para os mesmos e verifica-se outras características comuns entre eles:

a) os primeiros termos são múltiplos de 4, consequentemente divisíveis de 4;

b) nos segundos e terceiros termos, não há divisores comuns para todos eles quando comparados nestes exemplos com ternos primitivos, quando comparado com seus derivados há divisor comum e isto se torna um elemento importante para se determinar medida da hipotenusa;

c) o segundo e terceiro termos diferem em duas unidades;

d) nos terceiros termos há ocorrências de números primos: 17, 37, 101,...

Terno Pitagóricos Primitivos
não triagulares
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
         
         
         
8 15 17 40 120
12 35 37 84 420
16 63 65 144 1008
20 99 101 220 1980
24 143 145 312 3432
         
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Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 8-15-17 e cálculo do cateto menor

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 8-15-17
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
8 15 17 40 120

Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 8 unidades e a hipotenusa 17 unidades. Qual é a medida do cateto menor?

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

17 - 15 = 2

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

15 + 17 = 32

c) multiplica-se a diferença e a soma;

2 x 32 = 64

d) extrai-se a raiz quadrada;

√64 = 8

Solução: 8 é a medida do cateto menor.

Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 8-15-17 e cálculo do cateto maior

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 8-15-17
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
8 15 17 40 120

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 8 unidades e a hipotenusa 17 unidades. Qual é a medida do cateto maior?

Método 1

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

17 - 8 = 9

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

17 + 8 = 25

c) multiplica-se a diferença e a soma;

9 x 25 = 225

d) extrai-se a raiz quadrada;

√225 = 15

Solução: 15 é a medida do cateto maior.

Método 2

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

17 - 8 = 9

extrai-se a raiz quadrada;

√9 = 3

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

17 + 8 = 25

extrai-se a raiz quadrada;

√25 = 5

c) multiplica-se as raízes;

3 x 5 = 15

Solução: 15 é a medida do cateto maior.

Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 8-15-17 e cálculo do cateto maior e cálculo hipotenusa

Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.

Acredito ser este algorítmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 8-15-17
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
8 15 17 40 120

Observação importante:

O cateto maior é produto de 3 x 5 = 15

O fator 3 é o número utilizado na divisão com o produto dos catetos.

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 8 unidades e o cateto maior 15 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?

a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;

8 + 15 = 23

b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;

8 x 15 = 120

c) dividi-se o produto dos catetos por 3 para se obter a soma dos lados do triângulo.

120 : 3 = 40

a soma dos lados do triângulo é 1/3 do produto dos catetos.

d) subtrai-se a soma catetos da soma dos lados dos triângulo;

40 - 23 = 17

Solução: 17 é a medida da hipotenusa.

Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 12-35-37 e cálculo do cateto menor

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 12-35-37
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
12 35 37 84 420

Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 12 unidades e a hipotenusa 37 unidades. Qual é a medida do cateto menor?

a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;

37 - 35 = 2

b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;

37 + 35 = 72

c) multiplica-se a diferença e a soma;

2 x 72 = 144

d) extrai-se a raiz quadrada;

√144 = 12

Solução: 12 é a medida do cateto menor.

Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 12-35-37 e cálculo do cateto maior

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 12-35-37
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
12 35 37 84 420

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 12 unidades e a hipotenusa 37 unidades. Qual é a medida do cateto maior?

Método 1

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

37 - 12 = 25

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

12 + 37 = 49

c) multiplica-se a diferença e a soma;

25 x 49 = 1225

d) extrai-se a raiz quadrada;

√1225 = 35

Solução: 35 é a medida do cateto maior.

Método 2

a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;

37 - 12 = 25

extrai-se a raiz quadrada;

√25 = 5

b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;

12 + 37 = 49

extrai-se a raiz quadrada;

√49 = 7

c) multiplica-se as raízes;

5 x 7 = 35

Solução: 35 é a medida do cateto maior.

 

Terno Pitagórico Primitivo não Triangular 12-35-37 e cálculo hipotenusa

Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.

Acredito ser este algorítmo inédito, pois até o momento, não se verificou matérias semelhantes em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como em alguns livros do ensino médio.

Terno Pitagórico Primitivo
não triagular 12-35-37
         
catetos   soma produto
menor maior hipotenusa lados catetos
         
12 35 37 84 420

Observação importante:

O cateto maior é produto de 5 x 7 = 35

O fator 5 é o número utilizado na divisão com o produto dos catetos.

Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 12 unidades e o cateto maior 35 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?

a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;

12 + 35 = 47

b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior ;

12 x 35 = 420

c) dividi-se o produto dos catetos por 5 para se obter a soma dos lados do triângulo.

420 : 5 = 84

a soma dos lados do triângulo é 1/5 do produto dos catetos.

d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;

84 - 47 = 37

Solução: 37 é a medida da hipotenusa.

Desafio ao visitante

O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.

 

Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:

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011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos

 

 

sobre resoluções de triângulos pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Bloomington, Indiana, EUA, 2008: AuthorHouse

Canal YouTube - Matemática com Professor Márcio Barbosa - Vídeo: - Geometria Teorema de Pitágoras

Canal YouTube - Matematécnica para Concursos - Vídeo: Pitágoras - descobrir um cateto em 10 segundo saiba como?

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