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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e Números Perfeitos - 290

Conta-se que na antiga Grécia, ao tentarem calcular o lado maior de de um triângulo retângulo isóceles de lados unitários, os pitagóricos de depararam com um grande dilema, por mais que tentassem, não conseguiram exprimí-lo como número inteiro, mas como poderia isso acontecer se num triângulo retângulo 3-4-5 conseguiam calcular o seu maior lado?

ternos pitagóricos e números perfeitos

Dizem também que deveriam guardar segredo do ocorrido fato, posteriormente o mundo ficou conhecendo um novo tipo de número, os números irracionais, também denominados de incomensuráveis.

Os pitagóricos podem até não terem conseguido encontrar o tal número irracional, mas deixaram um grande legado que é o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c² com o qual são possíveis de se realizarem diversos cálculos e ser aplicado em vários ramos das ciências, principalmente na matemática, na geometria, na física, etc.

No livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, entre outros estudos, demonstra que terno pitagórico primitivo cujo primeiro termo é um número ímpar e o segundo e terceiro termos somados são o quadrado do primeiro termo possuem posição/ordem de números triangulares, isto é, quaisquer que sejam as quantidades de ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides, os ternos primitivos com características elencadas anteriomente, terão posições/ordens de números triangulares.

No livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas esses ternos são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.

Na sequência de ternos pitagóricos, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular se destacam, pois revelam importantes e interessantes conexões matemáticas relacionadas com números triangulares, números oblongos, números perfeitos os quais são abordados neste estudo.

Ternos Pitagóricos

Terno Pitagórico, também denominado de Tripla Pitagórica, Trinca Pitagórica é uma sequência de três números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c² e com os quais são possíveis de se construirem triângulos retângulos e que também os seus respectivos quadrados são números inteiros, isto é, não são números decimais e nem números irracionais.

Há vários métodos de se gerarem ternos pitagóricos, entre eles, o de Euclides de Alexandria.

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/ wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

Ternos Pitagóricos posição/ordem

Terno pitagórico primitivo cuja posição/ordem é um número triangular, neste este estudo é denominado de Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular e possuem as seguintes características:

a) o primeiro termo é número ímpar;

b) o segundo termo é múltiplo de 4;

c) o segundo e terceiro termos são consecutivos;

d) a soma do segundo e terceiro termo é o quadrado do primeiro termo;

e) padrão de formação: ímpar - par - ímpar;

d) o intervalo entre eles é a sequência de número naturais;

entre 3-4-5 e 5-12-13, há 1 intervalo,

entre 5-12-13 e 7-24-25, há 2 intervalos e assim sucessivamente.

Os números na coluna posição/ordem são triangulares: 1, 3, 6, 10, 15,...

Posições de Ternos Pitagóricos
       
posição/      
ordem Ternos Pitagóricos
       
1 3 4 5
2 8 6 10
3 5 12 13
4 15 8 17
5 12 16 20
6 7 24 25
7 24 10 26
8 21 20 29
9 16 30 34
10 9 40 41
11 35 12 37
12 32 24 40
13 27 36 45
14 20 48 52
15 11 60 61
       
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Ternos Pitagóricos e soma dos termos

A soma dos termos de um Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular tem como resultado um número oblongo.

Números Oblongos, também denominados de números retângulares, são números que são o dobro de um número triangular.

Dividindo-se um número oblongo por 2, o quociente é um número triangular.

Exemplos:

a) 12 : 2 = 6

b) 30 : 2 = 15

c) 56 : 2 = 28

Obtem-se também número oblongo do produto de dois números consecutivos.

O produto do primeiro termo de um Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular pelo seu consecutivo tem como resultado a soma dos termos desse terno pitagórico, um número oblongo e que dividido por 2 tem como quociente um número triangular e entre eles números perfeitos.

a) 3 x 4 = 12

12 : 2 = 6 (número perfeito)

 

b) 5 x 6 = 30

30 : 2 = 15

 

c) 7 x 8 = 56

56 : 2 = 28 (número perfeito)

 

d) 9 x 10 = 90

90 : 2 = 45

 

e) 11 x 12 = 132

132 : 2 = 66

Ternos Pitagóricos
e números oblongos
         
        números
        oblongos
posição/    
ordem Ternos Pitagóricos soma
         
1 3 4 5 12
2 8 6 10  
3 5 12 13 30
4 15 8 17  
5 12 16 20  
6 7 24 25 56
7 24 10 26  
8 21 20 29  
9 16 30 34  
10 9 40 41 90
11 35 12 37  
12 32 24 40  
13 27 36 45  
14 20 48 52  
15 11 60 61 132
         
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Ternos Pitagóricos, Números Perfeitos e posições/ordens

Números perfeitos são números cuja soma dos divisores próprios, resultam nesse mesmo número.

D(6): 1, 2, 3 e 6

Soma do divisores próprios de 6.

1 + 2 + 3 = 6

Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é um número perfeito.

Número triangular cuja posição/ordem é um número ímpar, esse triangular é múltiplo dessa posição/ordem.

Exemplos:

6 é múltiplo de 3,

15 é múltiplo de 5,

28 é múltiplo de 7,

e assim sucessivamente.

Números Triangulares
posições/ordens
     
posição/ Números
ordem triangulares Perfeitos
     
1 1  
2 3  
3 6 Perfeito
4 10  
5 15  
6 21  
7 28 Perfeito
8 36  
9 45  
10 55  
11 60  
12 78  
13 91  
14 105  
15 120  
     
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Terno Pitagórico 3-4-5 e o número triangular/perfeito 6

O número triangular 6 se encontra na posição de número 3.

O termo 3 do terno pitagórico primitivo de ordem triangular é a mesma posição do triangular 6.

Número perfeito pode ser gerado de terno pitagórico primitivos de ordem triangular

3 + 4 + 5 = 12

12 : 2 = 6

Número perfeito pode ser gerado de um um número quadrado perfeito e sua raiz

9 + 3 = 12

12 : 2 = 6

Número perfeito pode ser gerado de potências de base 2

A soma dos divisores próprios da potência 4 (22 = 4)

D(4): 1, 2 e 4

soma dos divisores próprios

1 + 2 = 3

3 x 4 (potência sucessora) = 12

12 : 2 = 6 (número perfeito)

ou

2 (potência antecessora) x 3 = 6 (número perfeito)

Terno Pitagórico 7-24-25 e o número triangular/perfeito 28

O número triangular 28 se encontra na posição de número 7.

O termo 7 do terno pitagórico é a mesma posição do triangular 28.

Número perfeito pode ser gerado de terno pitagórico primitivo de ordem triangular

7 + 24 + 25 = 56

56 : 2 = 28

Número perfeito pode ser gerado de um número quadrado perfedito e sua raiz

49 + 7 = 56

56 : 2 = 28

Número perfeito pode ser gerado de potências de base 2

A soma dos divisores próprios da potência 8 (23 = 8)

D(8): 1, 2, 4 e 8

soma dos divisores próprios

1 + 2 + 4 = 7

7 x 8 (potência sucessora) = 56

56 : 2 = 28 (número perfeito)

ou

4 (potência antecessora) x 7 = 28 (número perfeito)

Desafio ao visitante

O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.

 

Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:

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011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos

 

 

sobre resoluções de triângulos pitagóricos.

Autor: Ricardo Silva - setembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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