Conta-se que na antiga Grécia, ao tentarem calcular o lado maior de um triângulo retângulo isóceles de lados unitários, os pitagóricos de depararam com um grande dilema, por mais que tentassem, não conseguiram exprimí-lo como número inteiro, mas como poderia isso acontecer se num triângulo retângulo 3-4-5 conseguiam calcular o seu maior lado?
Dizem também que deveriam guardar segredo do ocorrido fato, posteriormente, o mundo ficou conhecendo um novo tipo de número, os números incomensuráveis, também denominados de irracionais.
Os pitagóricos podem até não terem conseguido encontrar o tal número irracional, mas deixaram um grande legado que é o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c² com o qual são possíveis de se realizarem diversos cálculos e ser aplicado em vários ramos das ciências, principalmente na matemática, na geometria, na física, etc.
No livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, entre outros estudos, demonstra que terno pitagórico primitivo cujo primeiro termo é um número ímpar e o segundo e terceiro termos somados são o quadrado do primeiro termo possuem ordens / posições de números triangulares, isto é, quaisquer que sejam as quantidades de ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides, os ternos primitivos com características elencadas anteriomente, terão ordens / posições de números triangulares.
No livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas esses ternos são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.
Na sequência de ternos pitagóricos, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular se destacam, pois revelam importantes e interessantes conexões matemáticas relacionadas com números triangulares, números oblongos, números perfeitos, os quais são abordados neste estudo.
Terno Pitagórico, também denominado de Tripla Pitagórica, Trinca Pitagórica é uma sequência de três números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c² e com os quais são possíveis de se construirem triângulos retângulos e que também os seus respectivos quadrados são números inteiros, isto é, não são números decimais e nem números irracionais.
Há vários métodos de se gerarem ternos pitagóricos, entre eles, o de Euclides de Alexandria.
Euclides, em seu livro Os Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Terno pitagórico primitivo cuja ordem / posição é um número triangular neste estudo é denominado de Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular e possuem as seguintes características:
a) o primeiro termo é número ímpar;
b) o segundo termo é múltiplo de 4;
c) o segundo e terceiro termos são consecutivos;
d) a soma do segundo e terceiro termo é o quadrado do primeiro termo;
e) padrão de formação: ímpar - par - ímpar;
d) o intervalo entre eles é a sequência de números naturais;
entre 3-4-5 e 5-12-13, há 1 intervalo,
entre 5-12-13 e 7-24-25, há 2 intervalos e assim sucessivamente...
Os números na coluna ordem / posição são triangulares: 1, 3, 6, 10, 15,...
| Posições de Ternos Pitagóricos | |||
|---|---|---|---|
| posição/ | |||
| ordem | Ternos Pitagóricos | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 11 | 60 | 61 |
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A soma dos termos de um Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular tem como resultado um número oblongo.
Números Oblongos, também denominados de números retângulares, são números que são o dobro de um número triangular.
Dividindo-se um número oblongo por 2, o quociente é um número triangular.
Exemplos:
a) 12 : 2 = 6
b) 30 : 2 = 15
c) 56 : 2 = 28
Obtem-se também número oblongo do produto de dois números consecutivos.
O produto do primeiro termo de um Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular pelo seu consecutivo tem como resultado a soma dos termos desse terno pitagórico.
Números oblongos dividido por 2 tem como quociente números triangulares e ,entre eles, números perfeitos.
a) 3 x 4 = 12
12 : 2 = 6 (número perfeito)
b) 5 x 6 = 30
30 : 2 = 15
c) 7 x 8 = 56
56 : 2 = 28 (número perfeito)
d) 9 x 10 = 90
90 : 2 = 45
e) 11 x 12 = 132
132 : 2 = 66
| Ternos Pitagóricos | ||||
|---|---|---|---|---|
| e números oblongos | ||||
| números | ||||
| oblongos | ||||
| posição/ | ||||
| ordem | Ternos Pitagóricos | soma | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 |
| 2 | 8 | 6 | 10 | |
| 3 | 5 | 12 | 13 | 30 |
| 4 | 15 | 8 | 17 | |
| 5 | 12 | 16 | 20 | |
| 6 | 7 | 24 | 25 | 56 |
| 7 | 24 | 10 | 26 | |
| 8 | 21 | 20 | 29 | |
| 9 | 16 | 30 | 34 | |
| 10 | 9 | 40 | 41 | 90 |
| 11 | 35 | 12 | 37 | |
| 12 | 32 | 24 | 40 | |
| 13 | 27 | 36 | 45 | |
| 14 | 20 | 48 | 52 | |
| 15 | 11 | 60 | 61 | 132 |
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Números perfeitos são números cuja soma dos divisores próprios, resultam nesse mesmo número.
D(6): 1, 2, 3 e 6
Soma do divisores próprios de 6.
1 + 2 + 3 = 6
Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é um número perfeito.
Número triangular cuja ordem / posição é um número ímpar, esse triangular é múltiplo dessa ordem /posição.
Exemplos:
6 é múltiplo da ordem / posição 3,
15 é múltiplo da ordem / posição 5,
28 é múltiplo da ordem / posição 7,
e assim sucessivamente...
| Números Triangulares | ||
|---|---|---|
| posições/ordens | ||
| ordem / | Números | |
| posição | triangulares | Perfeitos |
| 1 | 1 | |
| 2 | 3 | |
| 3 | 6 | Perfeito |
| 4 | 10 | |
| 5 | 15 | |
| 6 | 21 | |
| 7 | 28 | Perfeito |
| 8 | 36 | |
| 9 | 45 | |
| 10 | 55 | |
| 11 | 60 | |
| 12 | 78 | |
| 13 | 91 | |
| 14 | 105 | |
| 15 | 120 | |
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O número triangular 6 se encontra na ordem / posição de número 3.
O termo 3 do terno pitagórico primitivo de ordem triangular é a mesma posição do triangular 6.
Número perfeito pode ser gerado de terno pitagórico primitivos de ordem triangular
3 + 4 + 5 = 12
12 : 2 = 6
Número perfeito pode ser gerado de um um número quadrado perfeito e sua raiz
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6
Número perfeito pode ser gerado de potências de base 2
A soma dos divisores próprios da potência 4 (22 = 4)
D(4): 1, 2 e 4
soma dos divisores próprios
1 + 2 = 3
3 x 4 (potência sucessora) = 12
12 : 2 = 6 (número perfeito)
ou
2 (potência antecessora) x 3 = 6 (número perfeito)
O número triangular 28 se encontra na ordem / posição de número 7.
O termo 7 do terno pitagórico é a mesma posição do triangular 28.
Número perfeito pode ser gerado de terno pitagórico primitivo de ordem triangular
7 + 24 + 25 = 56
56 : 2 = 28
Número perfeito pode ser gerado de um número quadrado perfeito e sua raiz
49 + 7 = 56
56 : 2 = 28
Número perfeito pode ser gerado de potências de base 2
A soma dos divisores próprios da potência 8 (23 = 8)
D(8): 1, 2, 4 e 8
soma dos divisores próprios
1 + 2 + 4 = 7
7 x 8 (potência sucessora) = 56
56 : 2 = 28 (número perfeito)
ou
4 (potência antecessora) x 7 = 28 (número perfeito)
O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2020
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SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
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SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
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