Recentemente, recebi um E-mail do Professor Fernando Manso o qual leciona Química na Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM, dizendo ter elaborado um interessante algoritmo em que um múltiplo e um DIVISOR relaciona-se também por meio de partições com outro número MÚLTIPLO PARTICIONADO desse DIVISOR, gerando um outro número múltiplo desse DIVISOR.
Posteriormente, em outro E-mail, o Professor Fernando Manso diz: "Um outro problema interessante para você: Dado um cateto qualquer (inteiro), encontrar todos os ternos pitagóricos em função do cateto dado. Por exemplo, se te dou o cateto 342, em quantos ternos pitagóricos esse cateto está presente e quais são esses ternos?"
Estudando ternos pitagóricos, já tinha percebido que determinados termos de ternos pitagóricos apareciam em mais de um terno pitagórico, mas não me ocorrera até então, encontrar ternos pitagórios em que um dos termos figurassem também em outros ternos pitagóricos.
Triângulos Retângulos Pitagóricos são triângulos retângulos cujos comprimentos de seus lados são números inteiros, os quais são denominados de Ternos Pitagóricos.
Ternos Pitagóricos são sequências de 3 números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² que diz que: "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" ou "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".
Podem ser construídos infinitos triângulos retângulos pitagóricos, tanto com ternos pitagóricos primitivos quanto com ternos pitagóricos derivados.
Nas construções de triângulos retângulos pitagóricos, determinados termos de ternos pitagóricos ora podem ser o comprimento de uns dos catetos ou a hipotenusa ou vice-versa, isto é, determinados termos de ternos pitagóricos aparecem em mais 1 terno pitagórico.
Neste estudo são demonstrados relações numéricas de determinados ternos pitagóricos com suas ordens / posições, bem como, com outros ternos pitagóricos e os lados de um triângulo retângulo.
A presente tabela demonstra os 30 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados pelas Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
Os ternos pitagóricos cujas ordens / posições são números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular, os demais são ternos derivados e também há ternos primitivos não-triangulares.
| Ternos Pitagóricos | |||
| Primitivos e Derivados | |||
| Ordem / | |||
| Posição | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 11 | 60 | 61 |
| 16 | 48 | 14 | 50 |
| 17 | 45 | 28 | 53 |
| 18 | 40 | 42 | 58 |
| 19 | 33 | 56 | 65 |
| 20 | 24 | 70 | 74 |
| 21 | 13 | 84 | 85 |
| 22 | 63 | 16 | 65 |
| 23 | 60 | 32 | 68 |
| 24 | 55 | 48 | 73 |
| 25 | 48 | 64 | 80 |
| 26 | 39 | 80 | 89 |
| 27 | 28 | 96 | 100 |
| 28 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 72 | 54 | 90 |
| 32 | 65 | 72 | 97 |
| 33 | 56 | 90 | 106 |
| 34 | 45 | 108 | 117 |
| 35 | 32 | 126 | 130 |
| 36 | 17 | 144 | 145 |
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A presente tabela demonstra os 50 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Primitivo 3, 4, 5 (células laranja).
Multiplicando-se o Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 pela sequência de números naturais, obtêm-se infinitos ternos pitagóricos derivados.
| Ternos Pitagóricos | |||
| Derivados de 3 - 4 - 5 | |||
| Ordem / | Termos | ||
| Posição | primeiro | segundo | terceiro |
| Cateto | Cateto | Hipotenusa | |
| Menor | Maior | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 |
| 6 | 18 | 24 | 30 |
| 7 | 21 | 28 | 35 |
| 8 | 24 | 32 | 40 |
| 9 | 27 | 36 | 45 |
| 10 | 30 | 40 | 50 |
| 11 | 33 | 44 | 55 |
| 12 | 36 | 48 | 60 |
| 13 | 39 | 52 | 65 |
| 14 | 42 | 56 | 70 |
| 15 | 45 | 60 | 75 |
| 16 | 48 | 64 | 80 |
| 17 | 51 | 68 | 85 |
| 18 | 54 | 72 | 90 |
| 19 | 57 | 76 | 95 |
| 20 | 60 | 80 | 100 |
| 21 | 63 | 84 | 105 |
| 22 | 66 | 88 | 110 |
| 23 | 69 | 92 | 115 |
| 24 | 72 | 96 | 120 |
| 25 | 75 | 100 | 125 |
| 26 | 78 | 104 | 130 |
| 27 | 81 | 108 | 135 |
| 28 | 84 | 112 | 140 |
| 29 | 87 | 116 | 145 |
| 30 | 90 | 120 | 150 |
| 31 | 93 | 124 | 155 |
| 32 | 96 | 128 | 160 |
| 33 | 99 | 132 | 165 |
| 34 | 102 | 136 | 170 |
| 35 | 105 | 140 | 175 |
| 36 | 108 | 144 | 180 |
| 37 | 111 | 148 | 185 |
| 38 | 114 | 152 | 190 |
| 39 | 117 | 156 | 195 |
| 40 | 120 | 160 | 200 |
| 41 | 123 | 164 | 205 |
| 42 | 126 | 168 | 210 |
| 43 | 129 | 172 | 215 |
| 44 | 132 | 176 | 220 |
| 45 | 135 | 180 | 225 |
| 46 | 138 | 184 | 230 |
| 47 | 141 | 188 | 235 |
| 48 | 144 | 192 | 240 |
| 49 | 147 | 196 | 245 |
| 50 | 150 | 200 | 250 |
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| Ternos Pitagóricos | |||
| Derivados de 3 - 4 - 5 | |||
| Ordem / | Termos | ||
| Posição | primeiro | segundo | terceiro |
| Cateto | Cateto | Hipotenusa | |
| Menor | Maior | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 |
| 6 | 18 | 24 | 30 |
| 7 | 21 | 28 | 35 |
| 8 | 24 | 32 | 40 |
| 9 | 27 | 36 | 45 |
| 10 | 30 | 40 | 50 |
Na ordem / posição 4, tem-se o Terno Pitagórico Derivado: 12, 16, 20, cujos termos representam respectivamente: o cateto menor, o cateto maior e a hipotenusa em um triângulo retângulo.
Os termos 12 e 20 também aparecem nas linhas ordens / posições 3 e 5.
O termo 12 da linha ordem / posição 3 aparece como comprimento do cateto maior.
O termo 20 da linha ordem / posição 5 aparece como comprimento do cateto maior.
Para se saber quando determinados termos aparecem novamente em outros ternos pitagóricos em posições diferentes proseguimos assim:
a) escolhe-se um Termo Dominante (divisor comum), exemplo o número 4;
b) cada termo do Terno Pitagórico 12, 16, 20 da linha ordem / posição 4 é divisível por 4;
12 : 4 = 3
16 : 4 = 4
20 : 4 = 5
c) multiplica-se:
4 x 3 = 12 (o 12 também aparece na linha 3)
4 x 5 = 20 (o 20 também aparece na linha 5)
4 x 4 = 16 (o 16 não aparece em outra linha)
| Ternos Pitagóricos | |||
| Derivados de 3 - 4 - 5 | |||
| Ordem / | Termos | ||
| Posição | primeiro | segundo | terceiro |
| Cateto | Cateto | Hipotenusa | |
| Menor | Maior | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 |
| 6 | 18 | 24 | 30 |
| 7 | 21 | 28 | 35 |
| 8 | 24 | 32 | 40 |
| 9 | 27 | 36 | 45 |
| 10 | 30 | 40 | 50 |
Na ordem / posição 8, tem-se o Terno Pitagórico Derivado: 24, 32, 40, cujos termos representam respectivamente: o cateto menor, o cateto maior e a hipotenusa em um triângulo retângulo.
Os termos 24 e 40 também aparecem nas linhas ordens / posições 6 e 10.
O termo 24 da linha ordem / posição 6 aparece como comprimento do cateto maior.
O termo 40 da linha ordem / posição 5 aparece como comprimento do cateto maior.
Para se saber quando determinados termos aparecem novamente em outros ternos pitagóricos em posições diferentes proseguimos assim:
a) escolhe-se um Termo Dominante (divisor comum), exemplo o número 4;
b) cada termo do Terno Pitagórico 24, 32, 40 da linha ordem / posição 8 é divisível por 4;
24 : 4 = 6
32 : 4 = 8
40 : 4 = 10
c) multiplica-se:
4 x 6 = 24 (o 24 também aparece na linha 6)
4 x 10 = 40 (o 40 também aparece na linha 10)
4 x 8 = 32 (o 32 não aparece em outra linha)
| Ternos Pitagóricos | |||
| Derivados de 3 - 4 - 5 | |||
| Ordem / | Termos | ||
| Posição | primeiro | segundo | terceiro |
| Cateto | Cateto | Hipotenusa | |
| Menor | Maior | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 |
Na ordem / posição 3, tem-se o Terno Pitagórico Derivado: 9, 12, 15, cujos termos representam respectivamente: o cateto menor, o cateto maior e a hipotenusa em um triângulo retângulo.
Para se saber quando determinados termos aparecem novamente em outros ternos pitagóricos em posições diferentes proseguimos assim:
a) escolhe-se um Termo Dominante (divisor comum), exemplo o número 3;
b) cada termo do Terno Pitagórico 9, 12, 15 da linha ordem / posição 3 é divisível por 3;
9 : 3 = 3
12 : 3 = 4
15 : 3 = 5
c) multiplica-se:
3 x 4 = 12 (o 12 também aparece na linha 4)
3 x 5 = 15 (o 15 também aparece na linha 5)
3 x 3 = 9 (o 9 não aparece em outra linha)
| Ternos Pitagóricos | |||
| Derivados de 3 - 4 - 5 | |||
| Ordem / | Termos | ||
| Posição | primeiro | segundo | terceiro |
| Cateto | Cateto | Hipotenusa | |
| Menor | Maior | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 |
Na ordem / posição 5, tem-se o Terno Pitagórico Derivado: 15, 20, 25, cujos termos representam respectivamente: o cateto menor, o cateto maior e a hipotenusa em um triângulo retângulo.
Para se saber quando determinados termos aparecem novamente em outros ternos pitagóricos em posições diferentes proseguimos assim:
a) escolhe-se um Termo Dominante (divisor comum), exemplo o número 5;
b) cada termo do Terno Pitagórico 15, 20, 25 da linha ordem / posição 5 é divisível por 5;
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
c) multiplica-se:
5 x 3 = 15 (o 15 também aparece na linha 3)
5 x 4 = 20 (o 20 também aparece na linha 4)
5 x 5 = 25 (o 25 não aparece em outra linha)
O Termo 60 aparece em 3 ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 (células liláses).
60 é o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 5.
mmc (3, 4, 5) = 60
Divisores de 60
D(60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Interessante observar que:
a) os divisores 3, 4, 5 formam terno pitágórico primitivo;
b) os divisores 5, 12 fazem parte do terno pitagórico primitivo: 5, 12, 13;
c) o divisor 15 faz parte do terno pitagórico primitivo: 15, 112, 113,
60 : 5 (terceiro termo) = 12
12 é ordem / posição que aparece o terno 36, 48, 60
Multiplica-se:
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
| 12 | 36 | 48 | 60 |
| 13 | 39 | 52 | 65 |
| 14 | 42 | 56 | 70 |
| 15 | 45 | 60 | 75 |
| 16 | 48 | 64 | 80 |
| 17 | 51 | 68 | 85 |
| 18 | 54 | 72 | 90 |
| 19 | 57 | 76 | 95 |
| 20 | 60 | 80 | 100 |
60 : 4 (segundo termo) = 15
15 é ordem / posição que aparece o terno 45, 60, 75
Multiplica-se:
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
| 12 | 36 | 48 | 60 |
| 13 | 39 | 52 | 65 |
| 14 | 42 | 56 | 70 |
| 15 | 45 | 60 | 75 |
| 16 | 48 | 64 | 80 |
| 17 | 51 | 68 | 85 |
| 18 | 54 | 72 | 90 |
| 19 | 57 | 76 | 95 |
| 20 | 60 | 80 | 100 |
60 : 3 (primeiro termo) = 20
20 é ordem / posição que aparece o terno 60, 80, 100
Multiplica-se:
20 x 3 = 60
20 x 4 = 80
20 x 5 = 100
O Termo 60 aparece em 2 ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo 5, 12, 13.
60 é o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 5.
mmc (3, 4, 5) = 60
Divisores de 60
D(60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Interessante observar que:
a) os divisores 3, 4, 5 formam terno pitágórico primitivo;
b) os divisores 5, 12 fazem parte do terno pitagórico primitivo: 5, 12, 13;
c) o divisor 15 faz parte do terno pitagórico primitivo: 15, 112, 113.
60 é divisível por 5 e 12
Então:
60 : 12 = 5
5 é ordem / posição do terno derivado 25, 60, 65 pois:
5 x 5 = 25
5 x 12 = 60
5 x 13 = 65
60 é divisível por 5 e 12
60 : 5 = 12
12 é ordem / posição do terno derivado 60, 144, 156 pois:
12 x 5 = 60
12 x 12 = 144
12 x 13 = 156
O Termo 60 aparece em 1 terno pitagórico derivado do Terno Pitagórico Primitivo 15, 112, 113.
60 é o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 5.
mmc (3, 4, 5) = 60
Divisores de 60
D(60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Interessante observar que:
a) os divisores 3, 4, 5 formam terno pitágórico primitivo;
b) os divisores 5, 12 fazem parte do terno pitagórico primitivo: 5, 12, 13;
c) o divisor 15 faz parte do terno pitagórico primitivo: 15, 112, 113.
60 é somente divisível pelo termo 15 do Terno Pitagórico Primitivo 15, 112, 113.
60 : 15 = 4
4 é ordem / posição do terno derivado 60, 448, 452 pois:
4 x 15 = 60
4 x 112 = 448
4 x 113 = 452
Autor: Ricardo Silva - abril/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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