Terno pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (b² + c² = a²), isto é, dois números que elevados ao quadrado e depois somados (b² + c²) tem como resultado um número quadrado perfeito (a²) e que depois de extraído a sua raiz quadrada, o resultado é também um número inteiro.
Há diversos métodos algébricos de se gerarem ternos pitagóricos, entre eles, as Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
Aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Númericas são apresentados outros métodos de gerarem ternos pitagóricos, tais como, métodos numéricos.
O presente estudo demonstra outra interessante propriedade relacionada a ternos pitagóricos primitivos de que a diferença entre o segundo (b) e primeiro (a) termos de um terno pitagórico primitivo gera um número constante (razão).
Esse número constante multiplicado por número natural tem como resultado uma mesma diferença entre cada termo de ternos pitagóricos da fámília de ternos pitagóricos 3-4-5, como também, se obter o primeiro termo de cada terno pitagórico.
Para as demais famílias de ternos pitagóricos primitivos, a partir do Terno Pitagórico Primitivo 5-12-13, o número constante (razão) é válida somente para os primeiros e segundos termos.
A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros ternos pitagóricos primitivos em suas respectivas ordens / posições, as diferenças entre os segundos e primeiros termos, bem como, suas características:
a) o primeiro termo (a) é sempre um número ímpar, a comerçar pelo número 3.
b) o primeiro (a) e o terceiro (c) termos são números ímpares;
c) o termo (b) do meio é par e múltiplo de 4;
d) o segundo (b) e terceiro (c) termos são consecutivos.
Interessante observar que:
e) a soma de dois primeiros termos (a) e (b), a partir do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 (terno antecessor), é a diferença entre os termos (b) e (a) de um terno pitagórico primitivo sucessor.
Exemplo:
3 + 4 = 7 (termos do Terno 3-4-5)
12 - 5 = 7 (termos do Terno 5-12-13)
| Ternos Pitagóricos Primitivos | ||||
| e diferenças entre os termos b e a | ||||
| cateto | ||||
| menor | maior | hipotenusa | ||
| ordem / | termo | termo | termo | diferença |
| posição | a | b | c | entre b e a |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 1 |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 7 |
| 3 | 7 | 24 | 25 | 17 |
| 4 | 9 | 40 | 41 | 31 |
| 5 | 11 | 60 | 61 | 49 |
| 6 | 13 | 84 | 85 | 71 |
| 7 | 15 | 112 | 113 | 97 |
| 8 | 17 | 144 | 145 | 127 |
| 9 | 19 | 180 | 181 | 161 |
| 10 | 21 | 220 | 221 | 199 |
| 11 | 23 | 264 | 265 | 241 |
| 12 | 25 | 312 | 313 | 287 |
| 13 | 27 | 364 | 365 | 337 |
| 14 | 29 | 420 | 421 | 391 |
| 15 | 31 | 480 | 481 | 449 |
| 16 | 33 | 544 | 545 | 511 |
| 17 | 35 | 612 | 613 | 577 |
| 18 | 37 | 684 | 685 | 647 |
| 19 | 39 | 760 | 761 | 721 |
| 20 | 41 | 840 | 841 | 799 |
| 21 | 43 | 924 | 925 | 881 |
| 22 | 45 | 1012 | 1013 | 967 |
| 23 | 47 | 1104 | 1105 | 1057 |
| 24 | 49 | 1200 | 1201 | 1151 |
| 25 | 51 | 1300 | 1301 | 1249 |
| 26 | 53 | 1404 | 1405 | 1351 |
| 27 | 55 | 1512 | 1513 | 1457 |
| 28 | 57 | 1624 | 1625 | 1567 |
| 29 | 59 | 1740 | 1741 | 1681 |
| 30 | 61 | 1860 | 1861 | 1799 |
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O Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 é um terno pitagórico especial, isto porque, é o único terno formado por 3 números consecutivos, como também, o primeiro a formar o menor triângulo retângulo escaleno.
Além das características acima, assim como, o terno 3-4-5 é o único terno primitivo que forma uma Progressão Aritmética (P.A.), os seus ternos derivados também formam P.As., o que não acontece com as demais outras famílias de ternos pitagóricos.
Interessante observar que as diferenças entre os termos (b) e (a) forma uma P.A. de razão 1 (1, 2, 3, 4, 5, ...) o mesmo para as diferenças entre os termos (c) e (b).
| Família de Ternos Pitagóricos 3-4-5 | ||||
| ordem / | Termo | Termo | Termo | diferença |
| posição | a | b | c | entre b e a |
| Terno Pitagórico Primitivo | ||||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 1 |
| Ternos Pitagóricos Derivados | ||||
| 2 | 6 | 8 | 10 | 2 |
| 3 | 9 | 12 | 15 | 3 |
| 4 | 12 | 16 | 20 | 4 |
| 5 | 15 | 20 | 25 | 5 |
| 6 | 18 | 24 | 30 | 6 |
| 7 | 21 | 28 | 35 | 7 |
| 8 | 24 | 32 | 40 | 8 |
| 9 | 27 | 36 | 45 | 9 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 10 |
| 11 | 33 | 44 | 55 | 11 |
| 12 | 36 | 48 | 60 | 12 |
| 13 | 39 | 52 | 65 | 13 |
| 14 | 42 | 56 | 70 | 14 |
| 15 | 45 | 60 | 75 | 15 |
| 16 | 48 | 64 | 80 | 16 |
| 17 | 51 | 68 | 85 | 17 |
| 18 | 54 | 72 | 90 | 18 |
| 19 | 57 | 76 | 95 | 19 |
| 20 | 60 | 80 | 100 | 20 |
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Um dos métodos de se gerarem ternos derivados a partir de um terno primitivo e simplesmente multiplicar o terno primitivo pela sequência dos números naturais.
a) Terno Pitagórico Primito 3-4-5
1 x 3 = 3
1 x 4 = 4
1 x 5 = 5
b) Terno Pitagórico Derivado 6-8-10
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
Interessante observar que o número 2 é um fator e também a diferença entre os termos do terno 6-8-10.
Os cálculos também podem ser feitos das seguintes formas:
2 x 3 = 6
(2 x 3) + 2 = 8
(2 x 4) + 2 = 10
ou ainda:
2 x 3 = 6
6 + 2 = 8
8 + 2 = 10
b) Terno Pitagórico Derivado 9-12-15
3 x 3 = 9
3 x 4 =12
3 x 5 = 15
Interessante observar que o número 3 é um fator e também a diferença entre os termos do terno 9-12-15.
3 x 3 = 9
(3 x 3) + 3 = 12
(3 x 4) + 3 = 15
ou ainda:
3 x 3 = 9
9 + 3 = 12
12 + 3 = 15
5-12-13 é o segundo Terno Pitagórico Primitivo e assim como ele, os seus ternos derivados não formam Progressões Aritméticas (P.As).
Interessante observar que:
a) as diferenças entre os termos (b) e (a) forma uma P.A. de razão 7 (7, 14, 21, 28, 35, ...);
b) determinados ternos da sequência (7, 14, 21, 28, 35, ...) também são termos do Algoritmo Escada de Theon;
c) as diferenças entre os termos (c) e (b) forma uma P.A. de razão 1 (1, 2, 3, 4, 5, ...).
| Família de Ternos Pitagóricos 5-12-13 | ||||
| ordem / | termo | termo | termo | diferença |
| posição | a | b | c | entre b e a |
| Terno Pitagórico Primitivo | ||||
| 1 | 5 | 12 | 13 | 7 |
| Ternos Pitagóricos Derivados | ||||
| 2 | 10 | 24 | 26 | 14 |
| 3 | 15 | 36 | 39 | 21 |
| 4 | 20 | 48 | 52 | 28 |
| 5 | 25 | 60 | 65 | 35 |
| 6 | 30 | 72 | 78 | 42 |
| 7 | 35 | 84 | 91 | 49 |
| 8 | 40 | 96 | 104 | 56 |
| 9 | 45 | 108 | 117 | 63 |
| 10 | 50 | 120 | 130 | 70 |
| 11 | 55 | 132 | 143 | 77 |
| 12 | 60 | 144 | 156 | 84 |
| 13 | 65 | 156 | 169 | 91 |
| 14 | 70 | 168 | 182 | 98 |
| 15 | 75 | 180 | 195 | 105 |
| 16 | 80 | 192 | 208 | 112 |
| 17 | 85 | 204 | 221 | 119 |
| 18 | 90 | 216 | 234 | 126 |
| 19 | 95 | 228 | 247 | 133 |
| 20 | 100 | 240 | 260 | 140 |
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Um dos métodos de se gerarem ternos derivados a partir de um terno primitivo e simplesmente multiplicar o terno primitivo pela sequência dos números naturais.
a) Terno Pitagórico Primitivo 5-12-15
1 x 5 = 5
1 x 12 = 12
1 x 13 = 13
b) Terno Pitagórico Derivado 10-24-26
2 x 5 = 10
2 x 12 = 24
2 x 13 = 26
A diferença entre o termos (b) e (a) do Terno Pitagórico Primitivo 5-12-13 é 7.
Os cálculos também podem ser feitos das seguintes formas:
2 x 5 = 10
(2 x 7) + 10 = 24
(2 x 7) + 10 + 2 = 26
b) Terno 15-36-39
3 x 5 = 15
3 x 12 = 36
3 x 13 = 39
Os cálculos também podem ser feitos das seguintes formas:
3 x 5 = 15
(3 x 7) + 15 = 36
(3 x 7) + 15 + 3 = 39
Autor: Ricardo Silva - maio/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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