O estudo demonstra interessantes conexões matemáticas entre o Algoritmo Escada de Theon e as Fórmulas de Euclides que geram ternos pitagóricos.
Todos os termos, dois a dois, da coluna a do Algoritmo Escada de Theon geram ternos pitagóricos raros e os da coluna b, formam ternos pitagóricos derivados.
A Tabela 1 demonstra os primeiros termos do Algoritmo Escada de Theon.
Dividindo-se os termos da coluna b por termos correspondentes da coluna a obtêm-se quocientes cujos números que tendem a raiz quadrada de 2.
√2 = 1,4142
| Tabela 1 | ||
| Escada de Theon | ||
| a | b | |
| razão | ||
| (lado) | (diagonal) | b / a |
| 1 | 1 | |
| 2 | 3 | 3 / 2 = 1,5 |
| 5 | 7 | 7 / 5 =1,4 |
| 12 | 17 | 17 / 12 = 1,41666... |
| 29 | 41 | 41 / 29 = 1,41379... |
| 70 | 99 | 99 / 70 = 1,41428... |
| 169 | 239 | 239 / 169 = 1,41420... |
Fonte: adaptado de Tópicos de História da Matemática[2]
O Algoritmo Escada de Theon é dispositivo numérico com o qual é possível de se extrair a raiz quadrada de 2 (√2) e também outras raízes quadradas, desenvolvida pelo Filósofo e Matemático Grego Theon de Smyrna (70 d. C. e 135 d. C).
O Algoritmo Escada de Theon é originada de um quadrado cujos lados são 1 unidade e a sua diagonal fixada também em 1 unidade.[1]
Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo.
Diversos são os métodos para se gerarem ternos pitagóricos, entre eles, estão as Fórmulas de Euclides:
Dados dois números naturais m > n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Na prática, dois números naturais consecutivos, são números primos entre si.
Exemplo 1)
Numeros 1 e 2
a = m² - n² = 2² - 1² = 4 - 1 = 3
b = 2mn = 2 x 2 x 1 = 4
c = m² + n² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
3, 4, 5 é o primeiro e o único Terno Pitagórico Primitivo formado por 3 números consecutivos.
Exemplo 2)
Numeros 2 e 3
a = m² - n² = 3² - 2² = 9 - 4 = 5
b = 2mn = 2 x 3 x 2 = 12
c = m² + n² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
5, 12, 12 é o segundo Terno Pitagórico Primitivo.
Ternos Pitagóricos Raros são ternos pitagóricos cujos primeiros e segundos termos diferem em 1 unidade.
Exemplos:
3, 4, 5 (único terno pitagórico formando por 3 números consecutivos).
20, 21, 29,
119, 120, 169
696, 697, 985
Os termos m e n (células laranjas) das Fórmulas de Euclides que geram ternos pitagóricos raros apresentam conexões com termos da coluna a da Escada de Theon, o que veremos a seguir.
| Tabela 2 | |||||||||
| Ternos Pitagóricos Raros | |||||||||
| e as | |||||||||
| Fórmulas de Euclides | |||||||||
| cateto | cateto | hipo- | |||||||
| tenusa | |||||||||
| m²- n² | 2mn | m²+ n² | |||||||
| m | n | m² | n² | a | b | c | a² | b² | c² |
| 2 | 1 | 4 | 1 | 3 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 |
| 5 | 2 | 25 | 4 | 21 | 20 | 29 | 441 | 400 | 841 |
| 12 | 5 | 144 | 25 | 119 | 120 | 169 | 14161 | 14400 | 28561 |
| 29 | 12 | 841 | 144 | 697 | 696 | 985 | 485809 | 484416 | 970225 |
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Fonte: adaptado de Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas
No estudo:
011-estudos-448-escada-de-theon-ternos-pitagoricos-primitivos-raros
é demonstrado que decompondo os termos da coluna b de ordens / posições ímpares da Escada de Theon na soma de dois números consecutivos, os mesmos, formam termos de ternos pitagóricos raros.
Um outra propriedade matemática da Escada de Theon é que os termos da coluna a são os termos m e n das Fórmulas de Euclides que geram ternos pitagóricos raros.
Escolhendo-se sempre um termo sucessor e antecessor da coluna a da Escada de Theon, formam-se as duplas de números primos entre si, m e n (par-ímpar) ou (ímpar-par) que gerarão ternos pitagóricos raros, conforme podemos observar na Tabela 2.
Exemplos)
2, 1
5, 2
12, 5
29, 12
70, 29
169, 70
e assim sucessivamente.
| Tabela 3 | ||
| Escada de Theon | ||
| ordem/ | a | b |
| posição | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 12 | 17 |
| 5 | 29 | 41 |
| 6 | 70 | 99 |
| 7 | 169 | 239 |
| 8 | 408 | 577 |
| 9 | 985 | 1393 |
| 10 | 2378 | 3363 |
| 11 | 5741 | 8119 |
| 12 | 13860 | 19601 |
| 13 | 33461 | 47321 |
| 14 | 80782 | 114243 |
| 15 | 195025 | 275807 |
| 16 | 470832 | 665857 |
| 17 | 1136689 | 1607521 |
| 18 | 2744210 | 3880899 |
| 19 | 6625109 | 9369319 |
| 20 | 15994428 | 22619537 |
| 21 | 38613965 | 54608393 |
| 22 | 93222358 | 131836323 |
| 23 | 225058681 | 318281039 |
| 24 | 543339720 | 768398401 |
| 25 | 1311738121 | 1855077841 |
| 26 | 3166815962 | 4478554083 |
| 27 | 7645370045 | 10812186007 |
| 28 | 18457556052 | 26102926097 |
| 29 | 44560482149 | 63018038201 |
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Outra conexão matemática interessante é que os termos m² + n² das Fórmulas de Euclides, tabela 2 (células azuis), que correspondem as medidas das hipotenusas também estão presentes na coluna a da Escada de Theon nas ordens / posições ímpares.
Exemplos:
5, 29, 169, 985, 5741, 33461,195025,... são todos termos de ordens / posições ímpares.
Escolhendo-se sempre um termo sucessor e antecessor da coluna b da Escada de Theon formam-se as duplas de números primos entre si m e n (ímpar-ímpar, células verdes) que gerarão ternos pitagóricos derivados, Tabela 4.
| Tabela 4 | |||||||||
| Ternos Pitagóricos Raros | |||||||||
| e as | |||||||||
| Fórmulas de Euclides | |||||||||
| cateto | cateto | hipo- | |||||||
| tenusa | |||||||||
| m²- n² | 2mn | m²+ n² | |||||||
| m | n | m² | n² | a | b | c | a² | b² | c² |
| 3 | 1 | 9 | 1 | 8 | 6 | 10 | 64 | 36 | 100 |
| 7 | 3 | 49 | 9 | 40 | 42 | 58 | 1600 | 1764 | 3364 |
| 17 | 7 | 289 | 49 | 240 | 238 | 338 | 57600 | 56644 | 114244 |
| 41 | 17 | 1681 | 289 | 1392 | 1394 | 1970 | 1937664 | 1943236 | 3880900 |
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Fonte: adaptado de Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas
Concusão:
Escolhendo-se qualquer termo e seu antecessor da coluna a do Algoritmo Escada de Theon e os substituindo nas Fórmula de Euclides forma-se um terno pitagórico raro.
Escolhendo-se qualquer termo e seu antecessor da coluna b do Algoritmo Escada de Theon e os substituindo nas Fórmula de Euclides forma-se um terno pitagórico derivado.
Autor: Ricardo Silva - julho/2023
[1]LAWLOR, Robert. Geometria Sagrada. Trad. Maria José Garcia Ripol: Edições del Prado, Madrid-Espanha, 1996
[2] PITOMBEIRA, João Bosco, ROQUE, Tatiana. Tópicos de História da Matemática. Edição Digital
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
[3]SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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