O presente estudo demonstra relações numéricas entre a média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos com números retangulares, números triangulares, bem como, produto de 2 números ímpares.
A média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos têm como quocientes números que são 1/2 unidade maior que um número retangular.
A tabela a seguir apresenta as 50 primeiras duplas de números quadrados perfeitos consecutivos, bem como, as médias aritméticas de 1/2 unidade maiores, números retangulares, números triangulares.
Média Aritmética entre | ||||||
2 números quadrados perfeitos consecutivos | ||||||
número | quadrado | quadrado | média | número | número | triangular |
consecutivo | aritmética | retangular | triangular | |||
ordem | ordem | |||||
posicão | posição | |||||
1 | 1 | 4 | 2,5 | 2 | 1 | 1 |
2 | 4 | 9 | 6,5 | 6 | 3 | 1,5 |
3 | 9 | 16 | 12,5 | 12 | 6 | 2 |
4 | 16 | 25 | 20,5 | 20 | 10 | 2,5 |
5 | 25 | 36 | 30,5 | 30 | 15 | 3 |
6 | 36 | 49 | 42,5 | 42 | 21 | 3,5 |
7 | 49 | 64 | 56,5 | 56 | 28 | 4 |
8 | 64 | 81 | 72,5 | 72 | 36 | 4,5 |
9 | 81 | 100 | 90,5 | 90 | 45 | 5 |
10 | 100 | 121 | 110,5 | 110 | 55 | 5,5 |
11 | 121 | 144 | 132,5 | 132 | 66 | 6 |
12 | 144 | 169 | 156,5 | 156 | 78 | 6,5 |
13 | 169 | 196 | 182,5 | 182 | 91 | 7 |
14 | 196 | 225 | 210,5 | 210 | 105 | 7,5 |
15 | 225 | 256 | 240,5 | 240 | 120 | 8 |
16 | 256 | 289 | 272,5 | 272 | 136 | 8,5 |
17 | 289 | 324 | 306,5 | 306 | 153 | 9 |
18 | 324 | 361 | 342,5 | 342 | 171 | 9,5 |
19 | 361 | 400 | 380,5 | 380 | 190 | 10 |
20 | 400 | 441 | 420,5 | 420 | 210 | 10,5 |
21 | 441 | 484 | 462,5 | 462 | 231 | 11 |
22 | 484 | 529 | 506,5 | 506 | 253 | 11,5 |
23 | 529 | 576 | 552,5 | 552 | 276 | 12 |
24 | 576 | 625 | 600,5 | 600 | 300 | 12,5 |
25 | 625 | 676 | 650,5 | 650 | 325 | 13 |
26 | 676 | 729 | 702,5 | 702 | 351 | 13,5 |
27 | 729 | 784 | 756,5 | 756 | 378 | 14 |
28 | 784 | 841 | 812,5 | 812 | 406 | 14,5 |
29 | 841 | 900 | 870,5 | 870 | 435 | 15 |
30 | 900 | 961 | 930,5 | 930 | 465 | 15,5 |
31 | 961 | 1024 | 992,5 | 992 | 496 | 16 |
32 | 1024 | 1089 | 1056,5 | 1056 | 528 | 16,5 |
33 | 1089 | 1156 | 1122,5 | 1122 | 561 | 17 |
34 | 1156 | 1225 | 1190,5 | 1190 | 595 | 17,5 |
35 | 1225 | 1296 | 1260,5 | 1260 | 630 | 18 |
36 | 1296 | 1369 | 1332,5 | 1332 | 666 | 18,5 |
37 | 1369 | 1444 | 1406,5 | 1406 | 703 | 19 |
38 | 1444 | 1521 | 1482,5 | 1482 | 741 | 19,5 |
39 | 1521 | 1600 | 1560,5 | 1560 | 780 | 20 |
40 | 1600 | 1681 | 1640,5 | 1640 | 820 | 20,5 |
41 | 1681 | 1764 | 1722,5 | 1722 | 861 | 21 |
42 | 1764 | 1849 | 1806,5 | 1806 | 903 | 21,5 |
43 | 1849 | 1936 | 1892,5 | 1892 | 946 | 22 |
44 | 1936 | 2025 | 1980,5 | 1980 | 990 | 22,5 |
45 | 2025 | 2116 | 2070,5 | 2070 | 1035 | 23 |
46 | 2116 | 2209 | 2162,5 | 2162 | 1081 | 23,5 |
47 | 2209 | 2304 | 2256,5 | 2256 | 1128 | 24 |
48 | 2304 | 2401 | 2352,5 | 2352 | 1176 | 24,5 |
49 | 2401 | 2500 | 2450,5 | 2450 | 1225 | 25 |
50 | 2500 | 2601 | 2550,5 | 2550 | 1275 | 25,5 |
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
A média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos têm como quocientes números que são 1/2 unidade maior que números retangulares.
Subtraíndo-se 1/2 unidade da média aritmética entre dois números quadrados perfeitos consecutivos, o resultado é um número retangular.
número | quadrado | quadrado | média | número | número | triangular |
consecutivo | aritmética | retangular | triangular | |||
ordem | ordem | |||||
posicão | posição | |||||
1 | 1 | 4 | 2,5 | 2 | 1 | 1 |
2 | 4 | 9 | 6,5 | 6 | 3 | 1,5 |
3 | 9 | 16 | 12,5 | 12 | 6 | 2 |
Um dos métodos, entre outros, de se gerar número retangular é a partir do produto de 2 números consecutivos.
Exemplos:
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
A divisão de um número retangular por 2 tem como quociente um número triangular.
número | quadrado | quadrado | média | número | número | triangular |
consecutivo | aritmética | retangular | triangular | |||
ordem | ordem | |||||
posicão | posição | |||||
1 | 1 | 4 | 2,5 | 2 | 1 | 1 |
2 | 4 | 9 | 6,5 | 6 | 3 | 1,5 |
3 | 9 | 16 | 12,5 | 12 | 6 | 2 |
Exemplos:
2 : 2 = 1
6 : 2 = 3
12 : 2 = 6
20 : 2 = 10
Todo número triangular cuja ordem / posição é ímpar é múltiplo dessa mesma ordem / posição ímpar (células amarelas).
número | quadrado | quadrado | média | número | número | triangular |
consecutivo | aritmética | retangular | triangular | |||
dividido | ||||||
ordem | ordem | |||||
posicão | posição | |||||
1 | 1 | 4 | 2,5 | 2 | 1 | 1 |
2 | 4 | 9 | 6,5 | 6 | 3 | 1,5 |
3 | 9 | 16 | 12,5 | 12 | 6 | 2 |
4 | 16 | 25 | 20,5 | 20 | 10 | 2,5 |
5 | 25 | 36 | 30,5 | 30 | 15 | 3 |
6 | 36 | 49 | 42,5 | 42 | 21 | 3,5 |
Exemplos:
triangular 1 é divisível pela ordem / posição 1.
triangular 6 é divisível pela ordem / posição 3.
triangular 15 é divisível pela ordem / posição 5.
A divisão de número triangular de ordem / posição ímpar por sua ordem / posição ímpar tem como quociente um dos fatores que o geram por multiplicação.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas.
Exemplos:
a) triangular 1 (triangular de posição 1)
1 : 1 = 1
e
1 x 1 = 1
b) triangular 6 (triangular de posição 3)
6 : 3 = 2
e
2 x 3 = 6
b) triangular 15 (triangular de posição 5)
15 : 5 = 3
e
3 x 5 = 15
A tabela Média Aritmética entre 2 Números Quadrados Perfeitos também revelam outras propriedades de números ímpares com suas ordens / posições.
O produto de um número ímpar por sua ordem / posição tem como resultado um número triangular de ordem / posição ímpar.
Produto de | ||||
número ímpar | ||||
por sua ordem / posição | ||||
ordem / | número | número | ||
posição | ímpar | triangular | ||
1 | x | 1 | = | 1 |
2 | x | 3 | = | 6 |
3 | x | 5 | = | 15 |
4 | x | 7 | = | 28 |
5 | x | 9 | = | 45 |
6 | x | 11 | = | 66 |
7 | x | 13 | = | 91 |
8 | x | 15 | = | 120 |
9 | x | 17 | = | 153 |
10 | x | 19 | = | 190 |
11 | x | 21 | = | 231 |
12 | x | 23 | = | 276 |
13 | x | 25 | = | 325 |
14 | x | 27 | = | 378 |
15 | x | 29 | = | 435 |
16 | x | 31 | = | 496 |
17 | x | 33 | = | 561 |
18 | x | 35 | = | 630 |
19 | x | 37 | = | 703 |
20 | x | 39 | = | 780 |
21 | x | 41 | = | 861 |
22 | x | 43 | = | 946 |
23 | x | 45 | = | 1035 |
24 | x | 47 | = | 1128 |
25 | x | 49 | = | 1225 |
26 | x | 51 | = | 1326 |
27 | x | 53 | = | 1431 |
28 | x | 55 | = | 1540 |
29 | x | 57 | = | 1653 |
30 | x | 59 | = | 1770 |
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
Exemplos:
a)
1 x 1 = 1
número 1 e a ordem / posição 1 é um caso especial.
c)
2 x 3 = 6
2 e 3 são números primos.
3 é 1 unidade menor do dobro de 2 que é 4.
c)
3 x 5 = 15
3 e 5 são números primos.
5 é 1 unidade menor do dobro de 3 que é 6.
d)
4 x 7 = 28
7 é 1 unidade menor do dobro de 4 que é 8.
e)
5 x 9 = 45
9 é 1 unidade menor do dobro de 5 que é 10.
Entre os pares de números (fatores) formados por um número ímpar e a sua ordem / posição, há também a primeira dupla de números quadrados perfeitos distintos:
25 | x | 49 | = | 1225 |
49 é 1 unidade menor do dobro de 25 que é 50.
24 + 25 = 49 (quadrado perfeito)
Interessante observar que Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular é formado com a seguinte estrutura:
a) o primeiro termo é a raiz quadrada da soma dos segundo e teceiro termos;
b) a soma dos segundo e terceiro termos, formados por números consecutivos, é o quadrado perfeito do primeiro termo.
O terno (7, 24, 25) é um terno pitagórico primitivo de ordem triangular.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas.
A partir dos exemplos demonstrados deduziu-se a seguinte fórmula para se gerar números triangulares cujas ordens / posições são ímpares:
n ( 2n - 1) |
O produto de um número com seu dobro subtraído uma unidade tem como resultado número triangular de ordem / posição ímpar.
Autor: Ricardo Silva - julho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato