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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

A Média Aritmética entre 2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos - 504

O presente estudo demonstra relações numéricas entre a média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos com números retangulares, números triangulares, bem como, produto de 2 números ímpares.

A média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos têm como quocientes números que são 1/2 unidade maior que um número retangular.

A Média Aritmética entre 2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos

A tabela a seguir apresenta as 50 primeiras duplas de números quadrados perfeitos consecutivos, bem como, as médias aritméticas de 1/2 unidade maiores, números retangulares, números triangulares.

Média Aritmética entre
2 números quadrados perfeitos consecutivos
             
número quadrado quadrado média número número triangular
consecutivo aritmética retangular triangular  
       
ordem     ordem
posicão     posição
             
1 1 4 2,5 2 1 1
2 4 9 6,5 6 3 1,5
3 9 16 12,5 12 6 2
4 16 25 20,5 20 10 2,5
5 25 36 30,5 30 15 3
6 36 49 42,5 42 21 3,5
7 49 64 56,5 56 28 4
8 64 81 72,5 72 36 4,5
9 81 100 90,5 90 45 5
10 100 121 110,5 110 55 5,5
11 121 144 132,5 132 66 6
12 144 169 156,5 156 78 6,5
13 169 196 182,5 182 91 7
14 196 225 210,5 210 105 7,5
15 225 256 240,5 240 120 8
16 256 289 272,5 272 136 8,5
17 289 324 306,5 306 153 9
18 324 361 342,5 342 171 9,5
19 361 400 380,5 380 190 10
20 400 441 420,5 420 210 10,5
21 441 484 462,5 462 231 11
22 484 529 506,5 506 253 11,5
23 529 576 552,5 552 276 12
24 576 625 600,5 600 300 12,5
25 625 676 650,5 650 325 13
26 676 729 702,5 702 351 13,5
27 729 784 756,5 756 378 14
28 784 841 812,5 812 406 14,5
29 841 900 870,5 870 435 15
30 900 961 930,5 930 465 15,5
31 961 1024 992,5 992 496 16
32 1024 1089 1056,5 1056 528 16,5
33 1089 1156 1122,5 1122 561 17
34 1156 1225 1190,5 1190 595 17,5
35 1225 1296 1260,5 1260 630 18
36 1296 1369 1332,5 1332 666 18,5
37 1369 1444 1406,5 1406 703 19
38 1444 1521 1482,5 1482 741 19,5
39 1521 1600 1560,5 1560 780 20
40 1600 1681 1640,5 1640 820 20,5
41 1681 1764 1722,5 1722 861 21
42 1764 1849 1806,5 1806 903 21,5
43 1849 1936 1892,5 1892 946 22
44 1936 2025 1980,5 1980 990 22,5
45 2025 2116 2070,5 2070 1035 23
46 2116 2209 2162,5 2162 1081 23,5
47 2209 2304 2256,5 2256 1128 24
48 2304 2401 2352,5 2352 1176 24,5
49 2401 2500 2450,5 2450 1225 25
50 2500 2601 2550,5 2550 1275 25,5
             
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Média aritmética e número retangular

A média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos têm como quocientes números que são 1/2 unidade maior que números retangulares.

Subtraíndo-se 1/2 unidade da média aritmética entre dois números quadrados perfeitos consecutivos, o resultado é um número retangular.

número quadrado quadrado média número número triangular
consecutivo aritmética retangular triangular  
       
ordem     ordem
posicão     posição
             
1 1 4 2,5 2 1 1
2 4 9 6,5 6 3 1,5
3 9 16 12,5 12 6 2

Um dos métodos, entre outros, de se gerar número retangular é a partir do produto de 2 números consecutivos.

Exemplos:

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

4 x 5 = 20

Número Retangular e número triangular

A divisão de um número retangular por 2 tem como quociente um número triangular.

número quadrado quadrado média número número triangular
consecutivo aritmética retangular triangular  
       
ordem     ordem
posicão     posição
             
1 1 4 2,5 2 1 1
2 4 9 6,5 6 3 1,5
3 9 16 12,5 12 6 2

Exemplos:

2 : 2 = 1

6 : 2 = 3

12 : 2 = 6

20 : 2 = 10

Número triangular e sua ordem / posição

Todo número triangular cuja ordem / posição é ímpar é múltiplo dessa mesma ordem / posição ímpar (células amarelas).

número quadrado quadrado média número número triangular
consecutivo aritmética retangular triangular  
      dividido
ordem     ordem
posicão     posição
             
1 1 4 2,5 2 1 1
2 4 9 6,5 6 3 1,5
3 9 16 12,5 12 6 2
4 16 25 20,5 20 10 2,5
5 25 36 30,5 30 15 3
6 36 49 42,5 42 21 3,5

Exemplos:

triangular 1 é divisível pela ordem / posição 1.

triangular 6 é divisível pela ordem / posição 3.

triangular 15 é divisível pela ordem / posição 5.

A divisão de número triangular de ordem / posição ímpar por sua ordem / posição ímpar tem como quociente um dos fatores que o geram por multiplicação.

Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas.

Exemplos:

a) triangular 1 (triangular de posição 1)

1 : 1 = 1

e

1 x 1 = 1

b) triangular 6 (triangular de posição 3)

6 : 3 = 2

e

2 x 3 = 6

b) triangular 15 (triangular de posição 5)

15 : 5 = 3

e

3 x 5 = 15

Produto de número ímpar por sua ordem

A tabela Média Aritmética entre 2 Números Quadrados Perfeitos também revelam outras propriedades de números ímpares com suas ordens / posições.

O produto de um número ímpar por sua ordem / posição tem como resultado um número triangular de ordem / posição ímpar.

Produto de
número ímpar
por sua ordem / posição
         
ordem /   número   número
posição   ímpar   triangular
         
1 x 1 = 1
2 x 3 = 6
3 x 5 = 15
4 x 7 = 28
5 x 9 = 45
6 x 11 = 66
7 x 13 = 91
8 x 15 = 120
9 x 17 = 153
10 x 19 = 190
11 x 21 = 231
12 x 23 = 276
13 x 25 = 325
14 x 27 = 378
15 x 29 = 435
16 x 31 = 496
17 x 33 = 561
18 x 35 = 630
19 x 37 = 703
20 x 39 = 780
21 x 41 = 861
22 x 43 = 946
23 x 45 = 1035
24 x 47 = 1128
25 x 49 = 1225
26 x 51 = 1326
27 x 53 = 1431
28 x 55 = 1540
29 x 57 = 1653
30 x 59 = 1770
         
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Exemplos:

a)

1 x 1 = 1

número 1 e a ordem / posição 1 é um caso especial.

 

c)

2 x 3 = 6

2 e 3 são números primos.

3 é 1 unidade menor do dobro de 2 que é 4.

 

c)

3 x 5 = 15

3 e 5 são números primos.

5 é 1 unidade menor do dobro de 3 que é 6.

 

d)

4 x 7 = 28

7 é 1 unidade menor do dobro de 4 que é 8.

 

e)

5 x 9 = 45

9 é 1 unidade menor do dobro de 5 que é 10.

Pares de quadraddos perfeitos

Entre os pares de números (fatores) formados por um número ímpar e a sua ordem / posição, há também a primeira dupla de números quadrados perfeitos distintos:

25 x 49 = 1225

49 é 1 unidade menor do dobro de 25 que é 50.

24 + 25 = 49 (quadrado perfeito)

Interessante observar que Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular é formado com a seguinte estrutura:

a) o primeiro termo é a raiz quadrada da soma dos segundo e teceiro termos;

b) a soma dos segundo e terceiro termos, formados por números consecutivos, é o quadrado perfeito do primeiro termo.

O terno (7, 24, 25) é um terno pitagórico primitivo de ordem triangular.

Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas.

Fórmula para número triangular de ordem / posição ímpar

A partir dos exemplos demonstrados deduziu-se a seguinte fórmula para se gerar números triangulares cujas ordens / posições são ímpares:

n ( 2n - 1)

O produto de um número com seu dobro subtraído uma unidade tem como resultado número triangular de ordem / posição ímpar.

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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