Na geometria há os polígonos regulares, tais como: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, etc, os quais podem ser inscritos e circunscritos numa circunferência. Eles também são auto-semelhantes e auto-replicáveis, isto é, a partir do ponto médio de seus lados podem ser construídas infinitas outras figuras geométricas semelhantes e proporcionais.
Com a sequência dos números naturais acontece algo semelhante, pois, na estrutura dos números naturais estão "embutidas" infinitas outras sequências numéricas, como exemplos, as sequências dos:
a) números ímpares;
b) números pares;
c) números quadrados perfeitos;
d) números triangulares;
e) números retangulares, etc.
O presente estudo demonstra algumas propriedades relacionadas a produtos de números pares consecutivos e, entre elas, a relação entre potências de base 2 e números fatoriais.
Por meio da operação aritmética adição, podemos formar:
A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares.
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
A soma de números pares consecutivos têm como resultados números retangulares.
2
2 + 4 = 6
2 + 4 + 6 = 12
A soma de números ímpares consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos.
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
Por meio da operação aritmética multiplicação, podemos formar:
O produto de 2 números consecutivos tem como resultado um número retangular.
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
O produto de 2 números ímpares consecutivos tem como resultado um número quase-quadrado perfeito.
1 x 3 = 3
3 x 5 = 15
5 x 7 = 35
O produto de um número por ele mesmo tem como resultado um número quadrado perfeito.
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
Nos exemplos acima, com multiplicações, os produtos obtidos são números que são termos de sequências numéricas famosas, isto é, sequências numéricas conhecidas e que aparecem em cálculos, podemos dizer, com certa frequência.
Vejamos as seguintes sequências:
de produtos de 3 números pares consecutivos...
| produto | ||||
| 2 | 4 | 6 | = | 48 |
| 4 | 6 | 8 | = | 192 |
| 6 | 8 | 10 | = | 480 |
| 8 | 10 | 12 | = | 960 |
| 10 | 12 | 14 | = | 1680 |
| 12 | 14 | 16 | = | 2688 |
| 14 | 16 | 18 | = | 4032 |
...e de produtos de 3 números ímpares consecutivos:
| produto | ||||
| 1 | 3 | 5 | = | 15 |
| 3 | 5 | 7 | = | 105 |
| 5 | 7 | 9 | = | 315 |
| 7 | 9 | 11 | = | 693 |
| 9 | 11 | 13 | = | 1287 |
| 13 | 15 | 17 | = | 3315 |
| 15 | 17 | 19 | = | 4845 |
Consultando o WebSite: https://oeis.org/ - The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, as sequências dos produtos: 48, 192, 480, 960, 1680, 2688 e 4032, bem como, 15, 105, 315, 693, 1287, 3315 e 4845 não aparecem registradas no banco de dados da organização OEIS.
A presente tabela demonstra os 11 primeiros produtos de números pares consecutivos.
Numa primeira análise, verificou-se que cada um dos produtos não é um quadrado perfeito, não é número número retangular, bem como, não é número triangular.
A sequência (2, 8, 48, 384, 3840,..., 63 777 066 403 145 711 616 000) aparece no banco de dados do WebSite https://oeis.org/ sob o número A000165 e seu autor é Jean-François Alcover.
| Produtos de | ||||||||||||
| Números Pares Consecutivos | ||||||||||||
| 2 | 2 | |||||||||||
| 2 | 4 | 8 | ||||||||||
| 2 | 4 | 6 | 48 | |||||||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 384 | ||||||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 3840 | |||||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 46080 | ||||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 645120 | |||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 10321920 | ||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 185794560 | |||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 3715891200 | ||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 81749606400 | |
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Os produtos de números pares consecutivos também podem ser obtidos tabulando-se as potências de base 2, bem como, os números fatoriais separadamente, de forma que se consiga observar e verificar as propriedades matemáticas e numéricas com mais detalhes, vejamos:
a) o produto de uma potência de base 2 por um número fatorial tem como resultado o produto de números pares consecutivos;
b) o expoente da base 2 corresponde a um número fatorial;
c) a razão entre um produto sucessor por um produto antecessor tem como resultado o dobro do expoente da base 2.
| Ordem/ | Base | Expoente | Potência | Fatorial | Produto | Razão | |
| posição | Base 2 | ||||||
| 1 | 2 | ^ | 1 | 2 | 1 | 2 | |
| 2 | 2 | ^ | 2 | 4 | 2 | 8 | 4 |
| 3 | 2 | ^ | 3 | 8 | 6 | 48 | 6 |
| 4 | 2 | ^ | 4 | 16 | 24 | 384 | 8 |
| 5 | 2 | ^ | 5 | 32 | 120 | 3840 | 10 |
| 6 | 2 | ^ | 6 | 64 | 720 | 46080 | 12 |
| 7 | 2 | ^ | 7 | 128 | 5040 | 645120 | 14 |
| 8 | 2 | ^ | 8 | 256 | 40320 | 10321920 | 16 |
| 9 | 2 | ^ | 9 | 512 | 362880 | 185794560 | 18 |
| 10 | 2 | ^ | 10 | 1024 | 3628800 | 3715891200 | 20 |
| 11 | 2 | ^ | 11 | 2048 | 39916800 | 81749606400 | 22 |
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A metade dos termos nas expressões numéricas são formadas por potências de base 2 e a outra metade por fatorial.
As expressões numéricas apresentam simetrias em suas extruturas.
21 x 1! = ( 2 ) x ( 1 ) = 2
22 x 2! = ( 2 x 2 ) x (2 x 1) = 8
23 x 3! = ( 2 x 2 x 2 ) x (3 x 2 x 1) = 48
24 x 4! = ( 2 x 2 x 2 x 2 ) x (4 x 3 x 2 x 1) = 384
25 x 5! = ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 3840
de onde se deduz a seguinte fórmula algébrica:
| 2 n . n ! |
Observação importante: a mesma simetria que aparece nas expressões numéricas de produtos de potências de base 2 com números fatoriais, aparecem também nas quantidades de divisores de números perfeitos, pois, as quantidades de divisores de números perfeitos são formadas pela metade de potências de base 2 e a outra metade por múltiplos de números primos, de tal forma que: " a soma de potências de base 2 é a raiz quadrada da soma dos múltiplos de um número primo, e soma dos múltiplos de um número primo é o quadrado perfeito da soma de potências de base 2"
Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas!
Separando as potências de base dos números que não potências de base 2, observa-se que determinados produtos de números consecutivos que não são potências de base 2 têm relações com números fatoriais.
As expressões aritméticas apresentam simetrias e assimetrias em suas estruturas.
a)
2
b)
2 x 4 = 8
c)
2 x 4 x 6 = 48
( 2 x 4 ) x ( 6 )= 48
d)
2 x 4 x 6 x 8 = 384
( 2 x 4 x 8 ) x ( 6 )= 384
64 x 6 = 384
6 é numero fatorial
e)
2 x 4 x 6 x 8 x 10 = 3.840
( 2 x 4 x 8 ) x ( 6 x 10 ) = 3.840
64 x 60 = 3.840
60 é a metade do fatorial 120
f)
2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12= 46.080
( 2 x 4 x 8 ) x ( 6 x 10 x 12 ) = 46.080
64 x 720 = 46.080
720 é numero fatorial
g)
2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 = 645.120
( 2 x 4 x 8 ) x (6 x 10 x 12 x 14 ) = 645.120
64 x 10080 = 645.120
10.080 é o dobro do fatorial 5.040
i)
2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16= 10.321.920
( 2 x 4 x 8 x 16 ) x (6 x 10 x 12 x 14 ) = 10.321.920
1024 x 10080 = 10.321.920
10.080 é o dobro do fatorial 5.040
Podemos também obter números fatoriais, escrevendo em um coluna os números naturais, e em outra coluna, o número 1 na primeira linha e multiplicando em diagonal.
2 x 1 = 2 (coloca-se o 2 abaixo do 1 na segunda coluna).
3 x 2 = 6 (coloca-se o 6 abaixo do 2 na segunda coluna) e assim sucessivamente.
| Natural | Fatorial |
| Ordem/ | |
| posição | |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 11 | 39916800 |
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Este estudo contou com a colaboração do Professor de Química Fernando Manso, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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