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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 3x3 de Constantes Mágicas Iguais - 519

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos, formados por células em quantidades de números quadrados perfeitos, nos quais:

a) dispondo sequências numéricas formadas por progressões aritméticas, em certa ordem, as somas de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo total, denominada de Constante Mágica;

b) dispondo sequências numéricas formadas por progressões geométricas ou determinados conjuntos de divisores de um número natural, em certa ordem, os produtos de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo produto, denominado de Contante Mágica.

Neste estudo é apresentado uma nova propriedade na qual são possíveis de construírem infinitos quadrados mágicos de mesmas Constantes Mágicas, propriedade esta, enviada pelo Sr. Aristóteles Costa, Entusiasta Matemático.

Quadrado Mágico Lo-Shu

Quadrado Mágico Lo-Shu

O aparecimento do Quadrado Mágico têm como origem a China, e se encontra documentado no Livro Os 9 capítulos da arte matemática no texto Shu Shu Shi Yu, baseado na estória do Imperador Yu que viu sair do Rio Lo (Rio Amarelo) uma tartaruga com marcas em formas de nós feitos em barbantes sobre seu casco.

O imperador Yu também observou que as marcas quando contadas nas horizontais, verticais e diagonais possuiam uma mesma soma, isto é, 15. A partir destes eventos a tartagura, que é um animal venerado pela sua longevidade na cultura chinesa, recebeu o nome de Lo-Shu e passou a ter carater místico e esotérico.

Quadrado Mágico Lo-Shu em numerais Indo-Arábicos

Quadrado Mágico Lo-Shu em numerais Indo-Arábicos

O Quadrado Mágico transcrito para o sistema de numeração indo-arábico nos permite também visualizar um "algo a mais" embutido na sua construção.

Podemos vê-lo como uma balança virtual, por exemplo, jamais poderíamos equilibrar 2 kilos de arroz com 8 quilos de arroz, mas no Quadrado Mágico há o constante equilíbrio exercido pelo número 5, ele é o eixo moderador de todos os números que o cercam.

As duplas de números com seus diferentes "pesos" formam o dobro do número central que os equilibram formando um conjunto harmonioso, pares com pares e ímpares com ímpares.

Os números são se repetem, se associam ao número central e formam uma quantidade constante que dá a magia ao quadrado.

Combinações [1]

Para cada Quadrado Mágico, temos várias combinações dependendo do tamanho da matriz, conforme a tabela a seguir. Salientamos que nem toda permutação entre os elementos de um Quadrado Mágico Perfeito gera outro Quadrado Mágico Perfeito. Se permutarmos os elementos de uma matrix 3x3, teremos 362.880 matrizes, mas apenas 8 são Quadrados Mágicos Perfeitos.

Quantidade de Combinações
   
Ordem Quantidade
   
3 (3x3) 8
4 (4x4) 880
5 (5x5) 275.305.224
6 6x6) estima-se 1, 7.1019

Fonte: adaptado de [1]

Quadrado Mágico Derivado

Quadrado Mágico Derivado é quando somamos ou diminuimos uma constante aos números de um Quadrado Mágico Perfeito, Normal ou Puro.

No exemplo, alguns quadrados mágicos derivados do Quadrado Mágico 3x3 Lo-Shu.

Quadrados Mágicos Derivados

Quadrado Mágico 3x3 e qualquer número

No estudo de número 176:

011-estudos-176-quadrados-magicos-e-qualquer-numero

é apresentado uma brincadeira, isto é, um passatempo de construção de quadrado mágico, onde a pessoa escolhe um número a partir do número 5 é você dirá a ela que construindo um quadrado mágico 3x3, a constante mágica é um número tal, para todas as linhas, colunas e diagonais.

Este passatempo consiste em montar uma progressão aritmética com 9 termos, neste exemplo, o número escolhido é o número 5 como termo central:

a) diminui-se sempre 1 unidade a partir do 5;

b) soma-se sempre 1 unidade a partir do 5;

Progressão Aritmética
de 1 a 9
 
5
4 6
3 7
2 8
1 9

Desta forma se tem uma progressão aritmética finita de 9 termos cuja a razão e primeiro termo é 1 e o termo central 5

Quadrados Mágicos de Constantes Mágicas Iguais

Tendo como base o Quadrado Mágico Lo-Shu, podemos construir infinitos outros quadrados mágicos de Constantes Mágicas Iguais, tendo como termo central o número 5 e variando-se as razões:

1) razão 2

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13
15
3 13 -1 15
1 5 9 15
11 -3 7 15
15 15 15 15

2) razão 3

-7 -4 -1 2 5 8 11 14 17
15
2 17 -4 15
-1 5 11 15
14 -7 8 15
15 15 15 15

3) razão 4

-11 -7 -3 1 5 9 13 17 21
15
1 21 -7 15
-3 5 13 15
17 -11 9 15
15 15 15 15

Quadrados Mágicos e Múltiplos de 9

Outro método de se contruirem quadrados mágicos de Constantes Mágicas Iguais é escolher um múltiplo de 9 e dividí-lo por 9.

819 : 9 = 91

Fixando-se o número 91 como termo central e variando-se as razões, formam-se progressões aritméticas finitas de mesmas somas.

Os quadrados mágicos construídos têm Constantes Mágicas Iguais cujo valor é 273.

1) razão 1

87 88 89 90 91 92 93 94 95
273
90 95 88 273
89 91 93 273
94 87 92 273
273 273 273 273

2) razão 2

83 85 87 89 91 93 95 97 99
273
89 99 85 273
87 91 95 273
97 83 93 273
273 273 273 273

3) razão 3

79 82 85 88 91 94 97 100 103
273
88 103 82 273
85 91 97 273
100 79 94 273
273 273 273 273

4) razão 4

75 79 83 87 91 95 99 103 107
273
87 107 79 273
83 91 99 273
103 75 95 273
273 273 273 273

5) razão 5

71 76 81 86 91 96 101 106 111
273
86 111 76 273
81 91 101 273
106 71 96 273
273 273 273 273

 

Autores:  Aristóteles Costa e Ricardo Silva - outubro/2024

Fontes Bibliográficas:

[1] Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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