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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Somas de Quantidades Constantes de Potências de Números Naturais - 521

O presente estudo demonstra que as somas de quantidades constantes de potências de um número natural têm como resultados múltiplos da soma consecutiva de potências desse mesmo número natural.

Obtêm-se potências de um número natural multiplicando-se um número natural por ele mesmo tantas vezes que se queira ou por meio da Potênciação / Exponenciação.

Somas de Quantidades Constantes de Potências de Números Naturais

Exemplos por meio da multiplicação:

2 = 2

2 x 2 = 4

2 x 2 x 2 = 8

2 x 2 x 2 x 2 = 16

Exemplos por meio da Potênciação / Exponenciação

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

Termos de uma Potenciação / Exponenciação

2³ = 8

2: base

3: expoente

8: potência

Somas consecutivas de potências

As somas consecutivas de potências de números naturais apresentam um interessante fato matemático de que as somas não são múltiplos desses números naturais, isto é, de suas respectivas bases.

Potências de base 2

As somas consecutivas de potências de base 2 não são múltiplos da base 2.

Potências de Base 2 Somas
   
1 1
1 2 3
1 2 4 7
1 2 4 8 15
1 2 4 8 16 31
1 2 4 8 16 32 63
1 2 4 8 16 32 64 127

Observação importante: as somas consecutivas de potências de base 2 têm como resultados números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2, estes números também são denominados de:

1) Números de Mersenne;

2) Números Quase-Potências de Base 2.

Por meio de determinadas potências de base 2, bem como, de determinados Números de Mersenne (Números Quase-Perfeitos, Números Quase-Potências de Base 2) é que se obtem Números Perfeitos.

Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas!

Potências de base 3

As somas consecutivas de potências de base 3 não são múltiplos da base 3.

Potências de Base 3 Somas
   
1 1
1 3 4
1 3 9 13
1 3 9 27 40
1 3 9 27 81 121
1 3 9 27 81 243 364
1 3 9 27 81 243 729 1093

Potências de base 4

As somas consecutivas de potências de base 4 não são múltiplos da base 4.

Potências de Base 4 Somas
   
1 1
1 4 5
1 4 16 21
1 4 16 64 85
1 4 16 64 256 341
1 4 16 64 256 1024 1365
1 4 16 64 256 1024 4096 5461

Potências de base 5

As somas consecutivas de potências de base 5 não são múltiplos da base 5.

Potências de Base 5 Somas
   
1 1
1 5 6
1 5 25 31
1 5 25 125 156
1 5 25 125 625 781
1 5 25 125 625 3125 3906
1 5 25 125 625 3125 15625 19531

Potências de base 6

As somas consecutivas de potências de base 6 não são múltiplos da base 6.

Potências de Base 6 Somas
   
1 1
1 6 7
1 6 36 43
1 6 36 216 259
1 6 36 216 1296 1555
1 6 36 216 1296 7776 9331
1 6 36 216 1296 7776 46656 55987

Somas de quantidades constantes de potências de base 2

As somas consecutivas de 2 potências de base 2 têm como resultados múltiplos de 3.

3 é um Número de Mersenne.

3 é 1 unidade menor da potência 4.

Quantidade de Termos Somas
1 2  
     
1 2 3
2 4 6
4 8 12
8 16 24
16 32 48

As somas consecutivas de 3 potências de base 2 têm como resultados múltiplos de 7.

7 é um Número de Mersenne.

7 é 1 unidade menor da potência 8.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3  
       
1 2 4 7
2 4 8 14
4 8 16 28
8 16 32 56
16 32 64 112

As somas consecutivas de 4 potências de base 2 têm como resultados múltiplos de 15.

15 é um Número de Mersenne.

15 é 1 unidade menor da potência 16.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4  
         
1 2 4 8 15
2 4 8 16 30
4 8 16 32 60
8 16 32 64 120
16 32 64 128 240

As somas consecutivas de 5 potências de base 2 têm como resultados múltiplos de 31.

31 é um Número de Mersenne.

31 é 1 unidade menor da potência 32.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4 5  
           
1 2 4 8 16 31
2 4 8 16 32 62
4 8 16 32 64 124
8 16 32 64 128 248
16 32 64 128 256 496

As somas consecutivas de 6 potências de base 2 têm como resultados múltiplos de 63.

63 é um Número de Mersenne.

63 é 1 unidade menor da potência 64.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4 5 6  
             
1 2 4 8 16 32 63
2 4 8 16 32 64 126
4 8 16 32 64 128 252
8 16 32 64 128 256 504
16 32 64 128 256 512 1008

Somas de quantidades constantes de potências de base 3

As somas consecutivas de 2 potências de base 3 têm como resultados múltiplos de 4.

Quantidade de Termos Somas
1 2  
     
1 3 4
3 9 12
9 27 36
27 81 108
81 243 324

As somas consecutivas de 3 potências de base 3 têm como resultados múltiplos de 13.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3  
       
1 3 9 13
3 9 27 39
9 27 81 117
27 81 243 351
81 243 729 1053

As somas consecutivas de 4 potências de base 3 têm como resultados múltiplos de 40.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4  
         
1 3 9 27 40
3 9 27 81 120
9 27 81 243 360
27 81 243 729 1080
81 243 729 2187 3240

As somas consecutivas de 5 potências de base 3 têm como resultados múltiplos de 121.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4 5  
           
1 3 9 27 81 121
3 9 27 81 243 363
9 27 81 243 729 1089
27 81 243 729 2187 3267
81 243 729 2187 6561 9801

As somas consecutivas de 6 potências de base 3 têm como resultados múltiplos de 364.

Quantidade de Termos Somas
1 2 3 4 5 6  
             
1 3 9 27 81 243 364
3 9 27 81 243 729 1092
9 27 81 243 729 2187 3276
27 81 243 729 2187 6561 9828
81 243 729 2187 6561 19683 29484

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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