Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é toda sequência numérica, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao primeiro termo somado de um número constante, denominado de razão.
Exemplo clássico de uma P.A. é a sequência dos números naturais:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
Progressão Aritmética | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Extremo | Extremo | ||||||||
termos equidistantes | |||||||||
dos extremos | |||||||||
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Em uma P.A., escolhendo-se 3 termos consecutivos, ou quantidade ímpar de termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética da soma desses dois números equidistantes dos extremos.
Exemplos:
( 1 + 3 ) / 2 = 2
( 2 + 4 ) / 2 = 3
( 1 + 9 ) / 2 = 5
( 3 + 9 ) / 2 = 6
Em uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos termos dos extremos.
1 + 10 = 11 (soma dos termos dos extremos)
2 + 9 = 11 (soma de 2 termos equidistantes)
3 + 8 = 11 (soma de 2 termos equidistantes)
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número quase-quadrado perfeito, há exatamente 3 múltiplos da raiz quadrada do primeiro termo.
Exemplos:
Linha 2
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
√4 = 2
Múltiplos de 2 na sequência numérica: 4, 6 e 8.
Linha 3
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
√9 = 3
Múltiplos de 3 na sequência numérica: 9, 12 e 15.
Linha 4
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
√16 = 4
Múltiplos de 4 na sequência numérica: 16, 20 e 24.
O Triângulo Numérico 3 é um dispositivo numérico infinito cujas linhas são formadas por sequências de números naturais iniciando-se por um número quadrado perfeito e terminando por um número quase-quadrado perfeito.
O termo médio de cada sequência numérica é um número retangular.
O Triângulo Numérico 3 é objeto de estudo e está publicado nos seguintes links demonstrando outras propriedades numéricas e matemáticas:
011-estudos-031-numeros-primos-triangulo-isoceles
011-estudos-395-triangulo-numerico-3-numeros-quadrados-retangulares-primos-gemeos
O presente estudo demostram que determinadas sequências numéricas finitas cujo o primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número quase-quadrado perfeito, além de apresentarem números retangulares entre números primos gêmeos (células laranjas), há também ocorrências de números primos equidistantes (células verdes), os quais são objetos deste estudo.
Triângulo Numérico 3 e | ||||||||||||||||
Números Primos Equidistantes | ||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | ||||||||||||||
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||||||
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||||||||||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ||||||||
25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | ||||||
36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | ||||
49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | ||
64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
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Fonte: SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
A partir de um número quadrado perfeito é possível determinar um número retangular, bem como, um número quase quadrado perfeito.
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
A raíz quadrada de 4 que é 2, indica o número da linha no Triângulo Numérico 3.
√4 = 2
A segunda linha do triângulo começa com o quadrado 4.
Um número quadrado perfeito somado com sua raiz quadrada tem como resultado um número retangular que é o termo médio da sequência numérica.
4 + √4 = 6
Números retangulares, também denominados de oblongos, são números que são produtos de 2 números consecutivos.
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
A metade de um número retangular é um número triangular.
Um número quadrado perfeito somado com o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado um número quase- quadrado perfeito e que é o último termo da sequência numérica.
Números quase-quadrados perfeitos são números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.
4 + ( 2 √4 ) = 8
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
O número retangular 6 está entre dois número primos.
5 e 7 são números primos gêmeos (células laranjas).
Números primos gêmeos são números primos cuja diferença entre eles são 2 unidades.
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
A raiz quadrada de 9 indica a terceira linha do Triângulo Numérico 3.
√9 = 3
O quadrado perfeito 9 mais a sua raiz quadrada tem como resultado o número retangular 12.
9 + √9 = 12
O quadrado perfeito 9 mais o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado o número quase-quadrado perfeito 15.
9 + ( 2 √9 ) = 15
O número retangular 12 está entre os primos gêmeos 11 e 13.
Outra propriedade numérica no Triângulo Numérico 3 é que há ocorrências de Números Primos Equidistantes.
Números Primos Equidistantes são duplas de números primos cujas diferenças entre eles são mais de 2 unidades.
A ocorrência de duplas de números primos equidistantes são aleatórias.
Linha 4
Neste exemplo, o número primo 17 está próximo do quadrado perfeito 16 e o número primo 23 está próximo do número quase-quadrado perfeito 24.
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Linha 6
Neste exemplo, o número primo 37 está próximo do quadrado perfeito 36 e o número primo 47 está próximo do número quase-quadrado perfeito 48.
36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
Linha 10
Observação importante: neste exemplo, os termos da progressão artmética estão sendo apresentados em uma tabela de 3 colunas.
A leitura deve ser realizada de baixo para cima na primeira coluna e de cima para baixo na terceira coluna.
Os números primos equidistantes são 107 e 113 (células verdes).
Há também primos gêmeos:
101 e 103
107 e 109
Os números primos 101, 103, 107 e 109 também são denominados de quadri-primos.
Números quadri-primos são duplas de primos gêmeos que ocorrem dentro de uma sequência numérica de 10 números.
Para mais informações, veja matérias relacionadas!
011-estudos-461-multiplos-6-numeros-numeros-primos-quadri-primos
110 | ||
109 | 111 | |
108 | 112 | |
107 | 113 | |
106 | 114 | |
105 | 115 | |
104 | 116 | |
103 | 117 | |
102 | 118 | |
101 | 119 | |
100 | 120 |
Linha 11
132 | ||
131 | 133 | |
130 | 134 | |
129 | 135 | |
128 | 136 | |
127 | 137 | |
126 | 138 | |
125 | 139 | |
124 | 140 | |
123 | 141 | |
122 | 142 | |
121 | 143 |
Toda progressão aritmética finita cujo primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número antecessor a um quadrado perfeito, são possíveis de se determinarem um número retangular, bem como, um número quase-quadrado perfeito.
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - janeiro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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