Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é toda sequência numérica, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao primeiro termo somado de um número constante, denominado de razão.
Exemplo clássico de uma P.A. é a sequência dos números naturais:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
| Progressão Aritmética | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Extremo | Extremo | ||||||||
| termos equidistantes | |||||||||
| dos extremos | |||||||||
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Em uma P.A., escolhendo-se 3 termos consecutivos, ou quantidade ímpar de termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética da soma desses dois números equidistantes dos extremos.
Exemplos:
( 1 + 3 ) / 2 = 2
( 2 + 4 ) / 2 = 3
( 1 + 9 ) / 2 = 5
( 3 + 9 ) / 2 = 6
Em uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos termos dos extremos.
1 + 10 = 11 (soma dos termos dos extremos)
2 + 9 = 11 (soma de 2 termos equidistantes)
3 + 8 = 11 (soma de 2 termos equidistantes)
O presente estudo demostram que sequências numéricas finitas cujo o primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número quase-quadrado perfeito apresentam interessantes regularidades numéricas, a saber:
Progressão aritmética cujo primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número quase-quadrado perfeito, há exatamente 3 múltiplos da raiz quadrada do primeiro termo.
Exemplos:
a) P.A. - primeiro termo - quadrado perfeito 4
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
√4 = 2
Múltiplos de 2 na sequência numérica: 4, 6 e 8.
b) P.A. - primeiro termo - quadrado perfeito 9
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
√9 = 3
Múltiplos de 3 na sequência numérica: 9, 12 e 15.
c) P.A. - primeiro termo - quadrado perfeito 16
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
√16 = 4
Múltiplos de 4 na sequência numérica: 16, 20 e 24.
Um número quadrado perfeito somado com sua raiz quadrada tem como resultado um número retangular que é o termo médio da sequência numérica.
4 + √4 = 6
Números retangulares, também denominados de oblongos, são números que são produtos de 2 números consecutivos.
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
A metade de um número retangular é um número triangular.
Um número quadrado perfeito somado com o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado um número quase- quadrado perfeito e que é o último termo da sequência numérica.
Números quase-quadrados perfeitos são números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.
4 + ( 2 √4 ) = 8
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
O número retangular 6 está entre dois número primos.
5 e 7 são números primos gêmeos (células laranjas).
Números primos gêmeos são números primos cuja diferença entre eles são 2 unidades.
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Números Primos Equidistantes (células verdes) são duplas de números primos cujas diferenças entre eles são mais de 2 unidades.
A ocorrência de duplas de números primos equidistantes são aleatórias.
Números Primos Equidistantes 17 e 23
Neste exemplo, o número primo 17 está próximo do quadrado perfeito 16 e o número primo 23 está próximo do número quase-quadrado perfeito 24.
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Números Primos Equidistantes 37 e 47
Neste exemplo, o número primo 37 está próximo do quadrado perfeito 36 e o número primo 47 está próximo do número quase-quadrado perfeito 48.
| 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
Determinados termos equidistantes de P.A.s finitas cujo o primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número quase-quadrado perfeito apresentam fatores primos comuns.
Exemplos:
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 12 | ||||||
| primo | 11 | 13 | primo | |||
| 2 x 5 | 10 | 14 | 2 x 7 | |||
| 3 x 3 | 9 | 15 | 3 x 5 | |||
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| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 20 | ||||||
| primo | 19 | 21 | ||||
| 2 x 3 x 3 | 18 | 22 | 2 x 11 | |||
| primo | 17 | 23 | primo | |||
| 2 x 2 x 2 x 2 | 16 | 24 | 2 x 2 x 2 x 3 | |||
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| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| 30 | ||||||
| primo | 29 | 31 | primo | |||
| 2 x 2 x 7 | 28 | 32 | 2 x 2 x 2 x 2 x 2 | |||
| 3 x 3 x 3 | 27 | 33 | 3 x 11 | |||
| 2 x 3 | 26 | 34 | 2 x 17 | |||
| 5 x 5 | 25 | 35 | 5 x 7 | |||
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Toda progressão aritmética finita cujo primeiro termo é um número quadrado perfeito e o último termo um número antecessor a um quadrado perfeito, são possíveis de se determinarem um número retangular, bem como, um número quase-quadrado perfeito.
Para mais informações complementares deste estudo, veja abaixo matérias relacionadas!
Autor: Ricardo Silva e Ari Costa - janeiro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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