O Brilhante Martin Gardner (1914-2010) - filósofo, escritor, estusiasta matemático estadunidense, foi colunista e divulgador de matemática recreativa na revista Scientific American, com a coluna "Mathematical Games" de 1956 a 1981, declarou em seu livro Divertimentos Matemáticos: "Pode-se construir um quadrado mágico semelhante, tão grande quanto quisermos, e com a combinação de números que bem entendermos. Não importa absolutamente o número de casas do quadrado ou que números são usados na sua formação. Podem ser positivos ou negativos, inteiros ou fracionários, racionais ou irracionais."
Acrescentando às palavras de Martin Gardner, e tendo como base as pesquisas e estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas: Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por células em quantidades de números quadrados perfeitos, nos quais:
a) dispondo sequências numéricas formadas por progressões aritméticas, em certa ordem, as somas de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo total, denominada de Constante Mágica;
b) dispondo sequências numéricas formadas por progressões geométricas ou determinados conjuntos de divisores de um número natural, em certa ordem, os produtos de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo produto, denominado de Contante Mágica.
Neste estudo é demonstrado a construção de quadrado mágico que foge às regras, às técnicas, bem como, os métodos "estabelecidos" nas próprias construções de quadrados mágicos.
A construção do Quadrado Mágico 18x18 e Números Cíclicos tem como base os algarismos do período da dízima periódica originada da fração geratriz 1/19, bem como, seus números cíclicos.
Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]
A fração geratriz 1/7 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 7.
| 1 | ||
| --- | = | 0,142857 142857 142857 142857 142857 |
| 7 |
Período: 142 857 (6 algarismos)
O período 142 857 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 6 tem como produto o próprio período mas com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 142857 é um número cíclico.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
Conforme estudo:
011-estudos-554-dizimas-periodicas-progressoes-aritmeticas
não há necessidade de multiplicar números menores que o denominador da fração geratriz para se gerarem números cíclicos.
Frações cujos numeradores são de 1 a 1 unidade menor que o denominador 7 geram números cíclicos a partir do período 142 857 (6 algarismos).
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| denominador | numerador | dízima | razão | ||
| diferença | |||||
| 1 | 7 | = | 0,142857143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
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Dizíma periódica cujo período possue quantidade de algarismos pares apresenta uma propriedade muito interessante.
Dividindo-se o período em duas partes e somando-os, o resultado é um número somente com algarismos 9.
Exemplo:
Período: 142 857 (6 algarismos)
| 142 | |
| + | 857 |
| ----- | |
| 999 |
Propriedade esta descoberta pelo Matemático francês Étienne Midy em 1836, até ser redescoberto em 2004 por Brian Ginsberg. [1]
Com o número cíclico 142 857 é possível construir um quadrado semi-mágico.
Somente há constante mágica nas linhas e colunas.
Não há constante mágica nas diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 6x6 | |||||||
| Número Cíclico 142 857 | |||||||
| 23 | |||||||
| 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 27 | |
| 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | 4 | 27 | |
| 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | 27 | |
| 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 27 | |
| 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 27 | |
| 8 | 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 27 | |
| 31 | |||||||
| 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | ||
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A fração geratriz 1/19 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 19.
| 1 | ||
| --- | = | 0,052 631 578 947 368 421 |
| 19 |
Período: 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos)
Frações cujos numeradores são de 1 a 1 unidade menor que o denominador 19 geram números cíclicos a partir do período 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos).
| Fração |
| n / 19 |
| dízimas periódicas (números cíclicos) |
| 1 / 19 = 0,052631578947368421 |
| 2 / 19 = 0,105263157894736842 |
| 3 / 19 = 0,157894736842105263 |
| 4 / 19 = 0,210526315789473684 |
| 5/19 = 0,263157894736842105 |
| 6 / 19 = 0,315789473684210526 |
| 7 / 19 = 0,368421052631578947 |
| 8 / 19 = 0,421052631578947368 |
| 9 / 19 = 0,473684210526315789 |
| 10/19 = 0,526315789473684210 |
| 11/19 = 0,578947368421052631 |
| 12 /19 = 0,631578947368421052 |
| 13 / 19 = 0,684210526315789473 |
| 14 / 19 = 0,736842105263157894 |
| 15 / 19 = 0,789473684210526315 |
| 16 / 19 = 0,842105263157894736 |
| 17 / 19 = 0,894736842105263157 |
| 18 / 19 = 0,947368421052631578 |
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O Quadrado Mágico 18x18 - Número Cíclico: 052 631 578 947 368 421 foi publicado pela primeira vez no livro Magic Squares e Cubes, obra de W. S. Andrews datada de 1917 e segundo Andrews é o primeiro quadrado mágico construído com número cíclico.[1]
Alocando os algarismos de cada número cíclico originados das frações de 1/19 a 18/19 numa matriz quadriculada de 18 x 18, obtem-se quadrado mágico de constante mágica 81.
Soma de todos os números: 1458
| Quadrado Mágico 18x18 | ||||||||||||||||||
| Número Cíclico: | ||||||||||||||||||
| 052 631 578 947 368 421 | ||||||||||||||||||
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
Fonte: Adaptado de [1] GARDNER, Martin. Circo matemático. Madri: Alianza Editorial, 1979
Interessante observar que:
a) os números cíclicos formam Progressão Aritmética cuja razão é o período: 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos);
b) os algarismos que formam cada número cíclico não formam progressão aritmética e nem progressão geométrica.
c) o quadrado quebra a regra de ter um só número de uma sequência numérica em cada célula;
d) há algarismos (números) que se repetem em linhas, colunas e diagonais, em quadrado normal, puro ou elementar isto "não acontece";
a) total de células: 18 x 18 = 324;
b) 324 é múltiplo de 3 e 9;
c) quadrantes (sub-quadrado 9x9) na diagonal principal, cada um soma 324;
d) quadrantes (sub-quadrados 9x9) na diagonal segundária, cada um soma 405;
| Quadrado Mágico 18x18 | ||||||||||||||||||
| Número Cíclico: | ||||||||||||||||||
| 052 631 578 947 368 421 | ||||||||||||||||||
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
e) retângulos horizontais: superior, inferior, à esquerda, á direita, cada um soma 729;
| Quadrado Mágico 18x18 | ||||||||||||||||||
| Número Cíclico: | ||||||||||||||||||
| 052 631 578 947 368 421 | ||||||||||||||||||
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
f) retângulos verticais:
cada linha do retângulo vertical laranja de cima para baixo é igual do retângulo amarelo de baixo para cima;
| Quadrado Mágico 18x18 | ||||||||||||||||||
| Número Cíclico: | ||||||||||||||||||
| 052 631 578 947 368 421 | ||||||||||||||||||
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
g) linhas e colunas:
na primeira coluna, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 se repetem um abaixo do outro de cima para baixo;
na nona coluna, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 se repetem um acima outro de baixo para cima;
os algarismos 0 e 9 não se repetem nem nas linhas e nem nas colunas;
| Quadrado Mágico 18x18 | ||||||||||||||||||
| Número Cíclico: | ||||||||||||||||||
| 052 631 578 947 368 421 | ||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
Uma das propriedades de dízimas períodicas cujos períodos tem quantidades de algarismos pares e que dividindo este período em duas parte e somando-os, o resultado é um número somente com os algarismos 9.
O mesmo acontece como todos os números cíclicos originados do período 052 631 578 947 368 421 cujas frações são n/19.
No exemplo o próprio período 052 631 578 947 368 421
| 052631578 | |
| + | 947368421 |
| -------------- | |
| 999999999 |
Martin Gardner cita a seguinte fala de W. S. Andrews, sobre o Quadrado Mágico 18 x 18 construído com números cíclicos: "Não é fácil entender a razão pela qual cada uma das principais diagonais tem soma 81; De qualquer forma, ao escrever um em cima do outro vemos que cada par de números correspondentes somam 9".[1]
Imagine Sr. Visitante, fazer o quadrado em 4 partes separadas sobre folha plástica transparente (tipo acetato para retroprojetor - precursor do Software PowerPoint).
No exemplo:
a) colocar a folha laranja sobre a azul (vice-versa);
b) colocar a folha lilás sobre a verde (vice-versa);
| 81 | ||||||||||||||||||
| 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 81 |
| 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 81 |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 81 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 81 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 81 |
| 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 81 |
| 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 81 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 81 |
| 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 81 |
| 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 81 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 81 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 81 |
| 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 81 |
| 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 81 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 81 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 81 |
| 8 | 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 81 |
| 9 | 4 | 7 | 3 | 6 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 3 | 1 | 5 | 7 | 8 | 81 |
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
obter-se-ão dois quadrados somente com algarismos 9;
| 81 | ||||||||||||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |||||||||
| 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |
Imagine, agora, Sr. Visitante,
a) colocar a folha azul sobre a lilás (vice-versa) diagonalmente;
b) colocar a folha laranja sobre a verde (vice-versa) diagonalmente.
As diagonais não serão formadas por algarismos 9.
Por isso, este Quadrado Mágico é prá lá de mágico, foge das regras, dos métodos e das técnicas de construções de quadrados mágicos.
Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]
Analisando os números primos:
a) 7 é Primo de Mersenne, será que 127 e outros Primos de Mersenne que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
b) 17 é um Primo de Fermat, será que 257 e 65.537 que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
c) 7 é 1 unidade maior que o número perfeito 6.
d) 29 é 1 unidade maior que o número perfeito 28.
e) será que 33.550.337 e 137.438.691.329 que são primos e 1 unidade maior que os perfeitos 33.550.336 e 137.438.691.328 respectamente e outros podem gerar números cíclicos?
Autor: Ricardo Silva - abril/2025
[2] ALVES, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2022.
[1] GARDNER, Martin. Circo matemático. Madri: Alianza Editorial, 1979. Disponível em:
http://www.librosmaravillosos.com/
in%20Gardner.pdf.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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