Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]
Analisando os números primos:
a) 7 é Primo de Mersenne, será que 127 e outros Primos de Mersenne que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
b) 17 é um Primo de Fermat, será que 257 e 65.537 que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
c) 7 é 1 unidade maior que o número perfeito 6.
d) 29 é 1 unidade maior que o número perfeito 28.
e) será que 33.550.337 e 137.438.691.329 que são primos e 1 unidade maior que os números perfeitos 33.550.336 e 137.438.691.328 respectivamente e outros podem gerar números cíclicos?
Anteriormente à publicação do livro Circo Matemático foi publicada a seguinte tabela com os menores primos abaixo de 521 com suas respectivas quantidades de algarismos no período de suas dízimas períodicas.
Os números primos destacados em laranja têm quantidades de algarismos nos períodos de suas dízimas (p - 1), isto é, a quantidade de algarismos é 1 unidade menor que este número primo.
Interessante observar que o número primo 127 (Número Primo de Mersenne), não se encaixa à regra, tem quantidades de 42 algarismos no período de sua dízima periódica.
| Números Primos | |||||||||
| e quantidades de algarismos | |||||||||
| em suas dízimas periódicas | |||||||||
| primo | quat. | primo | quat. | primo | quat. | primo | quat. | primo | quat. |
| alg. | alg. | alg. | alg. | alg | |||||
| per. | per. | per. | per. | per. | |||||
| 3 | 1 | 83 | 41 | 191 | 95 | 307 | 153 | 431 | 215 |
| 7 | 6 | 89 | 44 | 193 | 192 | 311 | 155 | 433 | 35 |
| 11 | 2 | 97 | 96 | 197 | 98 | 313 | 312 | 439 | 219 |
| 13 | 6 | 101 | 4 | 199 | 99 | 317 | 79 | 443 | 221 |
| 17 | 16 | 103 | 34 | 211 | 30 | 331 | 110 | 449 | 32 |
| 19 | 18 | 107 | 53 | 223 | 222 | 337 | 336 | 457 | 152 |
| 23 | 22 | 109 | 108 | 227 | 113 | 347 | 173 | 461 | 460 |
| 29 | 28 | 113 | 112 | 229 | 228 | 349 | 116 | 463 | 154 |
| 31 | 15 | 127 | 42 | 233 | 222 | 353 | 32 | 467 | 233 |
| 37 | 3 | 131 | 130 | 239 | 7 | 359 | 179 | 479 | 239 |
| 41 | 5 | 137 | 8 | 241 | 30 | 367 | 366 | 487 | 486 |
| 43 | 21 | 139 | 46 | 251 | 50 | 373 | 186 | 491 | 490 |
| 47 | 46 | 149 | 148 | 257 | 256 | 379 | 378 | 499 | 498 |
| 53 | 13 | 151 | 75 | 263 | 262 | 383 | 382 | 503 | 502 |
| 59 | 58 | 157 | 78 | 269 | 268 | 389 | 388 | 509 | 208 |
| 61 | 60 | 163 | 81 | 271 | 5 | 397 | 99 | 521 | 52 |
| 67 | 33 | 167 | 166 | 277 | 69 | 401 | 200 | ||
| 71 | 35 | 173 | 43 | 281 | 28 | 409 | 204 | ||
| 73 | 8 | 179 | 178 | 283 | 141 | 419 | 418 | ||
| 79 | 13 | 181 | 180 | 293 | 146 | 421 | 140 | ||
Fonte: adaptado de: DOLISI, Earl E. Periodic Decimal Fractions. A Thesis Presented to the Faculty of the Department of Mathematics Kansas State Teachers College of Emporia, August, 1973. [2]
O presente estudo demonstra um fato curioso ou talvez uma nova propriedade relacionados à quantidades de algarismos de períodos de dízimas períódicas de determinados números primos.
A quantidade de algarismos do período da dízima periódica da fração geratriz 1/127 é 42.
42 corresponde a 1/3 de (127 - 1 = 126).
42 x 3 = 126
Concatenando os períodos de 42 algarismos, obtêm-se um "período" de 126 algarismos e que separados em 2 partes de 63 algarismos cada e somados, obtêm-se números somente com algarismos 9.
Número cíclico é um número gerado de uma dízima períodica simples que por sua vez é gerado de uma fração unitária (fração geratriz) em que o denominador é um determinado número primo.
Como visto acima, as seguintes frações unitárias e outras geram números cíclicos:
1/7, 1/19, 1/23, 1/29, 1/47, 1/59, 1/61, 1/97,...
A fração geratriz 1/7 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 7.
| 1 | ||
| --- | = | 0,142857 142857 142857 142857 142857 |
| 7 |
Período: 142 857 (6 algarismos)
O período 142 857 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 6 tem como produto o próprio período mas com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 142857 é um número cíclico.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
As frações de 2/7 a 6/7 geram naturalmente os números cíclicos do período 142857 da fração unitária 1/7.
Conforme se observa, não há necessidade de se multiplicar os números de 2 a 6 pelo período 142857143 para se obterem números cíclicos.
| Frações | |||
| de 1/7 a 6/7e números cíclicos | |||
| denominador | numerador | dízima | |
| (números | |||
| cíclico) | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857 |
| 2 | 7 | = | 0,285714 |
| 3 | 7 | = | 0,428571 |
| 4 | 7 | = | 0,571428 |
| 5 | 7 | = | 0,714285 |
| 6 | 7 | = | 0,857142 |
| 7 | 7 | = | 1 |
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Martin Gardner cita também que: "William Shanks, famoso por haver calculado as primeiras 707 casas decimais de (pi) π [...] descobriu um número cíclico gerado por 1/17389 e determinou, corretamente, seus 17388 dígitos”. 17389 um número primo.
Interessante observar que na época de Willian Shanks não havia computadores.
O Número Primo de Mersenne 127 é gerado da base 2 elevada ao expoente 7 menos 1 ( 2^7 - 1 = 127 ).
(127 x 128) / 2 = 8128 ( quarto número perfeito ).
Utilizando-se a Calculadora Científica do Sistema Operacional Windows 8.1, obtem-se da fração unitária 1 / 127 somente parte do período de sua dízima periódica:
0,00 787 401 574 803 149 606 299 212 598 425,
com 32 algarismos após a vígula, que corresponde a 1/4 do total real dos algarismos do período da dízima da fração 1/127.
Número primo cuja quantidade de algarismos do período da dízima periódica é p-1, isto é, 127 - 1 = 126, então o número primo gera número cíclico.
Efetuando-se divisões com o algoritmo usual de divisão com o dividendo 1 e o divisor 127, obtem-se um quociente, isto é, parte também do período da dízima periódica da fração 1/127 com 42 algarismos após a virgula que correspondem a 1/3 dos algarismos da própria dízima periódica da fração 1/127:
0,007 874 015 748 031 496 062 992 125 984 251 968 503 937.
Continuando as divisões, verifica-se que o "bloco de algarismos" acima de repetem de 42 em 42 "blocos".
Veja a ilustração da divisão de 1 por 127, pelo algoritmo usual de divisão.
Por meio de planilha digital, efetuou-se 42 etapas com cálculos de restos da divisão a partir do dividendo 1000 e o divisor 127 para se comprovarem os algarismos que compõem o período da dízima periódica da fração 1/127 realizados por meio do algoritmo usual de divisão.
Abaixo, detalhe da planilha com os primeiros 42 cálculos de restos de divisões, bem como, os respecitivos 42 algarismos que correspondem 1/3 dos algarismos do período da dízima periódica da fração 1/127.
| Resto da Divisão | |||||
| dividendo | divisor | resto da | quociente | ||
| etapas | divisão | (algarismos) | |||
| 1 | 0 | ||||
| 2 | 0 | ||||
| 3 | 1000 | 127 | 111 | 7 | |
| 4 | 111 | 1110 | 127 | 94 | 8 |
| 5 | 94 | 940 | 127 | 51 | 7 |
| 6 | 51 | 510 | 127 | 2 | 4 |
| 7 | 2 | 2 | 127 | 2 | 0 |
| 8 | 2 | 200 | 127 | 73 | 1 |
| 9 | 73 | 730 | 127 | 95 | 5 |
| 10 | 95 | 950 | 127 | 61 | 7 |
| 11 | 61 | 610 | 127 | 102 | 4 |
| 12 | 102 | 1020 | 127 | 4 | 8 |
| 13 | 4 | 4 | 127 | 4 | 0 |
| 14 | 4 | 400 | 127 | 19 | 3 |
| 15 | 19 | 190 | 127 | 63 | 1 |
| 16 | 63 | 630 | 127 | 122 | 4 |
| 17 | 122 | 1220 | 127 | 77 | 9 |
| 18 | 77 | 770 | 127 | 8 | 6 |
| 19 | 8 | 8 | 127 | 8 | 0 |
| 20 | 8 | 800 | 127 | 38 | 6 |
| 21 | 38 | 380 | 127 | 126 | 2 |
| 22 | 126 | 1260 | 127 | 117 | 9 |
| 23 | 117 | 1170 | 127 | 27 | 9 |
| 24 | 27 | 270 | 127 | 16 | 2 |
| 25 | 16 | 160 | 127 | 33 | 1 |
| 26 | 33 | 330 | 127 | 76 | 2 |
| 27 | 76 | 760 | 127 | 125 | 5 |
| 28 | 125 | 1250 | 127 | 107 | 9 |
| 29 | 107 | 1070 | 127 | 54 | 8 |
| 30 | 54 | 540 | 127 | 32 | 4 |
| 31 | 32 | 320 | 127 | 66 | 2 |
| 32 | 66 | 660 | 127 | 25 | 5 |
| 33 | 25 | 250 | 127 | 123 | 1 |
| 34 | 123 | 1230 | 127 | 87 | 9 |
| 35 | 87 | 870 | 127 | 108 | 6 |
| 36 | 108 | 1080 | 127 | 64 | 8 |
| 37 | 64 | 640 | 127 | 5 | 5 |
| 38 | 5 | 5 | 127 | 5 | 0 |
| 39 | 5 | 500 | 127 | 119 | 3 |
| 40 | 119 | 1190 | 127 | 47 | 9 |
| 41 | 47 | 470 | 127 | 89 | 3 |
| 42 | 89 | 890 | 127 | 1 | 7 |
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Posteriormente para comprovar cada resto da divisão da tabela acima, foram realizadas mais 42 etapas de resto da divisão em separado conforme exemplo abaixo.
Desta forma comprovou-se também cada algarismo que compõe o período da dízima períodica da fração 1/127.
| Resto da Divisão de 1000 por 127 | |||||
| 1 | 1000 | nenos | 127 | 873 | |
| 2 | 873 | nenos | 127 | 746 | |
| 3 | 746 | nenos | 127 | 619 | |
| 4 | 619 | nenos | 127 | 492 | |
| 5 | 492 | nenos | 127 | 365 | |
| 6 | 365 | nenos | 127 | 238 | |
| 7 | 238 | nenos | 127 | 111 | RESTO |
| 8 | 111 | nenos | 127 | -16 | |
| 9 | -16 | nenos | 127 | -143 | |
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Fração unitária em que o numerador é 1 e o denominador determinado número primo, apresenta uma interessante propriedade numérica que é a de gerar números cíclicos, propriedades estas e outras estudadas pelo Matemático frânces Étienne Midy em 1836, até ser redescoberto em 2004 por Brian Ginsberg. [1]
Uma das propriedades dos períodos das dízimas simples é que separando-a em duas partes e somando seus algarismos correspondentes / equidistantes o resultado é um número somente com algarismos 9.
Os 126 algarismos do período da dízima periódica da fração 1/127 separados em 2 partes de 63 algarismos cada e somados, têm como resultados números somente com o algarismo 9, comprovando-se assim que o Número Primo de Mersenne 127 também gera números cíclicos.
| Fração 1/127 | |||
| soma dos algarismos | |||
| do período de sua dízima | |||
| quantidade | primeira | segunda | soma |
| algarismos | parte | parte | |
| 1 | 0 | 9 | 9 |
| 2 | 0 | 9 | 9 |
| 3 | 7 | 2 | 9 |
| 4 | 8 | 1 | 9 |
| 5 | 7 | 2 | 9 |
| 6 | 4 | 5 | 9 |
| 7 | 0 | 9 | 9 |
| 8 | 1 | 8 | 9 |
| 9 | 5 | 4 | 9 |
| 10 | 7 | 2 | 9 |
| 11 | 4 | 5 | 9 |
| 12 | 8 | 1 | 9 |
| 13 | 0 | 9 | 9 |
| 14 | 3 | 6 | 9 |
| 15 | 1 | 8 | 9 |
| 16 | 4 | 5 | 9 |
| 17 | 9 | 0 | 9 |
| 18 | 6 | 3 | 9 |
| 19 | 0 | 9 | 9 |
| 20 | 6 | 3 | 9 |
| 21 | 2 | 7 | 9 |
| 22 | 9 | 0 | 9 |
| 23 | 9 | 0 | 9 |
| 24 | 2 | 7 | 9 |
| 25 | 1 | 8 | 9 |
| 26 | 2 | 7 | 9 |
| 27 | 5 | 4 | 9 |
| 28 | 9 | 0 | 9 |
| 29 | 8 | 1 | 9 |
| 30 | 4 | 5 | 9 |
| 31 | 2 | 7 | 9 |
| 32 | 5 | 4 | 9 |
| 33 | 1 | 8 | 9 |
| 34 | 9 | 0 | 9 |
| 35 | 6 | 3 | 9 |
| 36 | 8 | 1 | 9 |
| 37 | 5 | 4 | 9 |
| 38 | 0 | 9 | 9 |
| 39 | 3 | 6 | 9 |
| 40 | 9 | 0 | 9 |
| 41 | 3 | 6 | 9 |
| 42 | 7 | 2 | 9 |
| 43 | 0 | 9 | 9 |
| 44 | 0 | 9 | 9 |
| 45 | 7 | 2 | 9 |
| 46 | 8 | 1 | 9 |
| 47 | 7 | 2 | 9 |
| 48 | 4 | 5 | 9 |
| 49 | 0 | 9 | 9 |
| 50 | 1 | 8 | 9 |
| 51 | 5 | 4 | 9 |
| 52 | 7 | 2 | 9 |
| 53 | 4 | 5 | 9 |
| 54 | 8 | 1 | 9 |
| 55 | 0 | 9 | 9 |
| 56 | 3 | 6 | 9 |
| 57 | 1 | 8 | 9 |
| 58 | 4 | 5 | 9 |
| 59 | 9 | 0 | 9 |
| 60 | 6 | 3 | 9 |
| 61 | 0 | 9 | 9 |
| 62 | 6 | 3 | 9 |
| 63 | 2 | 7 | 9 |
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Autor: Ricardo Silva - abril/2025
[1] GARDNER, Martin. Circo matemático. Madri: Alianza Editorial, 1979. Disponível em:
http://www.librosmaravillosos.com/
in%20Gardner.pdf.
[2] DOLISI, Earl E. Periodic Decimal Fractions. A Thesis Presented to the Faculty of the Department of Mathematics Kansas State Teachers College of Emporia, August, 1973.
SAMPAIO, João Carlos Vieira. Dízimas periódicas e o teorema de
Étienne Midy. XI BIENAL DE MATEMÁTICA 2024. Disponível em:
https://www.dm.ufscar.br
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
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