Em sua vídeo-aula Aritmética - Aula 5 - Multiplicação, o Prof. Fábio Henrique propõe o seguinte desafio:
Qual o número que múltiplicado por 9 dá um um outro número somente com algarismos 1 (uns)?...
...e posteriormente em Aritmética - Aula 6 - Multiplicação, pares e ímpares, o Prof. Fábio apresenta a resolução do desafio:
12345679 x 9 = 111 111 111
Propriedades do número 111 111 111
Fatoração: 3^2 x 37 x 333667
Divisores ( 111 111 111 ): 1, 3, 9, 37, 111, 333, 333667, 1001001, 3003003, 12345679, 37037037, 111111111
Quantidade de divisores: 12
O interessante é que 9 multiplicado pela sequência 12345679 (sem o número 8), o produto é um número com 9 algarismos 1 (uns): 111.111.111.
O presente estudo demonstra que determinados números formados por quantidades pares de algarismos 1 (uns) apresentam relações numéricas com frações unitárias cujos denominadores são determinados números primos, bem como, com as quantidades de algarismos dos períodos de suas dízimas periódicas.
A fração unitária 1/7, denominada também, de fração geratriz da dízima periódica:
1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 14285714
é uma fração especial, isto é, ela faz parte de um conjunto de determinadas frações unitárias cujos períodos tem quantidades de algarismos 1 unidade menor que seu denominador, isto é, um número primo menos 1 unidade (p-1), e apresentam outras propriedades, ei-lás algumas:
O período 142 857 possui 6 algarismos, 1 unidade menor do denominador da fração 1/7.
Frações cujos períodos possuem p-1 algarismos formam números cíclicos, isto é, os algarismos mudam de posição a medida que eles são multiplicados por números naturais de 2 até o antecessor desse número primo (p-1), neste caso o 6.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
ou também por meio das frações de 2/7 a 6/7.
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| denominador | numerador | dízima | razão | ||
| (ordem / posição) | periódica | diferença | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
As dízimas periódicas originadas das frações de 1/7 a 6/7 formam uma progressão aritmética cuja razão é a propria dízima periódica da fração 1/7.
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| denominador | numerador | dízima | razão | ||
| (ordem / posição) | periódica | diferença | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Observação importante: além da razão ser uma constante, as dízimas periódicas possuem fatores primos semelhantes, fato este que não acontece por exemplo na sequência de números naturais que forma uma P.A. de razão 1 e que é uma constante, mas os fatores primos de cada termo são todos diferentes, sendo que há números primos, potências entre os termos, todos inteiros positivos.
Os fatores primos: 3, 11, 13, 37 são fatores comuns a todos os números cíclicos das frações de 1/7 a 6/7 e variando o 2 e 5.
| Período 142857 da fração 1 / 7 | |
| e números cíclicos | |
| números cíclicos | fatores primos |
| 142857 | 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 285714 | 2 × 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 428571 | 3^4 × 11 × 13 × 37 |
| 571428 | 2^2 × 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 714285 | 3^3 × 5 × 11 × 13 × 37 |
| 857142 | 2 × 3^4 × 11 × 13 × 37 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |
Número: 111.111 (6 uns)
Fatoração: 3 x 7 x 11 x 13 x 37
Divisores (111.111) : 1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221, 1443, 2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111
Quantidade de divisores: 32
O número 111.111 dividido por 3 e multiplicado por 9 não apresenta produto semelhante ao período da fração 1/3 = 0,3...
Fatores primos do número 37037
7 x 11 x 13 x 37 = 37037
111.111 / 3 = 37037
9 x 37037 = 333333 (número diferente de 3)
O número 111.111 dividido por 7 e multiplicado por 9 apresenta produto igual ao período / número cíclico da fração 1/7 = 0,142857.
Fatores primos do número 15873
3 x 11 x 13 x 37 = 15873
111.111 / 7 = 15873
9 x 15873 = 142857
Os números 7 e 15873 são divisores do número 111.111 e também formam pares multiplicativos, por 7 x 15873 = 111.111.
Em seu minicurso [1], pag. 15, o Professor João Carlos Vieira Sampaio expõe o seguinte exemplo 2.2:
"1/7 = 0,142857 é uma dízima periódica simples de comprimento L (7) = 6.
O primeiro múltiplo de 7 formado só por noves é 999999, que possui L = 6 dígitos.
De fato, como 1/7 = 142857/999999 temos 7 x 142857 = 999999 e os inteiros 9, 99, 999, 9999 e 99999 não são múltiplos de 7, pois caso contrário a dízima periódica de 1/7 teria menos que 6 dígitos".
Observação: onde se lê L (éle maiúsculo) na verdade é (éle minúsculo e manuscrito), o grifo é nosso. Incompatibilidade da linguagem HTML.
O exemplo exposto neste estudo demonstra também que com o número 111111 formado por 6 algarismos 1 (uns) obtem-se o período 142857:
de fato, 111111 / 7 = 142857 / 9,
pois o produto dos meios é igual ao produto dos extremos
7 x 142857 = 999999
e 9 x 111111 = 999999
Entre os primos 3, 7, 11, 13, 37, o número 7 é o único cuja fração 1/7 apresenta 6 algarismos em seu período com cálculos efetuados com o número 111.111 neste estudo.
O número 111.111 dividido por 3 e multiplicado por 9 não apresenta produto semelhante ao período da fração 1/11 = 0,09...
Fatores primos do número 10101
3 x 7 x 13 x 37 = 10101
111.111 / 11 = 10101
9 x 10101 = 90909 (número diferente de 09)
O número 111.111 dividido por 3 e multiplicado por 9 apresenta produto semelhante ao período da fração 1/13 = 0,076923...
Fatores primos do número 8547
3 x 7 x 11 x 37 = 8547
111.111 / 13 = 8547
9 x 8547 = 76923 (falta o algarismo 0)
Efetuando a proporção:
111.111 / 13 = 076923 / 9
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos
13 x 076923 = 999999
e 9 x 111111 = 999999
O número 111.111 dividido por 37 e multiplicado por 9 não apresenta produto semelhante ao período da fração 1/37 = 0,027...
Fatores primos do número 3003
3 x 7 x 11 x 13 = 3003
111.111 / 37 = 3003
9 x 3003 = 27027 (número diferente de 027)
O número 1.111.111.111.111.111 dividido por 17 e multiplicado por 9 apresenta produto semelhante ao período / número cíclico da fração 1/17 = 0,0588235294117647
Número: 1 111 111 111 111 111 (16 uns)
Fatoração: 11 × 17 × 73 × 101 × 137 × 5882353
Divisores: 1, 11, 17, 73, 101, 137, 187, 803, 1111, 1241, 1507, 1717, 2329, 7373, 10001, 13651,13837, 18887, 25619, 81103, 110011, 125341, 152207, 170017, 235229, 1010101, 1378751, 1870187, 2587519, 5882353, 11111111, 17171717, 64705883, 100000001, 188888887, 429411769, 594117653, 805882361,1100000011, 4723529459, 6535294183, 7300000073, 8864705971, 10100000101, 13700000137, 43370588669,58829412353, 80300000803, 81394118461, 111100001111, 150700001507, 477076475359, 647123535883, 737300007373, 895335303071, 1000100010001, 1383700013837, 5941770647653, 8110300081103, 11001100110011, 15220700152207, 65359477124183, 101010101010101, 1111111111111111
Quantidade de divisores: 64
Fatores primos do número 65359477124183
11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 = 65359477124183
1.111.111.111.111.111 / 17 = 65359477124183
9 x 65359477124183 = 588235294117647 (falta o algarismo 0)
O número 111.111.111.111.111.111 dividido por 19 e multiplicado por 9 apresenta produto semelhante ao período / número cíclico da fração 1/19 = 0,052631578947368421
Número: 111 111 111 111 111 111 (18 uns)
Fatoração: 3 x 3 × 7 × 11 × 13 × 19 × 37 x 52579 x 333667
Quantidade de divisores: 384
111.111.111.111.111.111 / 19 = 5847953216374269
9 x 5847953216374269 = 52631578947368421 (falta o algarismo 0)
Autor: Ari Costa e Ricardo Silva - abril/2025
SAMPAIO, João Carlos Vieira. Dízimas periódicas e o teorema de
Étienne Midy. XI BIENAL DE MATEMÁTICA 2024. Disponível em:
https://www.dm.ufscar.br
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
https://www.youtube.com/
https://www.youtube.com/
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
