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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números palíndromos e números racionais e irracionais - 327

Números Palíndromos são números que invertendo as posições de seus algarismos podem ser lidos da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda e o seu valor continua sendo o mesmo.

Na sequências dos números naturais, a cada dez números há um número palíndromo.

Exemplos:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101,... etc.

O número 11 é o primeiro número palíndromo primo formado com 2 algarismos.

Um dos métodos para se formar número palíndromo é escolher um número aleatório, inverter as posições de seus algarismos e somá-lo com o número escolhido.

Exemplo:

Número 10

10 + 01 = 11

O número 11 é o primeiro número palíndromo formado com 2 algarismos por meio da soma do número 10 com a inversão de seus algarismos.

Observação: nem sempre se consegue um palíndromo na primeira etapa, isto é, na primeira soma.

O número 196 (quadrado do número 14) é um número que já foram feitas milhões de tentativas (inversões e somas) e até o presente momento não possível formar palíndromo.

Neste estudo são abordados ocorrências de sequências de algarismos que formam números palíndromos na parte decimal de determinados números racionais e de números irracionais.

Números racionais

Números racionais são números que resultam de dois números inteiros.

Números fracionários (frações)

Número racional pode ser representado por uma fração.

Exemplos:

2/10

3/10

4/10

5/10

-2/10

-3/10

-4/10

-5/10

Números decimais

Número racional pode ser representado na forma decimal.

Exemplos:

2/10 = 0,2

3/10 = 0,3

4/10 = 0,4

5/10 = 0,5

-2/10 = -0,2

-3/10 = -0,3

-4/10 = -0,4

-5/10 = -0,5

Decimal exato e dízima periódica

Quando transformamos fração em número decimal, podemos obter:

Decimal exato

Decimal exato são números formados por finito algarismos.

Exemplos:

2/10 = 0,2

3/10 = 0,3

12/10 = 1,2

Dízima periódica simples

Dízima periódica simples é um número decimal em que a parte periódica após a vírgula, se repete infinitamente.

Exemplos:

1/9 = 0,111111111...

2/9 = 0,222222222...

Dízima periódica composta

Dízima periódica composta é número decimal que após a vírgula, há uma parte não periódica e outra outra parte periódica e infinita.

Exemplos:

11/90 = 0,122222222...

12/90 = 0,133333333...

Números Irracionais

Números irracionais são números que não podem ser representados por frações.

Números irracionais são números cujas representações decimais são infinitas e não periódicas.

Exemplos:

Número Π (pi)

Número obtido da divisão do comprimento da circunferência pelo diâmetro.

3,1415926535897932384626433832795

Número Ф (phi)

Número obtido da divisão de um termo sucessor por um termo antecessor da Sequência de Fibonacci.

1,6180371352785145888594164456233

Raízes Quadradas Não Exatas

√2 = 1,4142135623730950488016887242097

Aparece na diagonal de quadrado de lado 1.

√3 = 1,7320508075688772935274463415059

Aparece na altura de triângulo equilátero.

√5 = 2,2360679774997896964091736687313

Aparece na razão da diagonal do pentágono com o seu lado.

Os números √2, √3 e √5 aparecem na figura geométrica da Vesica Piscis.

Os números √6, √7, √8, √10, √11... são irracionais.

Números palíndromos em números racionais

Em determinados números racionais são possíveis de se encontrar grupos ou sequências de algarismos na parte decimal que formam palíndromos:

Frações cujos denominadores é o número 3

1/3 = 0,333 333...

2/3 = 0,666 666...

5/3 = 1,666 666...

7/3 = 2,333 333...

8/3 = 2,666 666...

10/3 = 3,333 333...

Frações cujos denominadores é o número 9

1/9 = 0,111 111...

2/9 = 0,222 222...

3/9 = 0,333 333...

4/9 = 0,444 444...

5/9 = 0,555 555...

6/9 = 0,666 666...

7/9 = 0,777 777...

8/9 = 0,888 888...

Frações com numeradores e denominadores - números primos

3/11 = 0,272 727 272 727 ...

3/23 = 0,1304347826086956521739...

3/31 = 0,096774193548387...

3/53 = 0,0566037735849....

3/61 = 0,04918032786885245901639344262 295...

Números palíndromos em números irracionais

Em números irracionais também são possíveis de se encontrar grupos ou sequências de algarismos na parte decimal que formam palídromos:

Número pi

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 2795

Número phi

1,618 037 135 278 514 588 859 416 445 6233

Raizes Quadradas não Exatas

√2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 2097

√3 = 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 5059

√5 = 2,236 067 977 499 789 696 409 173 668 7313

√6 = 2,449489 7427831780981972840747059

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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