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Números Quadrados Perfeitos Palíndromos - 220

Para quem ouve ou lê as palavras palíndromo ou capicua pela primeira vez, deve soar estranho, para mim, palíndromo soava como algo feito de metal e capicua soava algo que deveria ser capitado, entendido, compreendido...

Palíndromo ou capicua são formas de se escrever palavras, frases, textos, números ou datas de forma que podemos ler tanto da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda.

Exemplos:

ama = ama

asa = asa

osso = osso

11 = 11

22 = 11

33 = 33

20/02/2002

01/02/2010

Alguns números palíndromos são até facéis de se falar e de se escrever cujos algarismos são repetidos:

Exemplos:

11, 111, 1111,...

22, 222, 2222,...

33, 333, 3333,...

1221, 2112, 3223, 3443, 4554, 5665,...

Um dos métodos de obter palíndromo é escolher um número aleatoriamente, inverter a posição de seus algarismos e depois somá-los com este mesmo número.

Exemplos:

10 + 01 = 11

11 + 11 = 22

12 + 21 = 33

13 + 31 = 44

Mas este método nem sempre funciona na primeira inversão e soma dos algarismos, ai é preciso repetir o processo com o próximo número obtido e mesmo assim não é garantido formar palíndromo.

Exemplo é o número 196 que desde a década de 1980, matemáticos e estudiosos vem tentando formar palíndromo com ele, mas os resultados tem sido em vão.

Em 2011, Romain Dolbeau, com seu sistema computacional Distributed Processing executou 1 bilhão de iterações (repetições) chegando a números com 400.000.000 de dígitos e também não conseguiu formar palíndromo com o número 196. [1]

Números Quadrados Perfeitos

Analisando os 1000 primeiros números naturais e seus respectivos quadrados perfeitos, verifica-se que números quadrados perfeitos palíndromos também são raros, isto é, suas ocorrências são aleatórias.

Veja alguns números quadrados perfeitos palíndromos:

a) 11² = 121

11 é número primo

b) 22² = 484

c) 26² = 676

d) 121² = 14641

e) 202² = 40804

f) 212² = 44944

g) 264² = 69696

h) 307² = 94249

307 é número primo

i) 836² = 698896

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 121

O número 121 é o quadrado perfeito do número 11.

11 é o primeiro número palíndromo de 2 algarismos.

A multiplicação de determinados números naturais pelo número quadrado palíndromo 121 podem gerar também números palíndromos.

Determinados múltiplos do quadrado perfeito palíndromo 121 que tanto podem ser palíndromos ou não quando extraídas as raízes quadradas, estas raízes também podem ser números palíndromos.

Importante observar que produtos de quadrados são sempre quadrados.

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 484

O número 484 é o quadrado perfeito do número 22 e que o dobro de 11.

A multiplicação de determinados números naturais pelo número quadrado palíndromo 484 podem gerar também números palíndromos.

Determinados múltiplos do quadrado perfeito palíndromo 484 que tanto podem ser palíndromos ou não quando extraídas as raízes quadradas, estas raízes também podem ser números palíndromos.

Importante observar que produtos de quadrados são sempre quadrados.

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 14641

O número 14641 é o quadrado perfeito do número quadrado 121.

A multiplicação de determinados números naturais pelo número quadrado palíndromo 14641 podem gerar também números palíndromos.

Determinados múltiplos do quadrado perfeito palíndromo 14641 que tanto podem ser palíndromos ou não quando extraídas as raízes quadradas, estas raízes também podem ser números palíndromos.

Importante observar que produtos de quadrados são sempre quadrados.

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 234256

O número 234256 é o quadrado perfeito do número quadrado 484.

A multiplicação de determinados números naturais pelo número quadrado palíndromo 234256 podem gerar também números palíndromos.

Determinados múltiplos do quadrado perfeito palíndromo 234256 que tanto podem ser palíndromos ou não quando extraídas as raízes quadradas, estas raízes também podem ser números palíndromos.

Importante observar que produtos de quadrados são sempre quadrados.

Um fato interessante a destacar é que 196 é um número que até os dias atuais não se conseguiu formar palíndromo.

A raiz quadrada do produto de 196 (quadrado) por 234256 (quadrado) têm como resultado o palíndromo 6776.

Soma de 2 números triangulares consecutivos

A soma de 2 números triangulares consecutivos têm com resultados números quadrados perfeitos.

Determinadas somas de 2 números triangulares têm como resultados números quadrados perfeitos palíndromos.

a) a soma dos triangulares 55 e 66 palíndromos resultam no palíndromo 121 quadrado perfeito;

b) a soma dos triangulares palíndromos 231 e 253 resultam no quadrado perfeito palíndromo 484;

c) a soma dos triangulares palíndromos 325 e 351 resultam no quadrado perfeito palíndromo 676;

d) a soma dos triangulares palíndromos 7260 e 7381 resultam no quadrado perfeito palíndromo 14641 :

Autor: Ricardo Silva - junho/2019

atualizado em 21/08/2025

Fontes Bibliográficas:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Lychrel_number

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