logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrado Mágico 4x4 e Números Cíclicos das Frações n/17- 557

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas em quantidade de números quadrados perfeitos.

Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas, progressões geométricas, bem como, com determinados conjuntos de divisores de um número natural.

Quadrado Mágico 4x4 e Números Cíclicos das Frações 1/17 a 16/17

Conforme citação de Martin Gardner: "O Quadrado Mágico 18x18 - Número Cíclico: 052 631 578 947 368 421 foi publicado pela primeira vez no livro Magic Squares e Cubes, obra de W. S. Andrews datada de 1917 e segundo Andrews é o primeiro quadrado mágico construído com número cíclico (com algarismos de números cíclicos)" [2], o grifo é nosso.

Reiterando, o Quadrado Mágico 18x18, citado acima, foi o primeiro quadrado mágico construído com algarismos de números cíclicos alocados cada um em suas respectivas células do quadrado.

O presente estudo demonstra a construção de Quadrado Mágico 4x4 com os primeiros períodos das dízimas períodicas das frações 1/17 a 16/17, também denominadas de números cíclicos.

Números Racionais

Número Racional é um número gerado da divisão de 2 números inteiros.

Números racionais podem ser representados:

a) por meio de uma fração;

b) ou por meio de um número decimal.

Quando transformamos uma fração em número decimal, podemos obter:

a) um decimal exato;

b) ou uma dízima periódica.

Dízimas Perióridas podem ser:

a) simples - quando a parte periódica começa logo após a vígula.

b) composta - quando após a vírgula vem uma parte não periódica e posteriormente a parte periódica.

Fração 1/17

A fração unitária (fração geratriz) 1/17 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 17.

1    
----- = 0,0588235294117647 0588235294117647
17    

Período: 0 588 235 294 117 647 (16 algarismos)

Frações 1/17 a 16/17

A frações 1/17 a 16/17 geram dízimas periódicas simples cujos períodos apresentam seus algarismos permutados em relação ao período gerado da fração unitária 1/17: 0 588 235 294 117 647 (16 algarismos).

Observação: conforme se verifica, não há necessidade de se multiplicar o período 0 588 235 294 117 647 por números naturais de 2 a 16 para se obterem números cíclicos.

Frações de 1/17 a 16/17
e números cíclicos
     
frações   dízimas periódicas /
    números cíclicos
     
1 / 17 = 0588235294117647
2 / 17 = 1176470588235294
3 / 17 = 1764705882352941
4 / 17 = 2352941176470588
5 / 17 = 2941176470588235
6 / 17 = 3529411764705882
7 / 17 = 4117647058823529
8 / 17 = 4705882352941176
9 / 17 = 5294117647058823
10 / 17 = 5882352941176470
11 / 17 = 6470588235294117
12 / 17 = 7058823529411764
13 / 17 = 7647058823529411
14 / 17 = 8235294117647058
15 / 17 = 8823529411764705
16 / 17 = 9411764705882352
     
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Números cíclicos

Fração unitária em que o numerador é 1 e o denominador determinado número primo, apresenta uma interessante propriedade numérica que é a de gerar números cíclicos, propriedades estas e outras estudadas pelo Matemático frânces Étienne Midy em 1836, até ser redescoberto em 2004 por Brian Ginsberg. [1]

Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]

Dízimas Periódicas Simples e períodos

Dizímas periódicas simples cujos períodos possuem quantidade de algarismos pares apresenta uma propriedade muito interessante.

Dividindo-se o período em duas partes e somando-os, o resultado é um número somente com algarismos 9.

Exemplo:

Período: 05882352 94117647 (16 algarismos) da fração 1/17.

  05882352
+ 94117647
  ------------
  99999999

Propriedade esta descoberta pelo Matemático francês Étienne Midy em 1836. [1]

Número Cíclico 0588235294117647 e progressão aritmética

As dízimas periódicas originadas das frações de 1/17 a 16/17 formam progressão aritmética cuja razão é o período 058 823 529 411 7647 (número cíclico).

Frações
de 1/17 a 16 / 17
e progressão aritimética
         
fração   dízima   razão
         
1 / 17 = 0588235294117647 =  
2 / 17 = 1176470588235294 = 0588235294117647
3 / 17 = 1764705882352941 = ''
4 / 17 = 2352941176470588 = ''
5 / 17 = 2941176470588235 = ''
6 / 17 = 3529411764705882 = '
7 / 17 = 4117647058823529 = ''
8 / 17 = 4705882352941176 = ''
9 / 17 = 5294117647058823 = ''
10 / 17 = 5882352941176470 = ''
11 / 17 = 6470588235294117 = ''
12 / 17 = 7058823529411764 = ''
13 / 17 = 7647058823529411 = ''
14 / 17 = 8235294117647058 = ''
15 / 17 = 8823529411764705 = ''
16 / 17 = 9411764705882352 = ''
         
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Quadrado Mágico 4x4 e números cíclicos das frações 1/17 a 16/17

Quadrado Mágico 4x4 e números cíclicos das frações 1/17 a 16/17.

Soma de cada linha: 2

Soma de cada coluna: 2

Soma de cada diagonal: 2

Soma de todos os números: 8

Constante Mágica 2:

Quadrado Mágico 4x4
e números cíclicos
das fraçoes 1/17 a 16/17
2
0,9411764705882350 0,1176470588235290 0,1764705882352940 0,7647058823529410   2
0,2941176470588240 0,6470588235294120 0,5882352941176470 0,4705882352941180 2
0,5294117647058820 0,4117647058823530 0,3529411764705880 0,7058823529411770 2
0,2352941176470590 0,8235294117647060 0,8823529411764710 0,0588235294117647 2
2 2 2 2 2
         
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

 

Observação importante:

O número primo 17 menos 1 unidade é igual a 16 e que corresponde a quadrado mágico 4x4, isto é, 4 linhas e 4 colunas (16 células).

Número primo terminado em 1 e subtraído 1 unidade terá como diferença número terminado em 0.

Há números quadrados perfeitos terminado em 0 (zero).

Número primo terminado em 3 e subtraído 1 unidade terá como diferença número terminado em 2.

Não há quadrado perfeito terminado em 2.

Número primo terminado em 9 e subtraído 1 unidade terá como diferença número terminado em 8.

Não há quadrado perfeito terminado em 8.

Portanto, os futuros quadrados mágicos a serem construídos com números cíclicos necessariamente serão originados de números primos terminados em 1 ou 7 e as quantidades de algarismos dos períodos serem exatamente p-1 e cujo número seja quadrado perfeito.

17 é um primo de Fermat

17 - 1 = 16 é quadrado perfeito

(p-1) = 16 (comprovado)

257 é um primo de Fermat.

257 - 1 = 256 é quadrado perfeito

(p-1) = 256 (comprovado)

Para construir este quadrado mágico, precisa-se:

a) de uma planilha digital cuja célula comporte pelo menos números de 270 dígitos.

b) realizar 257 divisões de 1/257 a 256/257

65.537 é um primo de Fermat.

65.537 - 1 = 65.536 é quadrado perfeito

(p-1) = 65.536 (comprovado)

Para construir este quadrado mágico, precisa-se:

a) de uma planilha digital cuja célula comporte pelo menos números de 65.550 dígitos.

b) realizar 65.537 divisões de 1/65.537 a 65.636/65.537

Qual será o próximo de primo de Fermat?

Veja que:

4^2 = 16

16^2 = 256

256^2 = 65.536

Quadrado Semi-Mágico 16x16 e números cíclicos das frações 1/17 a 16/17

Com os algarismos dos números cíclicos gerados das frações 1/17 a 16/17 não foi possível construir um quadrado mágico, mas sim um quadrado semi-magico.

Para mais informações veja:

011-estudos-556-quadrado-semi-magico-16x16-dizimas-periodicas-numeros-ciclicos

e também Matérias Relacionadas abaixo!

Observações / Indagações

Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]

Analisando os números primos:

a) 7 é Primo de Mersenne, será que 127 e outros Primos de Mersenne que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?

b) 17 é um Primo de Fermat, será que 257 e 65.537 que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?

c) 7 é 1 unidade maior que o número perfeito 6.

d) 29 é 1 unidade maior que o número perfeito 28.

e) será que 33.550.337 e 137.438.691.329 que são primos e 1 unidade maior que os perfeitos 33.550.336 e 137.438.691.328 respectivamente e outros podem gerar números cíclicos?

 

Autor:Ricardo Silva - abril/2025

Fontes Bibliográficas:

[1] ALVES, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2022.

[2] GARDNER, Martin. Circo matemático. Madri: Alianza Editorial, 1979. Disponível em:
http://www.librosmaravillosos.com/ circomatematico/pdf/ Circo%20matematico%20-%20Mart
in%20Gardner.pdf. Acesso em: 03 abril. 2025.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Matérias relacionadas:

011-estudos-327-numeros-palindromos-e-numeros-racionais-e-irracionais
011-estudos-554-dizimas-periodicas-progressoes-aritmeticas
011-estudos-555-quadrados-magicos-18x18-numeros-ciclicos-fracoes-n-19
011-estudos-556-quadrado-semi-magico-16x16-dizimas-periodicas-numeros-ciclicos
011-estudos-558-numeros-ciclicos-e-os-numeros-de-fermat-mersenne-perfeitos
011-estudos-559-numeros-primos-e-dizimas-periodicas
Livro digital (e-book)
Escada de Theon
e Sequências Numéricas
Escada de Theon e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Números Primos e o
Método Números Atraentes
livro Números Primos e o Método Números Atraentes

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Progressões Aritméticas e Geométricas
livro digital Progressões Aritméticas e Geometricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)
Tabuada de Pythagoras
e Sequências Numéricas
livro digital Tabuada de Pythagoras e sequências numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)
Estudos de Sequências Numéricas
livro estudos de sequências numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)
Os Fantásticos Números Primos
livro os fantasticos números primos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)
Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas
livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

Recebam GRATUITAMENTE
o E-book
Triângulo Retângulo

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br

Livro Digital (e-book) Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos
livro descobrindo numeros primos a partir numeros compostos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (E-book) Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas
livro quadrados mágicos e sequências numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Números Triangulares e Sequências Numéricas
livro triangulares e sequências numéricas mágicas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual digital (E-book) Quadrado Mágico Triplo
livro quadrado mágico triplo
LIVRO GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Números Perfeitos e Sequências Numéricas
livro Números Perfeitos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual Digital (E-book) Multiplicação através da soma de múltiplos
livro multiplicação através da soma de múltiplos
LIVRO GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS


Prezado visitante, o conteúdo do

WebSite Os Fantásticos Números Primos

está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado,

desde que informando ao autor o local e

o meio em que será utilizado e divulgado,

através do e-mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
logotipo Ric Desing

Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.


Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).


Desenvolvimento de WebSite.


Contato

ric@osfantasticosnumerosprimos.com.br

fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos