O presente estudo tem como referência, e-mail enviado pelo Professor de Química Fernando Manso, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM.
"Um fato curioso sobre primos e quadrados perfeitos.
n^2 = (n-1)^2 + P,
onde Q é um quadrado perfeito e P é um número primo.
O fato curioso é que essa é a única maneira de escrever um quadrado perfeito como soma de outro quadrado e um número primo.
Se na soma você não conseguir com o quadrado de (Q-1),
você não conseguirá com nenhum outro quadrado.
Ex: 13^2 = 12^2 + 25.
Observe que 25 é um quadrado perfeito.
Isso implica que 13^2 não pode ser escrito como a soma de um quadrado e um número primo.
Não adianta você tentar com nenhum outro quadrado diferente de 12 (13-1);
Veja alguns casos:
13^2 = 6^2 + 133 (133 = 7x19);
13^2 = 10^2 + 69 (69 = 3x23),
pode testar todos os outros valores.
Outro exemplo 19^2 = 18^2 + 37.
Como 37 é primo,
19^2 pode ser escrito como a soma de
18^2 = (Q-1) + P
e essa maneira é única."
A soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos apresentam importantes regularidades numéricas:
a) as somas são números da forma 4x + 1, números estes que podem ser escritos como soma de 2 números quadrados perfeitos, descoberta realizada por Pierre de Fermat;
b) as somas resultam também em números múltiplos de 5;
c) nas somas há ocorrências de números primos, mas aleatoriamente;
d) há ocorrências de números quadrados que fazem parte de ternos pitagóricos raros.
Ternos Pitagóricos Raros são ternos pitagóricos cujos catetos são números consecutivos e que diferem em 1 unidade.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
As diferenças entre 2 números quadrados perfeitos, sendo um sucessor e outro antecessor apresentam os seguintes resultados:
a) as diferenças são números ímpares consecutivos a partir do número 3;
b) nas diferenças há a sequência de números primos;
c) nas diferenças há a sequência de números quadrados ímpares a partir do número quadrado perfeito 9.
Outra propriedade que se constata nas diferenças entre números quadrados perfeitos é quando a diferença é também um número quadrado perfeito em que há relação com o produto do número 4 por um número triangular, isto é, o quádruplo de um número triangular e que corresponde a raíz quadrada de um quadrado antecessor (quadrado par, o de menor valor).
| Tabela | ||||
| Diferença entre | ||||
| números quadrados perfeitos | ||||
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 1 | 1 | 4 | 3 | |
| 2 | 4 | 9 | 5 | |
| 3 | 9 | 16 | 7 | |
| 4x1 | 4 | 16 | 25 | 9 |
| 5 | 25 | 36 | 11 | |
| 6 | 36 | 49 | 13 | |
| 7 | 49 | 64 | 15 | |
| 8 | 64 | 81 | 17 | |
| 9 | 81 | 100 | 19 | |
| 10 | 100 | 121 | 21 | |
| 11 | 121 | 144 | 23 | |
| 4x3 | 12 | 144 | 169 | 25 |
| 13 | 169 | 196 | 27 | |
| 14 | 196 | 225 | 29 | |
| 15 | 225 | 256 | 31 | |
| 16 | 256 | 289 | 33 | |
| 17 | 289 | 324 | 35 | |
| 18 | 324 | 361 | 37 | |
| 19 | 361 | 400 | 39 | |
| 20 | 400 | 441 | 41 | |
| 21 | 441 | 484 | 43 | |
| 22 | 484 | 529 | 45 | |
| 23 | 529 | 576 | 47 | |
| 4x6 | 24 | 576 | 625 | 49 |
| 25 | 625 | 676 | 51 | |
| 26 | 676 | 729 | 53 | |
| 27 | 729 | 784 | 55 | |
| 28 | 784 | 841 | 57 | |
| 29 | 841 | 900 | 59 | |
| 30 | 900 | 961 | 61 | |
| 31 | 961 | 1024 | 63 | |
| 32 | 1024 | 1089 | 65 | |
| 33 | 1089 | 1156 | 67 | |
| 34 | 1156 | 1225 | 69 | |
| 35 | 1225 | 1296 | 71 | |
| 36 | 1296 | 1369 | 73 | |
| 37 | 1369 | 1444 | 75 | |
| 38 | 1444 | 1521 | 77 | |
| 39 | 1521 | 1600 | 79 | |
| 4x10 | 40 | 1600 | 1681 | 81 |
| 41 | 1681 | 1764 | 83 | |
| 42 | 1764 | 1849 | 85 | |
| 43 | 1849 | 1936 | 87 | |
| 44 | 1936 | 2025 | 89 | |
| 45 | 2025 | 2116 | 91 | |
| 46 | 2116 | 2209 | 93 | |
| 47 | 2209 | 2304 | 95 | |
| 48 | 2304 | 2401 | 97 | |
| 49 | 2401 | 2500 | 99 | |
| 50 | 2500 | 2601 | 101 | |
| 51 | 2601 | 2704 | 103 | |
| 52 | 2704 | 2809 | 105 | |
| 53 | 2809 | 2916 | 107 | |
| 54 | 2916 | 3025 | 109 | |
| 55 | 3025 | 3136 | 111 | |
| 56 | 3136 | 3249 | 113 | |
| 57 | 3249 | 3364 | 115 | |
| 58 | 3364 | 3481 | 117 | |
| 59 | 3481 | 3600 | 119 | |
| 4x15 | 60 | 3600 | 3721 | 121 |
| 61 | 3721 | 3844 | 123 | |
| 62 | 3844 | 3969 | 125 | |
| 63 | 3969 | 4096 | 127 | |
| 64 | 4096 | 4225 | 129 | |
| 65 | 4225 | 4356 | 131 | |
| 66 | 4356 | 4489 | 133 | |
| 67 | 4489 | 4624 | 135 | |
| 68 | 4624 | 4761 | 137 | |
| 69 | 4761 | 4900 | 139 | |
| 70 | 4900 | 5041 | 141 | |
| 71 | 5041 | 5184 | 143 | |
| 72 | 5184 | 5329 | 145 | |
| 73 | 5329 | 5476 | 147 | |
| 74 | 5476 | 5625 | 149 | |
| 75 | 5625 | 5776 | 151 | |
| 76 | 5776 | 5929 | 153 | |
| 77 | 5929 | 6084 | 155 | |
| 78 | 6084 | 6241 | 157 | |
| 79 | 6241 | 6400 | 159 | |
| 80 | 6400 | 6561 | 161 | |
| 81 | 6561 | 6724 | 163 | |
| 82 | 6724 | 6889 | 165 | |
| 83 | 6889 | 7056 | 167 | |
| 4x21 | 84 | 7056 | 7225 | 169 |
| 85 | 7225 | 7396 | 171 | |
| 86 | 7396 | 7569 | 173 | |
| 87 | 7569 | 7744 | 175 | |
| 88 | 7744 | 7921 | 177 | |
| 89 | 7921 | 8100 | 179 | |
| 90 | 8100 | 8281 | 181 | |
| 91 | 8281 | 8464 | 183 | |
| 92 | 8464 | 8649 | 185 | |
| 93 | 8649 | 8836 | 187 | |
| 94 | 8836 | 9025 | 189 | |
| 95 | 9025 | 9216 | 191 | |
| 96 | 9216 | 9409 | 193 | |
| 97 | 9409 | 9604 | 195 | |
| 98 | 9604 | 9801 | 197 | |
| 99 | 9801 | 10000 | 199 | |
| 100 | 10000 | |||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Números quadrados perfeitos ímpares são números que subtraídos 1 unidade ao serem divididos por 4 e 8 têm como quocientes números retangulares e triangulares respectivamente:
a) número quadrado perfeito 9
9 - 1 = 8
8 : 4 = 2 (número retangular)
8 : 8 = 1 (número triangular)
b) número quadrado perfeito 25
25 - 1 = 24
24 : 4 = 6 (número retangular)
24 : 8 = 3 (número triangular)
c) número quadrado perfeito 49
49 - 1 = 48
48 : 4 = 12 (número retangular)
48 : 8 = 6 (número triangular)
A diferença entre um número quadrado perfeito sucessor e um quadrado antecessor cuja ordem / posição é o quádruplo de um número triangular é também um número quadrado perfeito da forma 4x + 1.
Os quadrados perfeitos são quadrados de ternos pitagóricos primitivos.
As diferenças de quadrados são quadrados de catetos menores.
Os quadrados antecessores são quadrados de catetos maiores.
Os quadrados sucessores são quadrados de hipotenusas.
Realizando subtrações sucessivas de quadrados perfeitos entre Quadrado Sucessor não se encontraram duplas de subtraendos e diferenças sendo quadrados perfeitos e número primos respectivamente.
Para mais informações, veja abaixo, Método Números Atraentes!
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 3 | 9 | 16 | 7 | |
| 4x1 | 4 | 16 | 25 | 9 |
| 5 | 25 | 36 | 11 |
Quadrado perfeito 25 escrito como soma de 2 quadrados.
9 + 16 = 25
0 + 25 = 25
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 11 | 121 | 144 | 23 | |
| 4x3 | 12 | 144 | 169 | 25 |
| 13 | 169 | 196 | 27 |
Quadrado perfeito 169 escrito como soma de 2 quadrados.
25 + 144 = 169
0 + 169 = 169
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 23 | 529 | 576 | 47 | |
| 4x6 | 24 | 576 | 625 | 49 |
| 25 | 625 | 676 | 51 |
Quadrado perfeito 625 escrito como soma de 2 quadrados.
49 + 576 = 625
225 + 400 = 625
0 + 625 = 625
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 39 | 1521 | 1600 | 79 | |
| 4x10 | 40 | 1600 | 1681 | 81 |
| 41 | 1681 | 1764 | 83 |
Quadrado perfeito 1681 escrito como soma de 2 quadrados.
81 + 1600 = 1681
0 + 1681 = 1681
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 59 | 3481 | 3600 | 119 | |
| 4x15 | 60 | 3600 | 3721 | 121 |
| 61 | 3721 | 3844 | 123 |
Quadrado perfeito 3721 escrito como soma de 2 quadrados.
121 + 3600 = 1681
0 + 3721 = 3721
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 83 | 6889 | 7056 | 167 | |
| 4x21 | 84 | 7056 | 7225 | 169 |
| 85 | 7225 | 7396 | 171 |
Quadrado perfeito 7225 escrito como soma de 2 quadrados.
169 + 7056 = 7225
0 + 7225 = 3721
Determinados números quadrados perfeitos que não são de ordens / posições de quadrúplos de triangulares podem ser escritos como um quadrado e um número primo.
Exemplos:
| Número | Quadrado | Quadrado | Diferença | |
| (raiz) | antecessor | sucessor | de quadrados | |
| Ímpares | ||||
| 1 | 1 | 4 | 3 | |
| 2 | 4 | 9 | 5 | |
| 3 | 9 | 16 | 7 | |
| 4x1 | 4 | 16 | 25 | 9 |
Quadrado perfeito 4 escrito como um quadrado e um primo.
1 + 3 = 4
Quadrado perfeito 9 escrito como um quadrado e um primo.
4 + 5 = 9
Quadrado perfeito 16 escrito como um quadrado e um primo
9 + 7 = 16
Em todo número quadrado perfeito está "embutido" um quadrado perfeito antecessor e um número ímpar, número ímpar este que pode ser um composto, um quadrado perfeito ou primo.
a) todo número ímpar pode ser escrito como o dobro de uma raiz quadrada somada 1 unidade;
2 x 1 + 1 = 3
2 x 2 + 1 = 5
2 x 3 + 1 = 7
2 x 4 + 1 = 9
2 x 5 + 1 = 11
2 x 7 + 1 = 15
b) todo quadrado perfeito pode ser escrito como um quadrado e o dobro da raiz desse quadrado e 1 unidade;
1 + ( 2 x 1 + 1 ) = 4
1 + 3 = 4
4 + ( 2 x 2 + 1 ) = 9
4 + 5 = 9
9 + ( 2 x 3 + 1 ) = 16
9 + 7 = 16
16 + ( 2 x 4 + 1 ) = 25
16 + 9 = 25
25 + ( 2 x 5 + 1 ) = 36
25 + 11 = 36
Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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