Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.[1]
Em artigo: Outro Belo Teorema de Fermat, de Gilberto Garbi, publicado na Revista do Professor de Matemática - RPM edição 38, o autor enuncia outra descoberta de Fermat de que potências de números da forma 4x + 1 são hipotenusas de triângulos retângulos conforme o expoente da base de números da forma 4x + 1, vejamos:
• 5 é o primeiro número e primo da forma 4x + 1 e hipotenusa de um único triângulo retângulo escaleno.
51 = 5
Terno Pitagórico Primitivo 3 - 4 - 5,
• 25 é potência de 52, da forma 4x + 1 e hipotenusa de 2 triângulos retângulos escalenos:
Terno Pitagórico Primitivo: 7 - 24 - 25
15 - 20 - 25 terno derivado de 3 - 4 - 5 vezes 5
• 125 é potência de 53, da forma 4x + 1 e hipotenusa de 3 triângulos retângulos escalenos:
Terno Pitagórico Primitivo: 44 - 117 - 125
35 - 120 - 125 terno derivado de 7 - 24 - 25 vezes 5
75 - 100 - 125 terno derivado de 3 - 4 - 5 vezes 25
Outro fato que deve ser destacado é que as potências de números da forma 4x + 1 que figuram em hipotenusas, também figuram em catetos menores em triângulos retângulos escalenos, vejamos:
Hipotenusa
Terno Pitagórico Primitivo: 3 - 4 - 5
Cateto Menor
Terno Pitagórico Primitivo: 5 - 12 - 13
A potência 5 é medida da hipotenusa em um triângulo retângulo escaleno e também a medida do cateto menor em outro triângulo retângulo escaleno.
Hipotenusas
Terno Pitagórico Primitivo: 7 - 24 - 25
Terno Pitagórico: 15 - 20 - 25 derivado de 3 - 4 - 5 vezes 5
Catetos Menor
Terno Pitagórico Primitivo: 25 - 312 - 313
Terno Pitagórico: 25 - 60 - 65 derivado de 5 - 12 - 13
A potência 25 são medidas de 2 hipotenusas e de 2 catetos menor em triângulos retângulos escalenos.
Hipotenusas
Terno Pitagórico: 35 - 120 - 125 derivado de 7 - 24 - 25 vezes 5
Terno Pitagórico Primitivo: 44 - 117 - 125 - primitivo
Terno Pitagórico: 75 - 100 - 125 derivado de 3 - 4 - 5 vezes 25
Catetos Menor
Terno Pitagórico Primitivo: 125 - 7812 - 7813
Terno Pitagórico: 125 - 300 - 325 derivado de 5-12-13
Terno Pitagórico: 125 - 1560 - 1565 derivado de 25-312-313
A potência 125 são medidas de 3 hipotenusas e de 3 catetos menor em triângulos retângulos escalenos.
No estudo:
011-estudos-430-ternos-pitagoricos-a-partir-de-um-lado-do-triângulo-retangulo,
são apresentados 2 algoritmos desenvolvidos em parceria pelo Professor de Química Fernando Manso, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM e por Pedro R. do Blog Manthano.
Um dos algoritmos são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos a partir de um dado cateto, isto é, gerar conjunto de ternos pitagóricos em que um dos catetos tenha a mesma medida.
| a2 - d2 | a2 + d2 | ||||||
| (a, b, c) | = | ( | a, | ____ | , | ___ | ) |
| 2d | 2d |
No mesmo estudo, há também, um novo algoritmo desenvolvido aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos para se gerar ternos pitagóricos a partir de um dado cateto: Método dos Divisores.
Exemplo de aplicação:
a) dividi-se o número, no exemplo, a medida do cateto, a potência 625 por cada um de seus divisores;
| quantidade de | potência | divisores | quociente |
| divisores | |||
| 1 | 625 | 1 | 625 |
| 2 | 625 | 5 | 125 |
| 3 | 625 | 25 | 25 |
| 4 | 625 | 125 | 5 |
| 5 | 625 | 625 | 1 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
b) formam-se ternos pitagóricos primitivos a partir do segundo divisor, o 5, e multiplica-se cada termo do terno primitivo pelo quociente correspondente, obtendo-se assim ternos pitagóricos derivados cujos catetos menor tenham o mesmo valor;
Primeiro terno derivado 625-1500-1625
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 5 | 125 | 625 |
| b | 12 | 125 | 1500 |
| c | 13 | 125 | 1625 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Segundo terno derivado 625-7800-7825
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 25 | 25 | 625 |
| b | 312 | 25 | 7800 |
| c | 313 | 25 | 7825 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Teceiro terno derivado 625-39060-39065
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 125 | 5 | 625 |
| b | 7812 | 5 | 39060 |
| c | 7813 | 5 | 39065 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Terno primitivo 625-195312-195313
Observação: os termos de terno primitivo multiplicado por 1 têm resultado esse mesmo terno primitivo.
| termos | terno pitagórico | quociente | |
| primitivo | |||
| a | 625 | 1 | 625 |
| b | 195312 | 1 | 195312 |
| c | 195313 | 1 | 195313 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Com o algoritmo, gerou-se 3 ternos pitagóricos derivados e 1 terno primitivo de catetos de mesmo valor.
Em seu livro Desvendando os Segredos do Triângulo Retângulo, o Professor Sebastião Vieira do Nascimento, carinhosamente conhecido por Professor Sebá, demonstra diversas fórmulas para se gerarem ternos pitagóricos a partir de um dado cateto e, entre elas, na pág. 10 se encontram as seguintes equações:
| a2 | |||
| 2c | = | k + | ____ |
| k |
ou
| a2 - k2 | ||
| c | = | ____ |
| 2k |
Nos exemplos expostos acima, gerou-se 1 terno pitagórico primitivo e 3 ternos pitagóricos derivados cujos catetos têm as mesmas medidas, totalizando 4 ternos pitagóricos, base 5 elevada ao expoente 4 ( 54 ).
625 além ser uma potência de base 5, também é um quadrado perfeito, pois é produto de 25 x 25 = 625.
625 é um número da forma 4x + 1 e todo quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade é divisível por 4 e por 8.
(625 - 1) / 4 = 156 (número retangular)
(625 - 1) / 8 = 78 (número triangular)
Subtraíndo consecutivamente números quadrados perfeitos até 625, encontrou-se as seguintes diferenças:
a) 625 - 0 = 625
√0 = 0
√625 = 25
então: 02 + 252 = 0 + 625 = 625
Observação: a soma de 2 quadrados na qual figura o quadrado 0 (zero), normalmente é excluído.
b) 625 - 49 = 576
√49 = 7
√576 = 24
então: 72 + 242 = 49 + 576 = 625
c) 625 - 225 = 400
√225 = 15
√400 = 20
então: 152 + 202 = 225 + 400 = 625
O número 625 pode ser escrito com 3 duplas como soma de 2 quadrados.
• As raízes 24 e 7 do item b) acima são termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
a = 242 - 72 = 576 - 49 = 527
b = 2 x 24 x 7 = 336
c = 242 + 72 = 576 + 49 = 625
Terno Pitagórico Primitivo: 336 - 527 - 625
• As raízes 20 e 15 do item c) acima são termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides.
a = 202 - 152 = 400 - 225 = 175
b = 2 x 20 x 15 = 600
c = 202 + 152 = 400 + 225 = 625
Terno Pitagórico: 175 - 600 - 625 derivado de 7 - 24 - 25
Encontrou-se 2 ternos cujas hipotenusas tem medida 625 a partir de diferenças entre 2 quadrados.
3 - 4 - 5 é um terno pitagórico primitivo cuja hipotenusa e divisor de 625, então, multiplicando cada termo por 125 tem-se o:
Terno Pitagórico Derivado: 375 - 500 - 625
44 - 117 - 125 é um terno pitagórico primitivo cuja hipotenusa e divisor de 625, então, multiplicando cada termo por 5 tem-se o:
Terno Pitagórico Derivado: 220 - 585 - 625 - primitivo
A presente tabela demonstram os primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados cujas potências de base 5 figuram como catetos menor e em hipotenusas na qual se verificam as propriedades discorridas neste estudo.
Conforme a potência, ela faz parte de mais de um terno pitagórico, isto é, um terno primitivo (células laranjas) e os demais derivados, seguindo o expoente da base: 51, 52, 53, ...
A tabela comprova que determinados (grande parte) de ternos pitagóricos derivados não podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides e somente do produto de um número natural por terno pitagórico primitivo.
| Potências de Base 5 | |||||||||
| e | |||||||||
| Ternos Pitagóricos | |||||||||
| termos | ternos | derivado | |||||||
| pitagóricos | do | ||||||||
| terno | |||||||||
| m | n | m2-n2 | 2mn | m2+n2 | |||||
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | |||||
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | |||||
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | |||||
| 15 | 20 | 25 | 5 x | 3 | 4 | 5 | |||
| 13 | 12 | 25 | 312 | 313 | |||||
| 25 | 60 | 65 | 5 x | 5 | 12 | 13 | |||
| 11 | 2 | 117 | 44 | 125 | |||||
| 75 | 100 | 125 | 25 x | 3 | 4 | 5 | |||
| 35 | 120 | 125 | 5 x | 7 | 24 | 25 | |||
| 63 | 62 | 125 | 7812 | 7813 | |||||
| 125 | 300 | 325 | 25 x | 5 | 12 | 13 | |||
| 125 | 1560 | 1565 | 5 x | 25 | 312 | 313 | |||
| 313 | 312 | 625 | 195312 | 195313 | |||||
| 625 | 1500 | 1625 | 125 x | 5 | 12 | 13 | |||
| 625 | 7800 | 7825 | 25 x | 25 | 312 | 313 | |||
| 625 | 39060 | 39065 | 5 x | 125 | 7812 | 7813 | |||
| 24 | 7 | 527 | 336 | 625 | |||||
| 375 | 500 | 625 | 125 x | 3 | 4 | 5 | |||
| 20 | 15 | 175 | 600 | 625 | 25 x | 7 | 24 | 25 | |
| 220 | 585 | 625 | 5 x | 44 | 117 | 125 | |||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||
O WebSite Os Fantásticos Números Primos deixa o seguinte desafio: desenvolver algoritmo / fórmula que dada a medida hipotenusa, encontrar outros ternos pitagóricos.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025
GARBI, Gilberto. Outro Belo Teorema de Fermat. Revista Professor de Matemática, edição 38
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do Nasciemento. Desvendado os segredos do triângulo retângulo e desvendando curiosidades até hoje não conhecidas - Rio de Janeiro Gramma, 2018
[1] NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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