Ternos Pitagóricos são grupos de 3 números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras que diz que "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" ou também que "O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos", representados pelas fórmulas:
| a² + b² = + c² |
e
| a² = b² + c² |
Ternos pitagóricos podem ser gerados por meio:
1) das Fórmulas de Euclides de Alexandria;
onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
Escolhendo-se 2 números primos entre si, com m>n e (mdc = 1), geram-se sequencialmente ternos pitagóricos primitivos.
Escolhendo-se 2 números não primos ente si, com m>n e (mdc > 1), geram-se ternos pitagóricos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro, e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.
Observação: as Fórmulas de Euclides não geram sequencialmente ternos pitagóricos derivados ímpares.
2) de um número ímpar igual ou maior que 3;
3) de um número quadrado perfeito ímpar igual ou maior que 9;
4) de outros métodos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, bem como, aqui no WeSite.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
A partir de um dado cateto são possíveis se de gerarem ternos pitagóricos cujos catetos têm mesmas medidas através:
1) da Fórmula do Professor Fernando Manso (Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM) e de Pedro R. (Blogo Manthano);
2) das Fórmulas do Professor Sebastião Viera do Nascimento (Professor Sebá);
3) Método de divisores (Web Site Os Fantásticos Números Primos).
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Números de Fermat da Forma 4x + 1 são números múltiplos de 4 somados 1 unidade.
Entre os números da Forma 4x + 1, há:
a) números primos que podem ser escritos como soma de 2 quadrados de um único modo, isto é, uma dupla de 2 quadrados;
b) números compostos que podem ser escritos com soma de 2 quadrados de mais de um modo, isto é, mais de 1 dupla de soma de 2 quadrados;
c) números que não podem ser escritos como soma de 2 quadrados, exemplos: 15, 21, 27 e outros.
Números de Fermat da Forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Em seu artigo: Outro Belo Teorema de Fermat, Gilberto Garbi, publicado na Revista do Professor de Matemática - RPM - edição 38, o autor enuncia outra descoberta de Pierre de Fermat de que potências de números da forma 4x + 1 aparecem em catetos e hipotenusas em triângulos retângulos escalenos distintos, conforme o expoente da base desses números da forma 4x + 1, vejamos:
Base 5
• 51 = 5
Terno Pitagórico Primitivo 3 - 4 - 5 (hipotenusa)
Terno Pitagórico Primitivo 5 - 12 - 13 (cateto)
• 52 = 25
Terno Pitagórico Primitivo 7 - 24 - 25 (hipotenusa)
Terno derivado 15 - 20 - 25 (hipotenusa) de 3 - 4 - 5 vezes 5
Terno Pitagórico Primitivo: 25 - 312 - 313 (cateto)
Terno derivado: 25 - 60 - 65 (cateto) derivado de 5 - 12 - 13
Pesquisas realizadas até o presente momento na World Wide Web, bem como, em dissertações de mestrados, TCCs, artigos, etc., não se encontrou fórmula que gerem ternos pitagóricos sequencialmente dada a hipotenusa, isto é, fixando a medida da hipotenusa.
Partindo-se do Método de Divisores, algoritmo desenvolvido aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos para se gerarem ternos pitagóricos a partir de um dado cateto e da soma de 2 quadrados são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos dada a medida da hipotenusa de potência de número da forma 4x + 1.
5 é um número da forma 4x + 1, pois, pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
12 + 22 = 1 + 4 = 5
Potência 55 = 3125
O expoente é 5, então, há 5 ternos pitagóricos onde a potência 3125 figura em catetos e 5 ternos pitagóricos onde a potência 3125 figura em hipotenusas.
i) calcula-se os divisores da potência 3125;
D(3125)={ 1, 5, 25, 125, 625, 3125 }
ii) dividi-se o número, no exemplo, a medida do cateto, a potência 3125 por cada um de seus divisores;
| quantidade de | potência | divisores | quociente |
| divisores | |||
| 1 | 3125 | 1 | 3125 |
| 2 | 3125 | 5 | 625 |
| 3 | 3125 | 25 | 125 |
| 4 | 3125 | 125 | 25 |
| 5 | 3125 | 625 | 5 |
| 6 | 3125 | 3125 | 1 |
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iii) formam-se ternos pitagóricos primitivos a partir do segundo divisor, o 5, e multiplica-se cada termo do terno primitivo pelo quociente correspondente, obtendo-se assim ternos pitagóricos derivados cujos catetos menor tenham a mesma medida;
Primeiro terno derivado 3125-7500-8125
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 5 | 625 | 3125 |
| b | 12 | 625 | 7500 |
| c | 13 | 625 | 8125 |
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Segundo terno derivado 3125-39000-39125
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 25 | 125 | 3125 |
| b | 312 | 125 | 39000 |
| c | 313 | 125 | 39125 |
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Terceiro terno derivado 3125-195300-195325
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 125 | 25 | 3125 |
| b | 7812 | 25 | 195300 |
| c | 7813 | 25 | 195325 |
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Quarto terno derivado 3125-976560-976565
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 625 | 5 | 3125 |
| b | 195312 | 5 | 976560 |
| c | 195313 | 5 | 976565 |
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Terno primitivo 3125-4882812-4882813
Observação: os termos de terno primitivo multiplicado pelo divisor 1, têm como resultado esse mesmo terno primitivo.
| termos | terno pitagórico | quociente | terno pitagórico |
| primitivo | derivado | ||
| a | 3125 | 1 | 3125 |
| b | 4882812 | 1 | 4882812 |
| c | 4882813 | 1 | 4882813 |
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3125 como somas de 2 quadrados
Subtraíndo consecutivamente números quadrados perfeitos até 3125, encontrou-se as seguintes diferenças:
a) 3125 - 100 = 3025
√100 = 10
√3025 = 55
então: 102 + 552 = 100 + 3025 = 3125
b) 3125 - 625 = 2500
√625 = 25
√2500 = 50
então: 252 + 502 = 625 + 2500 = 3125
c) 3125 - 1444 = 1681
√1444 = 38
√1681 = 41
então: 382 + 412 = 1444 + 1681 = 3125
Observação: aqui, há um fato matemático interessante, a potência 3125 que um número da forma 4x + 1, pode ser escrito como soma de 3 quadrados.
primeiro terno pitagórico
• As raízes 55 e 10 do item a) acima são termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
a = 552 - 102 = 3025 - 100 = 2925
b = 2 x 55 x 10 = 1100
c = 552 + 102 = 3025 + 100 = 3125
Terno Pitagórico Primitivo: 1100 - 2925 - 3125
segundo terno pitagórico
• As raízes 50 e 25 do item b) acima são termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides.
a = 502 - 252 = 2500 - 625 = 1875
b = 2 x 50 x 25 = 2500
c = 502 + 252 = 2500 + 625 = 3125
Terno Pitagórico Primitivo: 1875 - 2500 - 3125
terceiro terno pitagórico
• As raízes 41 e 38 do item c) acima são termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides.
a = 412 - 382 = 1681 - 1444 = 237
b = 2 x 41 x 38 = 3116
c = 412 + 382 = 1681 + 1444 = 3125
Terno Pitagórico Primitivo: 237 - 3116 - 3125
Encontrando o quarto terno pitagórico
7-24-25 é um terno pitagórico primitivo cuja hipotenusa é divisor de 3125, então, multiplicando cada termo por 125 tem-se o:
Terno Pitagórico Derivado: 875 - 3000 - 3125
Encontrando o quinto terno pitagórico
527-336-625 é um terno pitagórico primitivo cuja hipotenusa é divisor de 625, então, multiplicando cada termo por 5 tem-se o:
Terno Pitagórico Derivado: 2635 - 1680 - 3125
A presente tabela demonstra ternos pitagóricos em que a potência 3125 figura em catetos e hipotenusas.
Interessante destacar novamente que como hipotenusa, a potência 3125 é a soma de mais de 2 duplas de soma de 2 quadrados, neste exemplo, 3 duplas de somas de 2 quadrados.
| Potência 3125 | |||||||||
| e | |||||||||
| Ternos Pitagóricos | |||||||||
| termos | ternos | derivado | |||||||
| pitagóricos | do | ||||||||
| terno | |||||||||
| m | n | m2-n2 | 2mn | m2+n2 | |||||
| 1563 | 1562 | 3125 | 4882812 | 4882813 | |||||
| 3125 | 7500 | 8125 | 625 x | 5 | 12 | 13 | |||
| 3125 | 39000 | 39125 | 125 x | 25 | 312 | 313 | |||
| 3125 | 195300 | 195325 | 25 x | 125 | 7812 | 7813 | |||
| 3125 | 976560 | 976565 | 5 x | 625 | 195312 | 195313 | |||
| 41 | 38 | 237 | 3116 | 3125 | |||||
| 50 | 25 | 1875 | 2500 | 3125 | 625 x | 3 | 4 | 5 | |
| 875 | 3000 | 3125 | 125 x | 7 | 24 | 25 | |||
| 55 | 10 | 2925 | 1100 | 3125 | 25 x | 117 | 44 | 125 | |
| 2635 | 1680 | 3125 | 5 x | 527 | 336 | 625 | |||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025
GARBI, Gilberto. Outro Belo Teorema de Fermat. Revista Professor de Matemática, edição 38
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do Nasciemento. Desvendado os segredos do triângulo retângulo e desvendando curiosidades até hoje não conhecidas - Rio de Janeiro Gramma, 2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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