Triângulo Retângulo Pitagórico é um triângulo que possui diversas propriedades aritméticas, algébricas, geométricas e trigonométricas.
É o unico triângulo retângulo cujos lados têm medidas números consecutivos: 3-4-5.
O presente estudo demonstra um novo método de se construir Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5, bem como, triângulos proporcionais a 3-4-5 por meio da Dupla Vesica Pisicis.
Vesica Piscis é uma construção geométrica com duas circunferências de mesmo raio na qual o centro de uma está sobre a circunferência da outra e que se podem construir diversas figuras geométricas sem a necessidade de instrumento de medição, simplesmente utilizando compasso e régua não graduada.
Triângulo Equilátero é um triângulo cujos 3 lados têm medidas iguais e 3 ângulos internos de 60 graus.
Detalhe A)
Triângulo Equilátero construído a partir da Vésica Piscis.
Detalhe B)
O ponto (laranja) é ao mesmo tempo baricentro, circuncentro, ortocento e incentro.
Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
A circunferência inscrita intersecta cada lado do triângulo em um único ponto, denominado ponto de tangência.
Detalhe C)
Têm-se um triângulo retângulo cuja bissetriz (verde) intersecta o cateto maior no ponto (laranja).
A circunferência (laranja) cujo o centro é o ponto (laranja) intersecta o ângulo de 90 graus e a hipotenusa.
A circunferência (preta) cujo centro é vértice direito inferior do triângulo e raio (medida do cateto menor), intersecta o ângulo de 90 graus, bem como, o ponto de tangência da circunferência (laranja) inscrita com a hipotenusa.
Nas páginas 61 e 62 da obra Construções geométricas com régua e compasso, elaborada pela Universidade Federal de Santa Maria - RS - Grupo PET Matemática da UFSM se encontra exemplo de construção geométrica de triângulo isóceles:
" 4.3.3 Construir um triângulo isósceles conhecendo-se a medida
da base e do raio do círculo nele inscrito.
Passos:
1. Considerar b a medida da base e r1 o raio de modo que a medida de r1 seja menor
que a metade da medida da base b. Traçar uma reta r e marcar A e B sobre r de
modo que a medida de AB seja igual a medida de b;
2. Marcar M ponto médio de AB e traçar por M a reta s perpendicular a r. Marcar
N em s de modo que a medida de NM seja igual a medida de r1;
3. Traçar a circunferência c com centro em N e raio NM;
4. Com centro em A e raio AM traçar uma circunferência que intercepta c em P;
5. Com centro em B e raio AM traçar uma circunferência que intercepta c em Q;
6. Traçar as retas, t passando por A e P e, u passando por B e Q;
7. Marcar C intersecção de t e u;
8. Os pontos A, B e C determinam o triângulo pedido.
A Figura 4.26 ilustra os passos da construção."
Interessante observar que a partir do quadro 3 tem-se a contrução da Vesica Piscis.
Tendo como base os pontos notáveis de triângulo retângulo e analisando a construção geométrica do Grupo PET Matemática da UFSM descritas acima, tem-se mais um novo método de se construir Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5, bem como, triângulos proporcionais a ele, vejamos:
a) a partir de duas retas perpendiculares, desenha-se a primeira Vésica Piscis verticalmente (circunferências verde e vermelha), a segunda Vésica Piscis horizontalmente (circunferências verde e laranja);
b) traça-se uma circunferência (preta), centro na intersecção do segmento horizontal com a circunferência da Vésica Piscis (laranja);
c) traçando-se os seguimentos (azuis), forma-se um Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5.
Tendo como base Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5 e a Dupla Vésica Piscis é possível de se construir também o Duplo Quadrado (lilás) que por sua vez é possível também de se construir triângulo retângulo pitagórico proporcional ao Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5.
Duplo Quadrado tem sua diagonal medindo √5.
Para mais informações deste método veja estudo:
011-estudos-677-triangulo-retangulo-pitagorico-3-4-5-e-segmentos-aureos
Analisando as construções geométricas de H.E. Huntley, bem como, as relacões das propriedades do duplo quadrado, tem-se aqui um novo método de se construir triângulos retângulos proporcionais ao Triângulo Pitagórico 3-4-5, a partir da construção geométrica de Duplo Quadrado.
a) traça-se a mediatriz da diagonal de um duplo quadrado (linha pontilhada);
b) unindo os pontos (azuis), os triângulos retângulos formados, são triângulos pitagóricos proporcionais ao Triângulo Pitagórico 3-4-5.
Interessante observar que na construção geométrica forma-se também um losango.
Losango é a figura geométrica cuja diagonais são perpendiculares e os lados de mesma medida, isto é, congruentes.
Autor: Ricardo Silva - junho/2026
Fonte: HUNTLEY, H.E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Trad. de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1985
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Construções geométricas com régua e compasso Universidade Federal de Santa Maria - RS - Grupo PET Matemática da UFSM.RS, 2020
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