Números Triangulares, também denominados de números figurados, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Podemos obter números triangulares através:
a) soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
b) do produto de 2 números consecutivos dividido por 2;
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
Números retangulares também são números figurados e podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Podemos obter números retangulares através:
a) da soma de números pares consecutivos;
2
2 + 4 = 6
2 + 4 + 6 = 12
b) do produto de 2 números naturais consecutivos
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
Números Triangulares Retangulares são números que ao mesmo tempo são números triangulares e retangulares.
A tabela a seguir demonstra os 20 primeiros produtos de 2 números consecutivos divididor por 2 e entre eles:
a) o número retangular 6 gerado do produto de 2 x 3, como também, o número triangular 6 gerado do produto de 3 x 4 dividido por 2;
b) o número retangular 210 gerado do produto de 14 x 15, bem como, o número triangular 210 gerado do produto de 20 x 21 dividido por 2.
6 e 210 são números triangulares retangulares.
O presente estudo demonstra que a partir do Algoritmo Escada de Theon em que multiplicando os termos em diagonais são gerados duas sequências numéricas de números consecutivos que multiplicados geram raízes quadradas de números triangulares retangulares.
| Números Triangulares Retangulares | ||||
| números | ||||
| consecutivos | divisão | |||
| (produto) | por 2 | |||
| ordem / | naturais | naturais | retangular | triangular |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 |
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 |
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 |
| 5 | 5 | 6 | 30 | 15 |
| 6 | 6 | 7 | 42 | 21 |
| 7 | 7 | 8 | 56 | 28 |
| 8 | 8 | 9 | 72 | 36 |
| 9 | 9 | 10 | 90 | 45 |
| 10 | 10 | 11 | 110 | 55 |
| 11 | 11 | 12 | 132 | 66 |
| 12 | 12 | 13 | 156 | 78 |
| 13 | 13 | 14 | 182 | 91 |
| 14 | 14 | 15 | 210 | 105 |
| 15 | 15 | 16 | 240 | 120 |
| 16 | 16 | 17 | 272 | 136 |
| 17 | 17 | 18 | 306 | 153 |
| 18 | 18 | 19 | 342 | 171 |
| 19 | 19 | 20 | 380 | 190 |
| 20 | 20 | 21 | 420 | 210 |
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Theon de Smyrna (70 d. C. e 135 d. C) foi um filósofo e matemático grego, autor da obra “Matemáticas para entender Platão“ uma compilação introdutória da matemática grega. A obra do platônico inglês Thomas Taylor (1758-1835) “The Theoretic Arithmetic of the Pytagoreans“ divulgou amplamente o conhecimento deste livro na cultura ocidental. Um segundo trabalho sobre a ordem de estudo das obras de Platão foi descoberto em uma tradução árabe.[1][2].
Theon de Smyrna também é autor de um dispositivo numérico, isto é, um algoritmo que leva o seu nome Escada de Theon com o qual é possível de se extrair a raiz quadrada de 2 (√2), como também ser adaptado para se extrair a raiz de qualquer número natural.
Dividindo-se os termos correspondentes b / a, o quociente tende a raiz quadrada de 2:
√2 = 1,4142
| Escada de Theon | ||
| a | b | razão |
| b / a | ||
| 1 | 1 | |
| 2 | 3 | 3 / 2 = 1,5 |
| 5 | 7 | 7 / 5 =1,4 |
| 12 | 17 | 17 / 12 = 1,41666... |
| 29 | 41 | 41 / 29 = 1,41379... |
| 70 | 99 | 99 / 70 = 1,41428... |
| 169 | 239 | 239 / 169 = 1,41420... |
Fonte: adaptado de Tópicos de História da Matemática[3]
O Algoritmo Escada de Theon apresenta propriedades interessantes: a partir dos produtos de 2 termos correspondentes, podem ser gerados raízes quadradas de Números Triangulares Quadrados Perfeitos.
Interessante observar que os números crescem rapidamente.
Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo!
| Escada de Theon | ||||
| e | ||||
| Números Triangulares Quadados | ||||
| ordem / | a | b | produto | Triangular |
| posição | (raiz quadrada) | Quadrado | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 6 | 36 |
| 3 | 5 | 7 | 35 | 1225 |
| 4 | 12 | 17 | 204 | 41616 |
| 5 | 29 | 41 | 1189 | 1413721 |
| 6 | 70 | 99 | 6930 | 48024900 |
| 7 | 169 | 239 | 40391 | 1631432881 |
| 8 | 408 | 577 | 235416 | 55420693056 |
| 9 | 985 | 1393 | 1372105 | 1882672131025 |
| 10 | 2378 | 3363 | 7997214 | 63955431761796 |
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Multiplicando um termo da coluna (a) por um termo da coluna (b) em diagonal, de cima para baixo.
Exemplos:
1 x 3 = 3 (o 3 está na coluna d)
2 x 7 = 14 ( o 14 está na coluna d)
Multiplicando um termo da coluna (a) por um termo da coluna (b) em diagonal, de baixo para cima.
Exemplos:
2 x 1 = 2 (o 3 está na coluna c)
5 x 3 = 15 ( o 15 está na coluna c)
Desta forma obtêm-se duas novas sequências numéricas nas colunas (c) e (d) cujos termos correspondentes são números consecutivos alternados.
| Escada de Theon | ||||
| e multiplicação em diagonal | ||||
| ordem / | a | b | c | d |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 15 | 14 |
| 3 | 5 | 7 | 84 | 85 |
| 4 | 12 | 17 | 493 | 492 |
| 5 | 29 | 41 | 2870 | 2871 |
| 6 | 70 | 99 | 16731 | 16730 |
| 7 | 169 | 239 | 97512 | 97513 |
| 8 | 408 | 577 | 568345 | 568344 |
| 9 | 985 | 1393 | 3312554 | 3312555 |
| 10 | 2378 | 3363 | 19306983 | 19306982 |
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Os produtos de números consecutivos gerados dos termos do Algoritmo Escada de Theon têm como resultados números triangulares retangulares.
| Escada de Theon e | |||
| Números Triangulares Retangulares | |||
| ordem / | c | d | Números Triangulares |
| posição | Retangulares | ||
| 1 | 2 | 3 | 6 |
| 2 | 15 | 14 | 210 |
| 3 | 84 | 85 | 7140 |
| 4 | 493 | 492 | 242556 |
| 5 | 2870 | 2871 | 8239770 |
| 6 | 16731 | 16730 | 279909630 |
| 7 | 97512 | 97513 | 9508687656 |
| 8 | 568345 | 568344 | 323015470680 |
| 9 | 3312554 | 3312555 | 10973017315470 |
| 10 | 19306983 | 19306982 | 63955439759010 |
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2023
[3] PITOMBEIRA, João Bosco, ROQUE, Tatiana. Tópicos de História da Matemática. Edição Digital
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1]https://es.wikipedia.org/wiki/
[2]https://www.matematicaparafilosofos.pt/
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