Números Triangulares, também denominados de números figurados ou geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas como triângulos.
Números Triangulares apresentam diversas propriedades matemáticas, bem como, diversas relações com sequências numéricas famosas.
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Uma das propriedades relacionadas a números triangulares é que a soma de 2 triangulares consecutivos têm resultado um número quadrado perfeito.
O presente estudo demonstra uma novíssima propriedade matemática relacionada a números triangulares que são divisíveis pelo número 4.
Determinadas duplas de números triangulares consecutivos divididos por 4 têm como quocientes que somados são uma potência de base 2 e que também são números quadrados perfeitos.
Determinados dobros de potências de base 2 menos 1 unidade têm como diferenças Números de Mersenne e, entre eles, Números Primos de Mersenne.
A presente tabela demonstra os 64 primeiros números triangulares e, entre eles, os divisíveis pelo número 4, como também, as seguintes regularidades:
a) a cada 8 números triangulares, 2 são divisíveis pelo número 4;
b) as somas das ordens / posições que são números consecutivos, sendo o antecessor de uma potência de base 2 e seu sucessor uma potência de base 2 têm como resultados Números de Mersenne;
Exemplos:
7 (antecessor) + 8 (potência de 2) = 15 (Mersenne)
15 (antecessor) + 16 (potência de 2) = 31 (Mersenne)
31 (antecessor) + 32 (potência de 2) = 63 (Mersenne)
c) ordens / posições que são números antecessores de potências de base 2, são Números de Mersenne;
d) duplas de números triangulares cujas ordens / posições são Números de Mersenne e potências de base 2 divididas pelo número 4 têm como quocientes que somados são potências de base 2 e que também são números quadrados perfeitos;
e) as somas de duplas de números triangulares cujas ordens / posições são Números de Mersenne e potências de base 2 têm como resultados potências de base 2;
Exemplos:
28 + 36 = 64
120 + 136 = 256
496 + 528 = 1024
f) Determinados dobros de números quadrados perfeitos e que são potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados Números de Mersenne e, entre eles, Números Primos de Mersenne.
g) a sequência de quadrados: (16, 64, 144, 256, 400, 576, 784, 1024,...) têm como raízes quadradas uma progressão aritmética cujo primeiro termo e razão é 4: (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...).
| Números Triangulares | |||||
| divisíveis por 4 | |||||
| ordem / | número | divisão | soma de | dobro | menos |
| posição | triangular | por 4 | quocientes | de | 1 |
| (quadrados) | quadrado | unidade | |||
| 1 | 1 | 0,25 | |||
| 2 | 3 | 0,75 | |||
| 3 | 6 (perfeito) | 1,5 | |||
| 4 | 10 | 2,5 | |||
| 5 | 15 | 3,75 | |||
| 6 | 21 | 5,25 | |||
| 7 | 28 (perfeito) | 7 | (4) 16 | 32 | 31 (primo) |
| 8 | 36 | 9 | |||
| 9 | 45 | 11,25 | |||
| 10 | 55 | 13,75 | |||
| 11 | 66 | 16,5 | |||
| 12 | 78 | 19,5 | |||
| 13 | 91 | 22,75 | |||
| 14 | 105 | 26,25 | |||
| 15 | 120 | 30 | (8) 64 | 128 | 127 (primo) |
| 16 | 136 | 34 | |||
| 17 | 153 | 38,25 | |||
| 18 | 171 | 42,75 | |||
| 19 | 190 | 47,5 | |||
| 20 | 210 | 52,5 | |||
| 21 | 231 | 57,75 | |||
| 22 | 253 | 63,25 | |||
| 23 | 276 | 69 | (12) 144 | 288 | 287 |
| 24 | 300 | 75 | |||
| 25 | 325 | 81,25 | |||
| 26 | 351 | 87,75 | |||
| 27 | 378 | 94,5 | |||
| 28 | 406 | 101,5 | |||
| 29 | 435 | 108,75 | |||
| 30 | 465 | 116,25 | |||
| 31 | 496 (perfeito) | 124 | (16) 256 | 512 | 511 |
| 32 | 528 | 132 | |||
| 33 | 561 | 140,25 | |||
| 34 | 595 | 148,75 | |||
| 35 | 630 | 157,5 | |||
| 36 | 666 | 166,5 | |||
| 37 | 703 | 175,75 | |||
| 38 | 741 | 185,25 | |||
| 39 | 780 | 195 | (20) 400 | 800 | 799 |
| 40 | 820 | 205 | |||
| 41 | 861 | 215,25 | |||
| 42 | 903 | 225,75 | |||
| 43 | 946 | 236,5 | |||
| 44 | 990 | 247,5 | |||
| 45 | 1035 | 258,75 | |||
| 46 | 1081 | 270,25 | |||
| 47 | 1128 | 282 | (24) 576 | 1152 | 1151 |
| 48 | 1176 | 294 | |||
| 49 | 1225 | 306,25 | |||
| 50 | 1275 | 318,75 | |||
| 51 | 1326 | 331,5 | |||
| 52 | 1378 | 344,5 | |||
| 53 | 1431 | 357,75 | |||
| 54 | 1485 | 371,25 | |||
| 55 | 1540 | 385 | (28) 784 | 1568 | 1567 |
| 56 | 1596 | 399 | |||
| 57 | 1653 | 413,25 | |||
| 58 | 1711 | 427,75 | |||
| 59 | 1770 | 442,5 | |||
| 60 | 1830 | 457,5 | |||
| 61 | 1891 | 472,75 | |||
| 62 | 1953 | 488,25 | |||
| 63 | 2016 | 504 | (32) 1024 | 2048 | 2047 |
| 64 | 2080 | 520 | |||
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Potências de base 4 são números quadrados perfeitos de potências de base 2.
Interessante observar que a base 4 é um número quadrado perfeito e elevada a expoentes de números naturais, as potências são todas números quadrados perfeitos.
A base 2 é um número primo par e elevada a expoentes de números naturais, gera alternadamente potências que são quadrados perfeitos e não quadrados perfeitos.
Determinadas potências de base 2 que não são números quadrados perfeitos menos 1 unidade têm como resultados Números Primos de Mersenne (exeção: 22).
| Potências de | Potências de | Primo de |
| base 4 | base 2 | Mersenne |
| 40 = 1 | 20 = 1 | |
| 41 = 4 | 21 = 2 | |
| 42 = 16 | 22 = 4 | (4 - 1 = 3) |
| 43 = 64 | 23 = 8 | (8 - 1 = 7) |
| 44 = 256 | 24 = 16 | |
| 45 = 1024 | 25 = 32 | (32 - 1 = 31) |
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O dobro de potências de base 4 geram potências de base 2 que não são números quadrados perfeitos.
O dobro de potências de base 4 menos 1 unidade têm como resultados Números de Mersenne e, entre eles, Números Primos de Mersenne, de onde se deduz a seguinte fórmula algébrica:
| 2 x 4n - 1 |
O dobro de uma potência de base 4 menos 1 unidade têm como resultados Números de Mersenne e, entre eles, Números Primos de Mersenne.
| Potências | Dobro de | Primo de |
| de base 4 | Potências de base 4 | Mersenne |
| 40 = 1 | 2 | |
| 41 = 4 | 8 | (8 - 1 = 7) |
| 42 = 16 | 32 | (32 - 1 = 31) |
| 43 = 64 | 128 | (128 - 1 = 127) |
| 44 = 256 | 512 | |
| 45 = 1024 | 2048 | |
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Número Perfeito é um número cuja soma dos seus divisores próprios (exceto ele mesmo) têm como resultado esse mesmo número.
6, 28, 496, 8128 são números perfeitos.
Observações interessantíssimas :
1) as ordens / posições de números perfeitos são números primos. Fato este que corrobora a Fórmula de Euclides de Alexandria e a Fórmula de Mersenne de que Números Perfeitos estão estritamente relacionados tanto à potências de base 2 quanto a números primos;
2) todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é um número perfeito;
3) o número 3 é o único número triangular que é número primo.
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Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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