Números de Mersenne são números cuja a fórmula algébrica é [ (2^n) - 1 ], isto é, potência de base 2 menos 1 unidade.
Euclides de Alexandria, em sua obra, Os Elementos, Livro IX, já havia demonstrado que a partir da unidade (número 1), duplicando e somando consecutivamente os termos, até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última soma, então o produto é um número perfeito.
Fórmula de Euclides em notação moderna é:
2^n-1 [ ( 2^n ) -1 ].
Euclides estava se referindo às potências de base 2:
1
1 + 2 = 3
( 3 x 2 = 6)
6 é um número perfeito
1 + 2 + 4 = 7
( 7 x 4 = 28)
28 é um número perfeito
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
( 31 x 16 = 496)
496 é um número perfeito
Marin Mersenne (1588-1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês, também estudou números primos a partir de uma das partes da Fórmula de Euclides: [(2^n) - 1], e, em sua Obra Cogita physico-mathematica (1644), conjecturou em 1644 que substituindo [ ( 2^n ) - 1 ] por [ (2^p ) - 1], isto é, o expoente por um número primo, geraria números primos para (p≥1): 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257 e compostos para p>257.
Posteriormente com advento de computadores e softwares matemáticos (programas aplicativos) foi possível de se verificar que M61 é primo, M67 é composto, M89 é primo, M107 é primo e M257 é composto.[1]
Observação: nem todo Número de Mersenne na forma [ ( 2^p ) - 1] é um número primo.
O presente estudo demonstra diversas relações númericas entre Números de Mersenne, com potências de base 2, somas de 2 números consecutivos, produtos de 2 números consecutivos, bem como, números perfeitos, Números de Fermat, etc.
Demonstra também métodos e novas fómulas para se gerar Números de Mersenne.
Observações importantes:
a) Números de Mersenne e Números Perfeitos estão estritamente relacionados às potências de base 2.
b) Números de Mersenne também são denominados de Números Quase-Potências de Base 2, pois são números 1 unidade menor que uma potência de base 2.
A soma de 2 números naturais consecutivos têm como resultados números ímpares e, entre eles, Números de Mersenne / Números Quase-Potências de Base 2.
Quando a ordem / posição é uma potência de base 2, as parcelas também são um Número de Mersenne e uma potência de base 2 (células laranjas).
Interessante observar que Número de Mersenne e potência de base são naturalmente números consecutivos.
| Soma de 2 Números | ||||||
| Naturais Consecutivos | ||||||
| ordem / | soma | Número de | ||||
| posição | consecutivos | Mersenne | ||||
| 1 | 0 | + | 1 | = | 1 | |
| 2 | 1 | + | 2 | = | 3 | primo |
| 3 | 2 | + | 3 | = | 5 | |
| 4 | 3 | + | 4 | = | 7 | primo |
| 5 | 4 | + | 5 | = | 9 | |
| 6 | 5 | + | 6 | = | 11 | |
| 7 | 6 | + | 7 | = | 13 | |
| 8 | 7 | + | 8 | = | 15 | não primo |
| 9 | 8 | + | 9 | = | 17 | |
| 10 | 9 | + | 10 | = | 19 | |
| 11 | 10 | + | 11 | = | 21 | |
| 12 | 11 | + | 12 | = | 23 | |
| 13 | 12 | + | 13 | = | 25 | |
| 14 | 13 | + | 14 | = | 27 | |
| 15 | 14 | + | 15 | = | 29 | |
| 16 | 15 | + | 16 | = | 31 | primo |
| 17 | 16 | + | 17 | = | 33 | |
| 18 | 17 | + | 18 | = | 35 | |
| 19 | 18 | + | 19 | = | 37 | |
| 20 | 19 | + | 20 | = | 39 | |
| 21 | 20 | + | 21 | = | 41 | |
| 22 | 21 | + | 22 | = | 43 | |
| 23 | 22 | + | 23 | = | 45 | |
| 24 | 23 | + | 24 | = | 47 | |
| 25 | 24 | + | 25 | = | 49 | |
| 26 | 25 | + | 26 | = | 51 | |
| 27 | 26 | + | 27 | = | 53 | |
| 28 | 27 | + | 28 | = | 55 | |
| 29 | 28 | + | 29 | = | 57 | |
| 30 | 29 | + | 30 | = | 59 | |
| 31 | 30 | + | 31 | = | 61 | |
| 32 | 31 | + | 32 | = | 63 | não primo |
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Produto de 2 números naturais consecutivos têm como resultados números retangulares e, entre eles, números que são o dobro de um número perfeito.
Quando a ordem / posição é uma potência de base 2, os fatores também são um Número de Mersenne e uma potência de base 2 (células laranjas).
O produto de um Número Primo de Mersenne pelo seu consecutivo dividido por 2 tem como quociente um número perfeito.
Interessante observar que Número de Mersenne e potência de base são naturalmente números consecutivos.
| Produto de 2 Números | ||||||
| Naturais Consecutivos | ||||||
| ordem / | consecutivos | produto | número | |||
| posição | retangular | perfeito | ||||
| 1 | 0 | x | 1 | = | 0 | |
| 2 | 1 | x | 2 | = | 2 | |
| 3 | 2 | x | 3 | = | 6 | |
| 4 | 3 | x | 4 | = | 12 | 6 |
| 5 | 4 | x | 5 | = | 20 | |
| 6 | 5 | x | 6 | = | 30 | |
| 7 | 6 | x | 7 | = | 42 | |
| 8 | 7 | x | 8 | = | 56 | 28 |
| 9 | 8 | x | 9 | = | 72 | |
| 10 | 9 | x | 10 | = | 90 | |
| 11 | 10 | x | 11 | = | 110 | |
| 12 | 11 | x | 12 | = | 132 | |
| 13 | 12 | x | 13 | = | 156 | |
| 14 | 13 | x | 14 | = | 182 | |
| 15 | 14 | x | 15 | = | 210 | |
| 16 | 15 | x | 16 | = | 240 | |
| 17 | 16 | x | 17 | = | 272 | |
| 18 | 17 | x | 18 | = | 306 | |
| 19 | 18 | x | 19 | = | 342 | |
| 20 | 19 | x | 20 | = | 380 | |
| 21 | 20 | x | 21 | = | 420 | |
| 22 | 21 | x | 22 | = | 462 | |
| 23 | 22 | x | 23 | = | 506 | |
| 24 | 23 | x | 24 | = | 552 | |
| 25 | 24 | x | 25 | = | 600 | |
| 26 | 25 | x | 26 | = | 650 | |
| 27 | 26 | x | 27 | = | 702 | |
| 28 | 27 | x | 28 | = | 756 | |
| 29 | 28 | x | 29 | = | 812 | |
| 30 | 29 | x | 30 | = | 870 | |
| 31 | 30 | x | 31 | = | 930 | |
| 32 | 31 | x | 32 | = | 992 | 496 |
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O soma de 2 números ímpares consecutivos têm como resultados números pares.
Determinadas somas de 2 números ímpares consecutivos têm como primeira parcela um Número de Mersenne e a segunda parcela um Número de Fermat.
Determinadas somas de 2 números ímpares consecutivos cujas primeira parcela é um Número de Mersenne e a segunda parcela um Número de Fermat têm como resultados potências de base 2.
Determinadas somas de 2 números ímpares consecutivos cujas primeira parcela um é Número de Mersenne e a segunda parcela um Número de Fermat têm ordens / posições de potências de base 2.
| Soma de 2 Números | ||||||
| Ímpares Consecutivos | ||||||
| ordem | consecutivos | soma | Potência | |||
| posição | Mersenne | Fermat | 2 | |||
| 1 | 1 | + | 3 | = | 4 | |
| 2 | 3 | + | 5 | = | 8 | 8 |
| 3 | 5 | + | 7 | = | 12 | |
| 4 | 7 | + | 9 | = | 16 | |
| 5 | 9 | + | 11 | = | 20 | |
| 6 | 11 | + | 13 | = | 24 | |
| 7 | 13 | + | 15 | = | 28 | |
| 8 | 15 | + | 17 | = | 32 | 32 |
| 9 | 17 | + | 19 | = | 36 | |
| 10 | 19 | + | 21 | = | 40 | |
| 11 | 21 | + | 23 | = | 44 | |
| 12 | 23 | + | 25 | = | 48 | |
| 13 | 25 | + | 27 | = | 52 | |
| 14 | 27 | + | 29 | = | 56 | |
| 15 | 29 | + | 31 | = | 60 | |
| 16 | 31 | + | 33 | = | 64 | |
| 17 | 33 | + | 35 | = | 68 | |
| 18 | 35 | + | 37 | = | 72 | |
| 19 | 37 | + | 39 | = | 76 | |
| 20 | 39 | + | 41 | = | 80 | |
| 21 | 41 | + | 43 | = | 84 | |
| 22 | 43 | + | 45 | = | 88 | |
| 23 | 45 | + | 47 | = | 92 | |
| 24 | 47 | + | 49 | = | 96 | |
| 25 | 49 | + | 51 | = | 100 | |
| 26 | 51 | + | 53 | = | 104 | |
| 27 | 53 | + | 55 | = | 108 | |
| 28 | 55 | + | 57 | = | 112 | |
| 29 | 57 | + | 59 | = | 116 | |
| 30 | 59 | + | 61 | = | 120 | |
| 31 | 61 | + | 63 | = | 124 | |
| 32 | 63 | + | 65 | = | 128 | |
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O produto de 2 números ímpares consecutivos têm como resultados números ímpares que são 1 unidade menor que um quadrado perfeito.
Determinados produtos de 2 números ímpares consecutivos têm como resultados Números de Mersenne.
Determinados produtos de 2 números ímpares consecutivos que têm como resultados Números de Mersenne estão alinhados à ordens / posições de uma potência de base 2
O produto de 2 números ímpares consecutivos têm como primeiro fator um Número de Mersenne e o segundo fator um Número de Fermat.
| Produto de 2 | ||||||
| Ímpares Consecutivos | ||||||
| ordem | consecutivos | produto | número | |||
| posição | Mersenne | Fermat | Mersenne | |||
| 1 | 1 | x | 3 | = | 3 | |
| 2 | 3 | x | 5 | = | 15 | sim |
| 3 | 5 | x | 7 | = | 35 | |
| 4 | 7 | x | 9 | = | 63 | |
| 5 | 9 | x | 11 | = | 99 | |
| 6 | 11 | x | 13 | = | 143 | |
| 7 | 13 | x | 15 | = | 195 | |
| 8 | 15 | x | 17 | = | 255 | sim |
| 9 | 17 | x | 19 | = | 323 | |
| 10 | 19 | x | 21 | = | 399 | |
| 11 | 21 | x | 23 | = | 483 | |
| 12 | 23 | x | 25 | = | 575 | |
| 13 | 25 | x | 27 | = | 675 | |
| 14 | 27 | x | 29 | = | 783 | |
| 15 | 29 | x | 31 | = | 899 | |
| 16 | 31 | x | 33 | = | 1023 | |
| 17 | 33 | x | 35 | = | 1155 | |
| 18 | 35 | x | 37 | = | 1295 | |
| 19 | 37 | x | 39 | = | 1443 | |
| 20 | 39 | x | 41 | = | 1599 | |
| 21 | 41 | x | 43 | = | 1763 | |
| 22 | 43 | x | 45 | = | 1935 | |
| 23 | 45 | x | 47 | = | 2115 | |
| 24 | 47 | x | 49 | = | 2303 | |
| 25 | 49 | x | 51 | = | 2499 | |
| 26 | 51 | x | 53 | = | 2703 | |
| 27 | 53 | x | 55 | = | 2915 | |
| 28 | 55 | x | 57 | = | 3135 | |
| 29 | 57 | x | 59 | = | 3363 | |
| 30 | 59 | x | 61 | = | 3599 | |
| 31 | 61 | x | 63 | = | 3843 | |
| 32 | 63 | x | 65 | = | 4095 | |
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Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados números ímpares a partir do expoente 1.
Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados Números de Mersenne, também, denominados de Números Quase-Potência de Base 2.
Interessante observar que determinados Números Primos de Mersenne se encontram alinhados a expoentes primos (células laranjas).
| Potências de Base 2 | ||||
| ordem / | ||||
| posição | base 2 | potência | menos | Mesenne |
| expoente | de 2 | 1 | ||
| 0 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 8 | 1 | 7 |
| 4 | 2 | 16 | 1 | 15 |
| 5 | 2 | 32 | 1 | 31 |
| 6 | 2 | 64 | 1 | 63 |
| 7 | 2 | 128 | 1 | 127 |
| 8 | 2 | 256 | 1 | 255 |
| 9 | 2 | 512 | 1 | 511 |
| 10 | 2 | 1024 | 1 | 1023 |
| 11 | 2 | 2048 | 1 | 2047 |
| 12 | 2 | 4096 | 1 | 4095 |
| 13 | 2 | 8192 | 1 | 8191 |
| 14 | 2 | 16384 | 1 | 16383 |
| 15 | 2 | 32768 | 1 | 32767 |
| 16 | 2 | 65536 | 1 | 65535 |
| 17 | 2 | 131072 | 1 | 131071 |
| 18 | 2 | 262144 | 1 | 262143 |
| 19 | 2 | 524288 | 1 | 524287 |
| 20 | 2 | 1048576 | 1 | 1048575 |
| 21 | 2 | 2097152 | 1 | 2097151 |
| 22 | 2 | 4194304 | 1 | 4194303 |
| 23 | 2 | 8388608 | 1 | 8388607 |
| 24 | 2 | 16777216 | 1 | 16777215 |
| 25 | 2 | 33554432 | 1 | 33554431 |
| 26 | 2 | 67108864 | 1 | 67108863 |
| 27 | 2 | 134217728 | 1 | 134217727 |
| 28 | 2 | 268435456 | 1 | 268435455 |
| 29 | 2 | 536870912 | 1 | 536870911 |
| 30 | 2 | 1073741824 | 1 | 1073741823 |
| 31 | 2 | 2147483648 | 1 | 2147483647 |
| 32 | 2 | 4294967296 | 1 | 4294967295 |
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Números naturais (bases) elevados a expoentes pares têm como resultados números quadrados perfeitos.
Potências de base 2 que são quadrados perfeitos menos 1 unidade têm como resultados Números Compostos de Mersenne a partir o expoente 2.
Determinados Números Compostos de Mersenne são divisíveis por 3 e produtos de 2 números primos distintos e, entre os dois fatores primos, também há um Número Primo de Mersenne.
Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo!
| Potências de 2 | |||||
| Quadrados Perfeitos | |||||
| ordem / | base | expoente | potência de 2 | menos 1 | Número |
| posição | 2 | par | (quadrado | composto de | |
| perfeito) | Mersenne | ||||
| 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 4 | 16 | 1 | 15 |
| 4 | 2 | 6 | 64 | 1 | 63 |
| 5 | 2 | 8 | 256 | 1 | 255 |
| 6 | 2 | 10 | 1024 | 1 | 1023 |
| 7 | 2 | 12 | 4096 | 1 | 4095 |
| 8 | 2 | 14 | 16384 | 1 | 16383 |
| 9 | 2 | 16 | 65536 | 1 | 65535 |
| 10 | 2 | 18 | 262144 | 1 | 262143 |
| 11 | 2 | 20 | 1048576 | 1 | 1048575 |
| 12 | 2 | 22 | 4194304 | 1 | 4194303 |
| 13 | 2 | 24 | 16777216 | 1 | 16777215 |
| 14 | 2 | 26 | 67108864 | 1 | 67108863 |
| 15 | 2 | 28 | 268435456 | 1 | 268435455 |
| 16 | 2 | 30 | 1073741824 | 1 | 1073741823 |
| 17 | 2 | 32 | 4294967296 | 1 | 4294967295 |
| 18 | 2 | 34 | 17179869184 | 1 | 17179869183 |
| 19 | 2 | 36 | 68719476736 | 1 | 68719476735 |
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Potências de base 2 que são metades de quadrados perfeitos menos 1 unidade têm como resultados números ímpares e, entre eles, Números Primos de Mersenne.
Determinados Números Primos de Mersenne se encontram alinhados a expoentes primos.
| Potências de 2 | |||||
| (Metade Quadrados Perfeitos) | |||||
| ordem / | base | expoente | potência 2 | menos 1 | Número |
| posição | 2 | ímpar | (metade de | de | |
| quadrado) | Mersenne | ||||
| 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 8 | 1 | 7 |
| 3 | 2 | 5 | 32 | 1 | 31 |
| 4 | 2 | 7 | 128 | 1 | 127 |
| 5 | 2 | 9 | 512 | 1 | 511 |
| 6 | 2 | 11 | 2048 | 1 | 2047 |
| 7 | 2 | 13 | 8192 | 1 | 8191 |
| 8 | 2 | 15 | 32768 | 1 | 32767 |
| 9 | 2 | 17 | 131072 | 1 | 131071 |
| 10 | 2 | 19 | 524288 | 1 | 524287 |
| 11 | 2 | 21 | 2097152 | 1 | 2097151 |
| 12 | 2 | 23 | 8388608 | 1 | 8388607 |
| 13 | 2 | 25 | 33554432 | 1 | 33554431 |
| 14 | 2 | 27 | 134217728 | 1 | 134217727 |
| 15 | 2 | 29 | 536870912 | 1 | 536870911 |
| 16 | 2 | 31 | 2147483648 | 1 | 2147483647 |
| 17 | 2 | 33 | 8589934592 | 1 | 8589934591 |
| 18 | 2 | 35 | 34359738368 | 1 | 34359738367 |
| 19 | 2 | 37 | 1,37439E+11 | 1 | 1,37439E+11 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A soma de Números de Mersenne, entre eles números primos, com potências de 2 que não são quadrados perfeitos têm como resultados Números Compostos de Mersenne que são divisíveis por 3.
| Números de Mersenne | ||||
| e | ||||
| Potências de 2 (não quadrados perfeitos) | ||||
| Número | Potência de 2 | Número | ||
| de Mersenne | (não quadrado) | Composto | ||
| de Mersenne | ||||
| 1 | + | 2 | = | 3 |
| 7 | + | 8 | = | 15 |
| 31 | + | 32 | = | 63 |
| 127 | + | 128 | = | 255 |
| 511 | + | 512 | = | 1023 |
| 2047 | + | 2048 | = | 4095 |
| 8191 | + | 8192 | = | 16383 |
| 32767 | + | 32768 | = | 65535 |
| 131071 | + | 131072 | = | 262143 |
| 524287 | + | 524288 | = | 1048575 |
| 2097151 | + | 2097152 | = | 4194303 |
| 8388607 | + | 8388608 | = | 16777215 |
| 33554431 | + | 33554432 | = | 67108863 |
| 134217727 | + | 134217728 | = | 268435455 |
| 536870911 | + | 536870912 | = | 1073741823 |
| 2147483647 | + | 2147483648 | = | 4294967295 |
| 8589934591 | + | 8589934592 | = | 17179869183 |
| 34359738367 | + | 34359738368 | = | 68719476735 |
| 1,37439E+11 | + | 1,37439E+11 | = | 2,74878E+11 |
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A soma de Números Compostos de Mersenne, exceto o 3, com potências de 2 que são quadrados perfeitos têm como resultados Números de Mersenne e, entre eles, Números Primos de Mersenne.
| Números de Mersenne | ||||
| e | ||||
| Potências de 2 (quadrados perfeitos) | ||||
| Número | Potência de 2 | Número | ||
| de Mersenne | (quadrados | de Mersenne | ||
| perfeitos) | ||||
| 0 | + | 1 | = | 1 |
| 3 | + | 4 | = | 7 |
| 15 | + | 16 | = | 31 |
| 63 | + | 64 | = | 127 |
| 255 | + | 256 | = | 511 |
| 1023 | + | 1024 | = | 2047 |
| 4095 | + | 4096 | = | 8191 |
| 16383 | + | 16384 | = | 32767 |
| 65535 | + | 65536 | = | 131071 |
| 262143 | + | 262144 | = | 524287 |
| 1048575 | + | 1048576 | = | 2097151 |
| 4194303 | + | 4194304 | = | 8388607 |
| 16777215 | + | 16777216 | = | 33554431 |
| 67108863 | + | 67108864 | = | 134217727 |
| 268435455 | + | 268435456 | = | 536870911 |
| 1073741823 | + | 1073741824 | = | 2147483647 |
| 4294967295 | + | 4294967296 | = | 8589934591 |
| 17179869183 | + | 17179869184 | = | 34359738367 |
| 68719476735 | + | 68719476736 | = | 137438953471 |
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O produto de 2 números ímpares sendo o primeiro fator um Número de Mersenne e o segundo fator um Número de Fermat tem como resultado um Número de Mersenne.
Exemplos:
a) 3 x 5 = 15
b) 15 x 17 = 255
c) 255 x 257 = 65535
d) 65.535 x 65.537= 4.294.967.295
e) 4.294.967.295 x 4.294.967.297 = 18.446.744.073.709.551.615
f) 18.446.744.073.709.551.615 x 18.446.744.073.709.551.617 = 3,4028236692093846346337460743177e+38
Pelos exemplos expostos, se deduz a seguinte fórmula:
| [ (2^2^n) - 1 ] x [ (2^2^n) + 1 ] |
Base 2 elevada à uma potência de 2 menos 1 unidade multiplicada pela Base 2 elevada à uma potência de 2 somada 1 unidade.
Os Números de Mersenne também podem ser obtidos a partir da seguinte Fórmula, com n (ene) igual ou maior que 2:
| [ ( 2^n ) - 2 ] / 2 |
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-141-numeros-mersenne-e-numeros-binarios
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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