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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de 2 Quadrados Consecutivos e os Números de Mersenne e de Fermat - 525

Números de Mersenne (Marin Mersenne, monge e matemático francês (1588-1648) são números na forma de 2^n - 1, onde n (ene) é um número natural. Mersenne conjecturou que n (ene) sendo primo geraria certa quantidade de primos. Posteriormente se verificou que mesmo (n) sendo primo, a fórmula não geraria números primos sequencialmente. Encontrando-se um Primo de Mersenne, consequentemente, encontra-se também um número perfeito.

Soma de 2 Quadrados Consecutivos e os Números de Mersenne e de Fermat

Números de Fermat (Pierre de Fermat, magistrado e entusiasta matemático francês (1601-1658)) são números na forma de 2^2^n + 1, isto é, 2 elevado à uma potência de base 2 somado 1 unidade. Fermat conjecturou que sua fórmula geraria números primos sequêncialmente, mas na verdade, somente os 5 primeiros Números de Fermat são números Primos.

Aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos são apresentadas algumas propriedades relacionadas aos Números de Mersenne com os Números de Fermat e vice-versa.

Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo!

O presente estudo demonstra uma novissíma propriedade matemática entre os Números de Mersenne e os de Fermat relacionada com a soma de 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos cujas raízes quadradas são os próprios Números de Mersenne e os de Fermat.

A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos cujas raízes quadradas são números de Mersenne e de Fermat têm como resultados o dobro de um Número de Fermat.

Números de Mersenne

A tabela a seguir apresenta os 21 primeiros Números de Mersenne.

Determinado Número de Mersenne que é primo, também tem a ordem / posição (expoente) de um número primo.

Números de Mersenne
 
ordem / base potência potência
posição 2 menos
  1
expoente   unidade
   
0 2 1 0
1 2 2 1  
2 2 4 3 primo
3 2 8 7 primo
4 2 16 15
5 2 32 31 primo
6 2 64 63
7 2 128 127 primo
8 2 256 255
9 2 512 511
10 2 1024 1023
11 2 2048 2047
12 2 4096 4095
13 2 8192 8191
14 2 16384 16383
15 2 32768 32767
16 2 65536 65535
17 2 131072 131071 primo
18 2 262144 262143
19 2 524288 524287 primo
20 2 1048576 1048575
       
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Números de Fermat

A tabela a seguir apresenta 5 Números Primos de Fermat.

Observação importante: utilizou-se a fórmula 2^n + 1 em vez da Fórmula de Fermat 2^2^n + 1.

A fórmula 2^n + 1 gera sequencialmente potências de base 2 somada 1 unidade, e entre elas, Números de Fermat.

Onde a ordem / posição, bem como, o expoente é uma potência de base 2, ocorre um Número de Fermat.

Números de Fermat
       
ordem / base potência potência
posição 2 mais
  1
expoente   unidade
       
0 2 1 2
1 2 2 3 Fermat
2 2 4 5 Fermat
3 2 8 9  
4 2 16 17 Fermat
5 2 32 33
6 2 64 65  
7 2 128 129
8 2 256 257 Fermat
9 2 512 513
10 2 1024 1025
11 2 2048 2049
12 2 4096 4097  
13 2 8192 8193
14 2 16384 16385
15 2 32768 32769
16 2 65536 65537 Fermat
17 2 131072 131073
18 2 262144 262145
19 2 524288 524289
20 2 1048576 1048577
       
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Números de Mersenne e os Números de Fermat

A diferença entre números correspondentes de Mersenne e de Fermat é 2 unidades.

Números de Mersenne e de Fermat são números ímpares consecutivos.

A soma de 2 números correspondentes de Mersenne e de Fermat cuja posição é uma potência de base 2 é também uma potência de base 2.

1 + 3 = 4

3 + 5 = 8

15 + 17 = 32

A média aritmética de 2 números correspondentes de Mersenne e de Fermat cuja posição é uma potência de base 2 é também uma potência de base 2.

( 1 + 3 ) / 2 = 2

( 3 + 5) / 2 = 4

( 15 + 17) / 2 = 16

Números de Mersenne
e
Números de Fermat
   
ordem / Números de Números de
posição Mersenne Fermat
   
0 0 2
1 1 3
2 3 5
3 7 9
4 15 17
5 31 33
6 63 65
7 127 129
8 255 257
9 511 513
10 1023 1025
11 2047 2049
12 4095 4097
13 8191 8193
14 16383 16385
15 32767 32769
16 65535 65537
17 131071 131073
18 262143 262145
19 524287 524289
20 1048575 1048577
   
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Soma de 2 quadrados perfeitos ímpares consecutivos

A soma de 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos cujas raízes quadradas é um Número de Mersenne e de Fermat têm como resultados números que são o dobro de um Número de Fermat.

Quadrados 1 e 9

12 = 1

32 = 9

1 + 9 = 10

10 : 2 = 5 (Número de Fermat)

Quadrados 9 e 25

32 = 9

52 = 25

9 + 25 = 34

34 : 2 = 17 (Número de Fermat)

Quadrados 225 e 289

152 = 225

172 = 289

225 + 289 = 514

514 : 2 = 257 (Número de Fermat)

Quadrados 65.025 e 66.049

2552 = 65.025

2572 = 66.049

65.025 + 65.025 = 131074

131074 : 2 = 65.537 (Número de Fermat)

Quadrados 4.294.836.225 e 4.295.098.369

65.5352 = 4.294.836.225

65.5372 = 4.295.098.369

65.025 + 65.025 = 8.589.934.594

8.589.934.594 : 2 = 4.294.967.297 (Número de Fermat)

 

Autor: Ricardo Silva -novembro/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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