Números de Mersenne (Marin Mersenne, monge e matemático francês (1588-1648) são números na forma de 2^n - 1, onde n (ene) é um número natural. Mersenne conjecturou que n (ene) sendo primo geraria certa quantidade de primos. Posteriormente se verificou que mesmo (n) sendo primo, a fórmula não geraria números primos sequencialmente. Encontrando-se um Primo de Mersenne, consequentemente, encontra-se também um número perfeito.
Números de Fermat (Pierre de Fermat, magistrado e entusiasta matemático francês (1601-1658)) são números na forma de 2^2^n + 1, isto é, 2 elevado à uma potência de base 2 somado 1 unidade. Fermat conjecturou que sua fórmula geraria números primos sequêncialmente, mas na verdade, somente os 5 primeiros Números de Fermat são números Primos.
Aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos são apresentadas algumas propriedades relacionadas aos Números de Mersenne com os Números de Fermat e vice-versa.
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O presente estudo demonstra uma novissíma propriedade matemática entre os Números de Mersenne e os de Fermat relacionada com a soma de 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos cujas raízes quadradas são os próprios Números de Mersenne e os de Fermat.
A soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos cujas raízes quadradas são números de Mersenne e de Fermat têm como resultados o dobro de um Número de Fermat.
A tabela a seguir apresenta os 21 primeiros Números de Mersenne.
Determinado Número de Mersenne que é primo, também tem a ordem / posição (expoente) de um número primo.
| Números de Mersenne | ||||
| ordem / | base | potência | potência | |
| posição | 2 | menos | ||
| 1 | ||||
| expoente | unidade | |||
| 0 | 2 | 1 | 0 | |
| 1 | 2 | 2 | 1 | |
| 2 | 2 | 4 | 3 | primo |
| 3 | 2 | 8 | 7 | primo |
| 4 | 2 | 16 | 15 | |
| 5 | 2 | 32 | 31 | primo |
| 6 | 2 | 64 | 63 | |
| 7 | 2 | 128 | 127 | primo |
| 8 | 2 | 256 | 255 | |
| 9 | 2 | 512 | 511 | |
| 10 | 2 | 1024 | 1023 | |
| 11 | 2 | 2048 | 2047 | |
| 12 | 2 | 4096 | 4095 | |
| 13 | 2 | 8192 | 8191 | |
| 14 | 2 | 16384 | 16383 | |
| 15 | 2 | 32768 | 32767 | |
| 16 | 2 | 65536 | 65535 | |
| 17 | 2 | 131072 | 131071 | primo |
| 18 | 2 | 262144 | 262143 | |
| 19 | 2 | 524288 | 524287 | primo |
| 20 | 2 | 1048576 | 1048575 | |
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A tabela a seguir apresenta 5 Números Primos de Fermat.
Observação importante: utilizou-se a fórmula 2^n + 1 em vez da Fórmula de Fermat 2^2^n + 1.
A fórmula 2^n + 1 gera sequencialmente potências de base 2 somada 1 unidade, e entre elas, Números de Fermat.
Onde a ordem / posição, bem como, o expoente é uma potência de base 2, ocorre um Número de Fermat.
| Números de Fermat | ||||
| ordem / | base | potência | potência | |
| posição | 2 | mais | ||
| 1 | ||||
| expoente | unidade | |||
| 0 | 2 | 1 | 2 | |
| 1 | 2 | 2 | 3 | Fermat |
| 2 | 2 | 4 | 5 | Fermat |
| 3 | 2 | 8 | 9 | |
| 4 | 2 | 16 | 17 | Fermat |
| 5 | 2 | 32 | 33 | |
| 6 | 2 | 64 | 65 | |
| 7 | 2 | 128 | 129 | |
| 8 | 2 | 256 | 257 | Fermat |
| 9 | 2 | 512 | 513 | |
| 10 | 2 | 1024 | 1025 | |
| 11 | 2 | 2048 | 2049 | |
| 12 | 2 | 4096 | 4097 | |
| 13 | 2 | 8192 | 8193 | |
| 14 | 2 | 16384 | 16385 | |
| 15 | 2 | 32768 | 32769 | |
| 16 | 2 | 65536 | 65537 | Fermat |
| 17 | 2 | 131072 | 131073 | |
| 18 | 2 | 262144 | 262145 | |
| 19 | 2 | 524288 | 524289 | |
| 20 | 2 | 1048576 | 1048577 | |
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A diferença entre números correspondentes de Mersenne e de Fermat é 2 unidades.
Números de Mersenne e de Fermat são números ímpares consecutivos.
A soma de 2 números correspondentes de Mersenne e de Fermat cuja posição é uma potência de base 2 é também uma potência de base 2.
1 + 3 = 4
3 + 5 = 8
15 + 17 = 32
A média aritmética de 2 números correspondentes de Mersenne e de Fermat cuja posição é uma potência de base 2 é também uma potência de base 2.
( 1 + 3 ) / 2 = 2
( 3 + 5) / 2 = 4
( 15 + 17) / 2 = 16
| Números de Mersenne | ||
| e | ||
| Números de Fermat | ||
| ordem / | Números de | Números de |
| posição | Mersenne | Fermat |
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 3 | 5 |
| 3 | 7 | 9 |
| 4 | 15 | 17 |
| 5 | 31 | 33 |
| 6 | 63 | 65 |
| 7 | 127 | 129 |
| 8 | 255 | 257 |
| 9 | 511 | 513 |
| 10 | 1023 | 1025 |
| 11 | 2047 | 2049 |
| 12 | 4095 | 4097 |
| 13 | 8191 | 8193 |
| 14 | 16383 | 16385 |
| 15 | 32767 | 32769 |
| 16 | 65535 | 65537 |
| 17 | 131071 | 131073 |
| 18 | 262143 | 262145 |
| 19 | 524287 | 524289 |
| 20 | 1048575 | 1048577 |
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A soma de 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos cujas raízes quadradas é um Número de Mersenne e de Fermat têm como resultados números que são o dobro de um Número de Fermat.
12 = 1
32 = 9
1 + 9 = 10
10 : 2 = 5 (Número de Fermat)
32 = 9
52 = 25
9 + 25 = 34
34 : 2 = 17 (Número de Fermat)
152 = 225
172 = 289
225 + 289 = 514
514 : 2 = 257 (Número de Fermat)
2552 = 65.025
2572 = 66.049
65.025 + 65.025 = 131074
131074 : 2 = 65.537 (Número de Fermat)
65.5352 = 4.294.836.225
65.5372 = 4.295.098.369
65.025 + 65.025 = 8.589.934.594
8.589.934.594 : 2 = 4.294.967.297 (Número de Fermat)
Autor: Ricardo Silva -novembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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