A soma de 2 números ímpares consecutivos têm como resultados números pares, mas também, revela interessantes conexões e regularidades matemáticas com Números de Mersenne e Números de Fermat, bem como, com potências de base 2.
Potência de base 2 menos 1 unidade têm como resultados Números de Mersenne (Marin Mersenne, monge e matemático francês (1588-1648) cuja fórmula algébria é: 2^n - 1.
Potência de base 2 menos 1 unidade também são denominados de Número Quase-Potência de Base 2.
Marin Mersenne estudando números na forma de 2^n - 1, conjecturou que substituido n (ene) por p (primo), isto é, 2^p - 1, geraria primos sequencialmente, o que não acontece de fato.
Haja vista, que o último Primo de Mersenne descoberto, até então, foi no ano de 2018, pelo projeto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
2 elevado à uma potência de base 2 somado 1 unidade têm como resultados Números de Fermat (Pierre de Fermat, magistrado e entusiasta matemático francês (1601-1658)) cuja fórmula algébrica é: 2^2^n + 1.
Pierre de Fermat conjecturou que sua fórmula também geraria números primos sequencialmente, fato este que também não acontece. São conhecidos somente 5 Números Primos de Fermat.
A soma de 2 números ímpares consecutivos têm como resultados números pares e, entre eles, potências de base 2 (células laranjas).
Números de Mersenne se encontram alinhados nas ordens / posições de potências de base 2 sequencialmente.
Números de Fermat se encontram alinhados nas ordens / posições de determinadas potências de base 2, isto é, não sequencialmente.
A soma de determinado Número de Mersenne e de Fermat tem como resultado uma potência de base 2.
| Soma de 2 Números | ||||
| Ímpares Consecutivos | ||||
| ordem / | 1a parcela | 2a parcela | soma | |
| posição | Mesenne | Fermat | ||
| 1 | 1 | 3 | = | 4 |
| 2 | 3 | 5 | = | 8 |
| 3 | 5 | 7 | = | 12 |
| 4 | 7 | 9 | = | 16 |
| 5 | 9 | 11 | = | 20 |
| 6 | 11 | 13 | = | 24 |
| 7 | 13 | 15 | = | 28 |
| 8 | 15 | 17 | = | 32 |
| 9 | 17 | 19 | = | 36 |
| 10 | 19 | 21 | = | 40 |
| 11 | 21 | 23 | = | 44 |
| 12 | 23 | 25 | = | 48 |
| 13 | 25 | 27 | = | 52 |
| 14 | 27 | 29 | = | 56 |
| 15 | 29 | 31 | = | 60 |
| 16 | 31 | 33 | = | 64 |
| 17 | 33 | 35 | = | 68 |
| 18 | 35 | 37 | = | 72 |
| 19 | 37 | 39 | = | 76 |
| 20 | 39 | 41 | = | 80 |
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Intercalando uma potência de base 2 entre um Número de Mersenne e de Fermat, verifica-se que:
a) as potências intercaladas são números quadrados perfeitos, com exceção do número 2;
b) cada potência intercalada posterior é um quadrado perfeito de uma potência anterior;
De forma prática, partindo-se do número 2, posteriomente, elevando-o ao quadrado e, assim, com os demais números ao quadrado, gera-se potência de base 2 que:
c) diminuída 1 unidade é um Número de Mersenne;
d) somada 1 unidade é um Número de Fermat.
Observação: a diferença entre um Número de Mersenne e o de Fermat é de 2 unidades.
| Números de Mersenne | |||
| e | |||
| Números de Fermat | |||
| ordem / | Números de | Potência | Números de |
| posição | Mersenne | Base 2 | Fermat |
| 0 | 0 | 2 | |
| 1 | 1 | (2) | 3 |
| 2 | 3 | (4) | 5 |
| 3 | 7 | 9 | |
| 4 | 15 | (16) | 17 |
| 5 | 31 | 33 | |
| 6 | 63 | 65 | |
| 7 | 127 | 129 | |
| 8 | 255 | (256) | 257 |
| 9 | 511 | 513 | |
| 10 | 1023 | 1025 | |
| 11 | 2047 | 2049 | |
| 12 | 4095 | 4097 | |
| 13 | 8191 | 8193 | |
| 14 | 16383 | 16385 | |
| 15 | 32767 | 32769 | |
| 16 | 65535 | (65.536) | 65537 |
| 17 | 131071 | 131073 | |
| 18 | 262143 | 262145 | |
| 19 | 524287 | 524289 | |
| 20 | 1048575 | 1048577 | |
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Autor: Ricardo Silva e Ari Costa - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
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SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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