Potências de base 2 é uma sequência numérica que ao mesmo tempo é formada por potências e por progressão geométrica de razão 2 a qual possui uma característica especial: cada termo sucessor é o dobro do antecessor e cada termo antecessor é metade do termo sucessor e ao se efetuarem divisões sucessivas por 2 sempre se chegará ao número 1.
A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937.
A conjectura ficou também conhecida como problema 3x+1, Conjectura de Ulam, Problema de Kakutani, Algoritmo de Hass, Números de Granizo, Números Maravilhosos e Problema de Siracusa e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
Aplicando a conjectura a qualquer número, o resultado final sempre será o número 1 e se continuarmos aplicando as 2 regras, os resultados serão os números 4, 2, 1 infinitamente.
O presente estudo demonstra métodos de geração de Números de Collatz / Fermat (A), sequência esta que quando aplicada às regras da Conjectura de Collatz apresentam como resultados somente potências de base 2.
Os Números de Collatz / Fermat (A) formam tabelas com um só bloco, semelhantes das próprias tabelas de potências de base 2, com o diferecial de ter 1 linha a mais de cálculo aritmético.
A Tabela 1 apresenta alguns produtos do número 3 por número ímpar somado 1 unidade e as seguintes propriedades:
a) o produto do número 3 por determinados números ímpares somado 1 unidade têm como resultados números quadrados perfeitos que são potências de base 2 (células laranjas);
( 4, 16, 64, 256, ... )
b) os números ímpares são números de Fermat da forma 4x + 1 (células azuis);
A sequência: ( 1, 5, 21, 85, 341,... ) nos estudos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos está sendo denominada de Números de Collatz / Fermat (A).
c) a diferença entre dois termos consecutivos dos Números de Collatz / Fermat (A) é um quadrado perfeito de potência de base 2;
1 ( 4 ) 5 ( 16 ) 21 ( 64 ) 85 ( 256 ) 341,...
| Tabela 1 | ||||
| Produto de 3 por Ímpar | ||||
| Somado 1 unidade | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | número | número | mais | resultado |
| posição | 3 | ímpar | 1 | |
| 1 | 3 | 1 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 3 | 1 | 10 |
| 3 | 3 | 5 | 1 | 16 |
| 4 | 3 | 7 | 1 | 22 |
| 5 | 3 | 9 | 1 | 28 |
| 6 | 3 | 11 | 1 | 34 |
| 7 | 3 | 13 | 1 | 40 |
| 8 | 3 | 15 | 1 | 46 |
| 9 | 3 | 17 | 1 | 52 |
| 10 | 3 | 19 | 1 | 58 |
| 11 | 3 | 21 | 1 | 64 |
| 12 | 3 | 23 | 1 | 70 |
| 43 | 3 | 85 | 1 | 256 |
| 171 | 3 | 341 | 1 | 1024 |
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Multiplicando-se 4 por 0, somando-se 1 unidade, obtem-se o número 1 que é o primeiro termo da sequência de Números de Collatz / Fermat (A) ( 1, 5, 21, 85, ...).
Multiplicando-se o 4 pelo primeiro termo 1 e somando 1 unidade, obtem-se o segundo termo 5.
Continuando-se o processo de multiplicar 4 por um termo anterior e somando 1 unidade, obtêm-se os demais termos da sequência de Números de Collatz / Fermat (A) ( 1, 5, 21, 85, ...).
i) ( 4 x 0 ) + 1 = 1
ii) ( 4 x 1 ) + 1 = 5
iii) ( 4 x 5 ) + 1 = 21
iv) ( 4 x 21 ) + 1 = 85
v) ( 4 x 85 ) + 1 = 341
vi) ( 4 x 341 ) + 1 = 1365
| 4^n - 1 |
| --------------- |
| 3 |
Quando da aplicação da Conjectura de Collatz em potências de base 2 e Números de Collatz / Fermat (A), constata-se as seguintes propriedades:
a) as tabelas têm estruturas formadas somente por um bloco;
b) nos resultados dos cálculos, há somente potências de base 2;
c) as quantidade de cálculos (etapas) das potências de base 2 é 1 unidade menor que as quantidades de cálculos com números de Collatz / Fermat (A).
Observação importante: a potência 1 de base 2, mesmo sendo ímpar e o primeiro termo das potências de base 2, neste caso, não determina as quantidades de cálculos (etapas) dos demais termos sucessores das potências de base 2 e sim a potência 2 que começa com 1 cálculo.
a) tabela formada somente por 1 bloco.
b) há 3 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
| Tabela 2 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir da potência 1 de base 2 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 1 | 1 | = | 4 |
| . | |||||
| 2 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 3 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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Observação importante: o número 1 é potência de base 2 e também termo da sequência de Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,... ).
a) tabela formada somente por 1 bloco.
b) há 3 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
c) esta tabela é semelhante à Tabela 2 - Potência 1 de base 2.
| Tabela 3 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do Número 1 de Collatz / Fermat (A) | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 3 | 1 | 1 | = | 4 |
| . | |||||
| 2 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 3 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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a) tabela formada somente por 1 bloco.
b) há 4 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir da potência 4 de base 2 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 2 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 3 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 4 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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a) tabela formada somente por 1 bloco.
b) há 5 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
c) esta tabela é semelhante à Tabela 4 - Potência 16 de base 2.
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do Número 5 de Collatz / Fermat (A) | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 2 | 16 | 2 | = | 8 | |
| 3 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 4 | 4 | 2 | = | 2 | |
| 5 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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a) tabela formada somente por 1 Bloco.
b) há 6 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
| .Tabela 6 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir da potência 64 de base 2 | |||||
| .etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 64 | 2 | = | 32 | |
| . | |||||
| 2 | 32 | 2 | = | 16 | |
| . | |||||
| 3 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 4 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 5 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 6 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
a) tabela formada somente por 1 bloco.
b) há 7 etapas de cálculos para se chegar ao 1.
c) esta tabela é semelhante à Tabela 6 - Potência 64 de base 2.
| Tabela 7 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do Número 21 de Collatz / Fermat (A) | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 3 | 21 | 1 | = | 64 |
| . | |||||
| 2 | 64 | 2 | = | 32 | |
| 3 | 32 | 2 | = | 16 | |
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
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O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.
Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
| Tipo de | Quantidades |
| número | de Blocos |
| da Tabela | |
| potências de base 2 | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 |
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) | 2 |
| progessões geométricas de razão 2 | 3 |
| Números de Mersenne | 3 |
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Autor: Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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