1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
A Conjectura de Collatz afirma que aplicando as 2 regras acima, os resultados finais serão sempre as potências de base 2: ( 4, 2, 1 ) e estas se repetindo infinitamente aplicando-se as 2 regras.
A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz, em 1937.
O presente estudo demontra que trocando a expressão algébrica 3x+1 da Conjectura de Collatz para 5x+1, chega-se também às potências de base 2: ( 4, 2, 1 ), como também, se constatam outras interessantes regularidades numéricas, conforme descritas a seguir:
Quando os números escolhidos são produtos da multiplicação do número 3 por potência de base 2, as etapas antes de se chegar às potências de base 2: (16, 8, 4, 2, 1), ocorrem em progressão aritmética (células laranjas).
Entre os primeiros 100 naturais, verificou-se que os números: 30, 38, 60 e 76, resultam entre os cálculos, como quociente, o número 3 (células azuis), número este que antecede as potências de base 2: (16, 8, 4, 2, 1).
3 x 2 =6
Antes da potência 16, há 1 etapa.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 6 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 6 | 2 | = | 3 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 3 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 3 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 4 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 5 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 6 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Antes da potência 16, há 2 etapas.
3 x 4 = 12
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 12 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 12 | 2 | = | 6 | |
| . | |||||
| 2 | 6 | 2 | = | 3 | |
| . | |||||
| 3 | 5 | 3 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Antes da potência 16, há 3 etapas.
3 x 8 = 24
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 24 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 24 | 2 | = | 12 | |
| . | |||||
| 2 | 12 | 2 | = | 6 | |
| . | |||||
| 3 | 6 | 2 | = | 3 | |
| . | |||||
| 4 | 5 | 3 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 5 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 6 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 7 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 8 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Quando os números escolhidos são termos da Progressão Geométrica: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160,...) (células azuis), há ocorrência de Número Retornável (células verdes), isto é, realizando os cálculos constantemente, sempre retornará aquele número.
13 é o primeiro Número Retornável.
13 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Interessante destacar que multiplicando por 10 as potências de base 2: (1, 2, 4, 8, 16,....), obtêm-se termos da progressão geométrica: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160,... ), excetuando-se, o termo 5.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 10 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 5 | 1 | = | 26 |
| . | |||||
| 3 | 26 | 2 | = | 13 | |
| . | |||||
| 4 | 5 | 13 | 1 | = | 66 |
| . | |||||
| 5 | 66 | 2 | = | 33 | |
| . | |||||
| 6 | 5 | 33 | 1 | = | 166 |
| . | |||||
| 7 | 166 | 2 | = | 83 | |
| . | |||||
| 8 | 5 | 83 | 1 | = | 416 |
| . | |||||
| 9 | 416 | 2 | = | 208 | |
| . | |||||
| 10 | 208 | 2 | = | 104 | |
| . | |||||
| 11 | 104 | 2 | = | 52 | |
| . | |||||
| 12 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 13 | 26 | 2 | = | 13 | |
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| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 20 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| 3 | 5 | 5 | 1 | = | 26 |
| . | |||||
| 4 | 26 | 2 | = | 13 | |
| . | |||||
| 5 | 5 | 13 | 1 | = | 66 |
| . | |||||
| 6 | 66 | 2 | = | 33 | |
| . | |||||
| 7 | 5 | 33 | 1 | = | 166 |
| . | |||||
| 8 | 166 | 2 | = | 83 | |
| . | |||||
| 9 | 5 | 83 | 1 | = | 416 |
| . | |||||
| 10 | 416 | 2 | = | 208 | |
| . | |||||
| 11 | 208 | 2 | = | 104 | |
| . | |||||
| 12 | 104 | 2 | = | 52 | |
| . | |||||
| 13 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 14 | 26 | 2 | = | 13 | |
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Obtem-se também um Número Retornável a partir de seu dobro.
13 é o primeiro Número Retornável.
13 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 26 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 26 | 2 | = | 13 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 13 | 1 | = | 66 |
| . | |||||
| 3 | 66 | 2 | = | 33 | |
| . | |||||
| 4 | 5 | 33 | 1 | = | 166 |
| . | |||||
| 5 | 166 | 2 | = | 83 | |
| . | |||||
| 6 | 5 | 83 | 1 | = | 416 |
| . | |||||
| 7 | 416 | 2 | = | 208 | |
| . | |||||
| 8 | 208 | 2 | = | 104 | |
| . | |||||
| 9 | 104 | 2 | = | 52 | |
| . | |||||
| 10 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 11 | 26 | 2 | = | 13 | |
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Obtem-se também um Número Retornável a partir de seu dobro.
17 é o segundo Número Retornável.
17 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Observação: cálculos entre os primeiros 100 naturais, verificou-se que os números: 54, 68 e 86, resultam em sistema de "dobradinha" entre os Números Retornáveis 17 e 43.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 34 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 17 | 1 | = | 86 |
| . | |||||
| 3 | 86 | 2 | = | 43 | |
| . | |||||
| 4 | 5 | 43 | 1 | = | 216 |
| . | |||||
| 5 | 216 | 2 | = | 108 | |
| . | |||||
| 6 | 108 | 2 | = | 54 | |
| . | |||||
| 7 | 54 | 2 | = | 27 | |
| . | |||||
| 8 | 5 | 27 | 1 | = | 136 |
| . | |||||
| 9 | 136 | 2 | = | 68 | |
| . | |||||
| 10 | 68 | 2 | = | 34 | |
| . | |||||
| 11 | 34 | 2 | = | 17 | |
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Obtem-se também um Número Retornável a partir de seu dobro.
43 é o terceiro Número Retornável.
43 é um número primo de Fermat da forma 4x+3.
Observação: cálculos entre os primeiros 100 naturais, verificou-se que os números: 54, 68 e 86, resultam em sistema de "dobradinha" entre os Números Retornáveis 17 e 43.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 86 | |||||
| etapas | |||||
| 1 | 86 | 2 | = | 43 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 43 | 1 | = | 216 |
| . | |||||
| 3 | 216 | 2 | = | 108 | |
| . | |||||
| 4 | 108 | 2 | = | 54 | |
| . | |||||
| 5 | 54 | 2 | = | 27 | |
| . | |||||
| 6 | 5 | 27 | 1 | = | 136 |
| . | |||||
| 7 | 136 | 2 | = | 68 | |
| . | |||||
| 8 | 68 | 2 | = | 34 | |
| . | |||||
| 9 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 10 | 5 | 17 | 1 | = | 86 |
| . | |||||
| 11 | 86 | 2 | = | 43 | |
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Entre os primeiros 100 naturais, verificou-se que os números: 14, 18, 22, 28, 36, 44, 46, 56, 70, 72, 88 e 92, resultam em extensas etapas de cálculos ao aparecer entre os quocientes o número 23 (célula lilás).
Não se sabe se o número 23 é um Número Retornável.
23 é um número primo de Fermat da forma 4x+3.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 14 | |||||
| etapas | |||||
| parciais | |||||
| 1 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 7 | 1 | = | 36 |
| . | |||||
| 3 | 36 | 2 | = | 18 | |
| . | |||||
| 4 | 18 | 2 | = | 9 | |
| . | |||||
| 5 | 5 | 9 | 1 | = | 46 |
| . | |||||
| 6 | 46 | 2 | = | 23 | |
| . | |||||
| 7 | 5 | 23 | 1 | = | 116 |
| . | |||||
| 8 | 116 | 2 | = | 58 | |
| . | |||||
| 9 | 58 | 2 | = | 29 | |
| . | |||||
| 10 | 5 | 29 | 1 | = | 146 |
| . | |||||
| 11 | 146 | 2 | = | 73 | |
| . | |||||
| 12 | 5 | 73 | 1 | = | 366 |
| . | |||||
| 13 | 366 | 2 | = | 183 | |
| . | |||||
| 14 | 5 | 183 | 1 | = | 916 |
| . | |||||
| 15 | 916 | 2 | = | 458 | |
| . | |||||
| 16 | 458 | 2 | = | 229 | |
| . | |||||
| 17 | 5 | 229 | 1 | = | 1146 |
| . | |||||
| 18 | 1146 | 2 | = | 573 | |
| . | |||||
| 19 | 5 | 573 | 1 | = | 2866 |
| . | |||||
| 20 | 2866 | 2 | = | 1433 | |
| . | |||||
| 21 | 5 | 1433 | 1 | = | 7166 |
| . | |||||
| 22 | 7166 | 2 | = | 3583 | |
| . | |||||
| 23 | 5 | 3583 | 1 | = | 17916 |
| . | |||||
| 24 | 17916 | 2 | = | 8958 | |
| . | |||||
| 25 | 8958 | 2 | = | 4479 | |
| . | |||||
| 26 | 5 | 4479 | 1 | = | 22396 |
| . | |||||
| 27 | 22396 | 2 | = | 11198 | |
| . | |||||
| 28 | 11198 | 2 | = | 5599 | |
| . | |||||
| 29 | 5 | 5599 | 1 | = | 27996 |
| . | |||||
| 30 | 27996 | 2 | = | 13998 | |
| . | |||||
| 31 | 13998 | 2 | = | 6999 | |
| . | |||||
| 32 | 5 | 6999 | 1 | = | 34996 |
| . | |||||
| 33 | 34996 | 2 | = | 17498 | |
| . | |||||
| 34 | 17498 | 2 | = | 8749 | |
| . | |||||
| 35 | 5 | 8749 | 1 | = | 43746 |
| . | |||||
| 36 | 43746 | 2 | = | 21873 | |
| . | |||||
| 37 | 5 | 21873 | 1 | = | 109366 |
| . | |||||
| 38 | 109366 | 2 | = | 54683 | |
| . | |||||
| 39 | 5 | 54683 | 1 | = | 273416 |
| . | |||||
| 40 | 273416 | 2 | = | 136708 | |
| . | |||||
| 41 | 136708 | 2 | = | 68354 | |
| . | |||||
| 42 | 68354 | 2 | = | 34177 | |
| . | |||||
| 43 | 5 | 34177 | 1 | = | 170886 |
| . | |||||
| 44 | 170886 | 2 | = | 85443 | |
| . | |||||
| 45 | 5 | 85443 | 1 | = | 427216 |
| . | |||||
| 46 | 427216 | 2 | = | 213608 | |
| . | |||||
| 47 | 213608 | 2 | = | 106804 | |
| . | |||||
| 48 | 106804 | 2 | = | 53402 | |
| . | |||||
| 49 | 53402 | 2 | = | 26701 | |
| . | |||||
| 50 | 5 | 26701 | 1 | = | 133506 |
| . | |||||
| 51 | 133506 | 2 | = | 66753 | |
| . | |||||
| 52 | 5 | 66753 | 1 | = | 333766 |
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Entre os primeiros 100 naturais, verificou-se que os números: 42 e 84, resultam em extensas etapas de cálculos ao aparecer entre os quocientes o número 53 (célula lilás).
Não se sabe se o número 53 é um Número Retornável.
53 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 42 | |||||
| etapas | |||||
| parciais | |||||
| 1 | 42 | 2 | = | 21 | |
| . | |||||
| 2 | 5 | 21 | 1 | = | 106 |
| . | |||||
| 3 | 106 | 2 | = | 53 | |
| . | |||||
| 4 | 5 | 53 | 1 | = | 266 |
| . | |||||
| 5 | 266 | 2 | = | 133 | |
| . | |||||
| 6 | 5 | 133 | 1 | = | 666 |
| . | |||||
| 7 | 666 | 2 | = | 333 | |
| . | |||||
| 8 | 5 | 333 | 1 | = | 1666 |
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| Conjectura Extendida de Collatz | |||||
| a partir do número composto 84 | |||||
| etapas | |||||
| parciais | |||||
| 1 | 84 | 2 | = | 42 | |
| . | |||||
| 2 | 42 | 2 | = | 21 | |
| . | |||||
| 3 | 5 | 21 | 1 | = | 106 |
| . | |||||
| 4 | 106 | 2 | = | 53 | |
| . | |||||
| 5 | 5 | 53 | 1 | = | 266 |
| . | |||||
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Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio /2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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