A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937 e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
A Conjectura de Collatz afirma que aplicando as 2 regras continuamente, os resultados finais serão sempre as potências de base 2: ( 4, 2 e 1) e estas se repetindo infinitamente aplicando-se as 2 regras.
Ao aplicarmos a Conjectura de Collatz, observa-se que além das etapas de cálculos serem bastante variáveis, isto é, escolhendo um tipo de número, as etapas de cálculos podem ser curtas, longas ou extremamente longas e o que se constata também é que independente das quantidades de etapas de cálculos, essas etapas de cálculos formam estruturas, a priori, formadas em 1, 2, ou 3 Blocos, estutruras estas, verificadas nos primeiros 100 números naturais.
| Tipo de | Quantidades |
| número | de Blocos |
| da Tabela | |
| potências de base 2 | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 |
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) | 2 |
| progessões geométricas de razão 2 | 3 |
| Números de Mersenne | 3 |
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No estudo:
011-estudos-664-conjectura-collatz-e-numeros-de-mersenne
são demostradas regularidades numéricas encontradas nos Números de Mersenne: primos e compostos quando da aplicação da Conjectura de Collatz.
O presente estudo demonstra outras regularidades numéricas quando da aplicação da Conjectura de Collatz em números primos, números estes, não primos de Mersenne.
11 é um número primo de Fermat da forma 4x+3.
11 não é um primo de Mersenne.
Bloco 3 - onde as etapas de cálculos podem ser curtas, longas ou extremamente longas.
Observação 1.1: os números primos 13 e 53 antecedem aleatoriamente a progressão geométrica decrescente variável ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) da Bloco 2.
Veja a seguir tópico sobre a progressão greométrica decrescente ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).
Bloco 2 - formação de progressão geométrica decrescente variável de razão 1/2, neste exemplo ( 40, 20, 10, 5 ), cujo último termo é 5.
Observação 2.1: escrevendo a progressão geométrica em ordem crescente, o primeiro termo é 5 e razão 2: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160,... )
Observação 2.2: o número primo 5 sempre antecede um termo da progressão geométrica decrescente variável formada por potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Bloco 3 - formação de progressão geométrica decrescente variável de razão 1/2 (potências de base 2).
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 11, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 1 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 11 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 2 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 4 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 5 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 6 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 7 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 8 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 9 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 10 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 11 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 12 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 13 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 14 | 2 | 2 | = | 1 | |
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A Tabela 2 apresenta a P.G. em ordem crescente - 10 termo 5 e razão 2 menos 1 unidade e dividida por 3.
Os números inteiros da coluna D, terminados em 3, ao serem utilizados na Conjectura de Collatz, os cálculos apresentam como resultados termos da P.G. decrescente variável de razão 1/2: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e consequentemente potências de base 2 em ordem decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ), de forma a finalizar os cálculos de forma abreviada, isto é, com menos etapas.
A sequência ( 3, 13, 53, 213, 853,... ) nos estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos são denominados de Números de Collatz / Fermat (B).
Os números 13 e 53 (células liláses) são os números que antecedem aleatoriamente a progressão geométrica descrecente variável ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) nos cálculos efetuados com os primeiros 100 números naturais.
| Tabela 2 | ||||
| Progressão Geométrica | ||||
| 10 termo 5, razão 2 | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | PG | menos 1 | divisão por | |
| posição | 10 termo 5 | 3 | ||
| razão 2 | ||||
| Números de | ||||
| Collatz / Fermat | ||||
| 4x+1 e 4x+3 | ||||
| 1 | 5 | 4 | 1,333 | |
| 2 | 10 | 9 | 3 | Primo |
| 3 | 20 | 19 | 6,333 | |
| 4 | 40 | 39 | 13 | Primo |
| 5 | 80 | 79 | 26,333 | |
| 6 | 160 | 159 | 53 | Primo |
| 7 | 320 | 319 | 106,333 | |
| 8 | 640 | 639 | 213 | - |
| 9 | 1280 | 1279 | 426,333 | |
| 10 | 2560 | 2559 | 853 | Primo |
| 11 | 5120 | 5119 | 1706,333 | |
| 12 | 10240 | 10239 | 3413 | Primo |
| 13 | 20480 | 20479 | 6826,333333 | |
| 14 | 40960 | 40959 | 13653 | - |
| 15 | 81920 | 81919 | 27306,333 | |
| 16 | 163840 | 163839 | 54613 | - |
| 17 | 327680 | 327679 | 109226,333 | |
| 18 | 655360 | 655359 | 218453 | Primo |
| 19 | 1310720 | 1310719 | 436906,333 | |
| 20 | 2621440 | 2621439 | 873813 | - |
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17 é número primo de Fermat da forma 4x+1.
17 não é um primo de Mersenne.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 17, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 3 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 17 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 2 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 3 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 4 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 5 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 6 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 7 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 8 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 9 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 10 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 11 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 12 | 2 | 2 | = | 1 | |
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19 é um número primo da Fermat da forma 4x+3.
19 não é um primo de Mersenne.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 19, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 19 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 19 | 1 | = | 58 |
| . | |||||
| 2 | 58 | 2 | = | 29 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 29 | 1 | = | 88 |
| . | |||||
| 4 | 88 | 2 | = | 44 | |
| . | |||||
| 5 | 44 | 2 | = | 22 | |
| . | |||||
| 6 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 7 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 8 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 9 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 10 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 11 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 12 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 13 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 14 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 15 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 16 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 17 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 18 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 19 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 20 | 2 | 2 | = | 1 | |
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23 é um número primo de Fermat da forma 4x+3.
23 não é um primo de Mersenne.
O número primo 53, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 160, 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 23, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 23 | |||||
| . | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 23 | 1 | = | 70 |
| . | |||||
| 2 | 70 | 2 | = | 35 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 35 | 1 | = | 106 |
| . | |||||
| 4 | 106 | 2 | = | 53 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 5 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| . | |||||
| 6 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 7 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 8 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 9 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 10 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 11 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 12 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 13 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 14 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 15 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
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SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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